图形变换对角互补和角含半角旋转.习题集.doc

对角互补和角含半角旋转

真题链接

【例1】 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

（2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围．
（2012北京中考）
【答案】（1）补全图形，见图1；；

（2）猜想：．
证明：如图2，连结．
是的中点，
．
点在直线上，
．
又为公共边，
．

又，
．

在四边形中，．

（3）的范围是．

课堂练习

一、对角互补旋转
【例1】 在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．

【答案】连接．因为且，所以．
因为是的中点，所以，且，则．
因为，所以，所以，
所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．
的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；
当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．
【例2】 如图所示，在四边形中，，，于，若四边形 的面积是16，求的长．

【答案】如图，过点作，延长交于点，容易证得（实际上就是把逆时针旋转，得到正方形）
正方形的面积等于四边形面积为，∴．
【例3】 在五边形中，已知，，，连接．求证：平分．

【答案】连接．由于，．
我们以为中心，将逆时针旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，
所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，．
所以．
在与中，
因为，，，
故≌，
因此，即平分．
【例4】 在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点 Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．
求证：PF＝PQ；
（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若 P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．

图1
图2

【答案】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴A（－6，0），B（0，6）．
∴OA=OB．
∴
在△AOB中，．
∴．
（2）在等腰直角三角形APD中，
，DA=DP，．
∴DP⊥AD于D．
由（1）可得．
∴．
又∵PG⊥x轴于G，
y
∴PG = PD．
∴．
∴．
∴．
即．
又∵PQ⊥PF，
∴．
∴．
在△PGF和△PDQ中，

∴△PGF≌△PDQ（ASA）．
∴PF=PQ．
2
x
图1
A
B
Q
G
P
O
F
D
1
3
4
7
5
6
图2
D
A
E
B
O
y
P
x
H
3
4
1
2

（3）答：OP⊥DP，OP＝DP．
证明：延长DP至H，使得PH=PD．
∵P为BE的中点，
∴PB=PE．
在△PBH和△PED中，

∴△PBH≌△PED（SAS）．
∴BH=ED．
∴．
∴BH∥ED．
在等腰直角三角形ADE中，
AD=ED，．
∴AD=BH，.
∴DE∥x轴，BH∥x轴， BH⊥y轴．
∴．
由（1）可得 OA=OB．
在△DAO和△HBO中，

∴△DAO≌△HBO（SAS）．
∴OD=OH，∠5=∠6．
∵,
∴.
∴在等腰直角三角形△DOH中，
∵DP=HP，
∴OP⊥DP，.
∴．∴OP=PD．

二、角含半角旋转
【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．

【答案】延长至，使，连结，易证，，．
再证，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有．
【例6】 如图，点是以为圆心，为直径的半圆的中点，，等腰直角三角板角的顶点与点重合，当此三角板绕点旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于、两点．设线段的长为，线段的长为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）．

A． B．C． D．
（2014海淀一模）
【答案】C
【解析】由角中半角可知，，，，，，，，，，，，，．
故选C．
【例7】 阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，连结，则，试说明理由．

小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段，是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点逆时针旋转得到，再利用全等的知识解决了这个问题（如图）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图，四边形中，，，点，分别在边，上，．若，都不是直角，则当与满足__________关系时，仍有；
（2）如图，在中，，，点、均在边上，且，若，，求的长．

（2014东城一模）
【答案】（1）（或互补）．
（2）∵，
∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，

∵中，，
∴．
即．
∴．
在与中，
．
又∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
【例8】 如图，点、分别是正方形的边、上的点，，连接，则、、之间的数量关系是：．连结，交、于点、，且、、满足，请证明这个等量关系；
（2）在中， ，点、分别为边上的两点．
①如图，当，时，、、应满足的等量关系是__________；
②如图，当，时，、、应满足的等量关系是__________．【参考：】

（2014平谷一模）
【答案】（1）在正方形中，，，
．

把绕点逆时针旋转得到．
连结．则，，
，．
∵，
∴，
，
．
∴．
∴．
在中，，
∴，
∴．
（2）①；
②．
【例9】 问题：如图，在等腰梯形中，，，点，分别在，上，若，试探究线段，，有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；
问题：如图，在四边形中，，，点，分别在，的延长线上，若仍然成立，请你进一步探究线段，，又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

（2013东城一模）
【答案】解：（1）猜想的结论：．
（2）猜想的结论：．
证明：在截取，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∴．
即．
∵，
∴．
即．
又∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【例10】 在等边的两边，所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，，探究：当点分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

（1）如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式_________；此时__________
（2）如图②，当点在边上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则_________（用表示）
【答案】第三问提示：利用旋转，即可得到两个影印部分全等

三、线段的旋转
【例11】 在中，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角为，且，连接，．
（1）如图，当，时，的大小为__________；
（2）如图2，当，时，求的大小；
（3）已知的大小为（），若的大小与（）中的结果相同，请直接写出的大小．
图1
图2

（2014海淀一模）
【答案】（1）；

（2）如图作等边，连结、．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．①
∵，，
∴．②
∵，③
∴由①②③，得，
∴，．
∵，，
∴．
∵
∴．
∴．
∴．④
∵，，
∴．⑤
∵，⑥
∴由④⑤⑥，得．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3），或．
【例12】 已知：在中，，点是边上任意一点，将射线绕点逆时针旋转与过点且平行于边的直线交于点．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间的数量关系__________；
（2）如图2，当时，判断线段与之间的数量关系，并进行证明；
（3）如图3，当为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段与之间的数量关系：__________．（用含的式子表示，其中）

（2014门头沟一模）
【答案】（1）；
（2）；理由如下：
过点作，交于．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．

（3）补全图形如图，
关系：．

四、其他旋转综合
【例13】 如图所示，将一个边长为的正方形和一个长为、宽为的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点顺时针旋转至，旋转角为．
（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；
（2）如图，为中点，且，求证：；
（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．

（2014密云一模）
【答案】（1）∵
∴
∴
∴．
（2）∵为中点，
∴
∵

∴
又∵
∴
∴．
（3）能，或
【例14】 在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点．四边形和都是正方形．的中点是．
（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：，；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：是等腰直角三角形；
（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

【答案】（1）证明：∵四边形和都是正方形，
又∵点与点重合，点与点重合，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．∴．

（2）证明：连接、，如图，设与交于点．
∵分别是的中点，
∴，
且，
且．
∴四边形是平行四边形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴，且．
∴．
∴是等腰直角三角形．
（3）是．
【例15】 如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，，．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．
解答问题：
（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为__________；
②在平移过程中，的值为__________（用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；
（3）将图1中的三角板绕点逆时针旋转度，，原题中的其他条件保持不变．计算的值（用含的代数式表示）．

（2013初三上海淀期末）
【答案】（）①；
②；
（）连结．
∵，均为等腰直角三角形，，，
∴，，，，
∴，，．
∴，，
∴点为的中点．
∴，平分，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
∴．
∴．
∴．

（）过作的垂线交直线于点，连结、．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴，．
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．

课后作业

【练1】 如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且． 求证：．

【答案】证明：因为四边形是正方形，所以，
．因为，
所以，所以
，故≌，故．
【练2】 如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．

【答案】把绕点旋转到的位置，．
∵，
又，∴．
又，∴．∴．∴．
又∵，∴．
【练3】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．

【答案】如图所示，延长到使．
在与中，因为，，，
所以，故．
因为，，所以．
又因为，所以．
在与中，，，，
所以，则，所以的周长为．

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