点面距离的求解.ppt

一、点面距离的地位：点面距离问题是整个立体几何这一章的重点，它不仅是线面角、二面角（三垂线法）求解的关键；而且是线面、面面及异面直线间距离转化的最后目的地。是高考的热点，每年都有所考 查。二、点面距的定二、点面距的定义义：从平面外一点引一个平面的垂从平面外一点引一个平面的垂线线，这这个点和垂足个点和垂足间间的距离叫的距离叫这这个点到个点到这这个平面的距离个平面的距离.1点面距离 直接法:作出垂线，直接求解；向量法；间接法：等体积法；比例法.三、点面距的求法：三、点面距的求法：四、求法的具体讲解：四、求法的具体讲解：（1）作出垂线，直接求解）作出垂线，直接求解 “垂线如何作，垂足又落在哪里？垂线如何作，垂足又落在哪里？”是此法的关键，是此法的关键，其解决方案主要有下：其解决方案主要有下：1、依据面面垂直的性质及判定、依据面面垂直的性质及判定 常规遵循一作二证三计算的步骤；常规遵循一作二证三计算的步骤；2点面距离法一：依据判定法一：依据判定找找过已知点且与已知平面垂直的平过已知点且与已知平面垂直的平面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在交线上交线上 MCPAB例例1：如图：在四面体P-ABC中，PC平面ABC，AB=BC=CA=PC=a，求B到面PAC的距离。分析：由分析：由PC平面平面ABC，PC 面面PAC可得，可得，面面ABC面面PAC，又面，又面ABC过点过点B，面，面ABC面面PAC=AC，所以过，所以过B作作BMAC于于M，即可，即可得得BM面面PAC。而三角形。而三角形ABC为等边三角形为等边三角形故故 32BM=3点面距离 例例2 在棱长为在棱长为1的正方体的正方体 中，中，E、F分别为棱分别为棱 、的中点，的中点，G 为棱为棱 上的一点，上的一点，且且 求点求点G到面到面 的距的距离。离。MDBCEFAG分析：由条件可知点分析：由条件可知点G在线段在线段 移动，而移动，而 面面 ，所，所以其上任意点到面以其上任意点到面 的距的距离都等于离都等于G到面到面 的距离，的距离，这样我们就可直接将这样我们就可直接将G点换为点换为点点 ，而由，而由EF平面平面 知，过知，过 的平面的平面 面面 且面且面 面面 =，故仅需过，故仅需过 作作 于于M，即得，即得 面面 ，后，后在在 中进行计算即中进行计算即可。可。4点面距离5.如如图图所示，已知所示，已知ABCD是矩形，是矩形，AB=a，AD=b，PA平面平面ABCD，PA=2c，Q是是PA的中点的中点.求：求：(1)Q到到BD的距离；的距离；(2)P到平面到平面BQD的距离的距离.延伸拓展【解解题题回回顾顾】解解答答求求距距离离的的问问题题，注注意意距距离离之之间间的的相相互互转转化化，有，有时时能取得意想不到的效果能取得意想不到的效果5点面距离法二，依据面面垂直的判定，首先在已知平面内法二，依据面面垂直的判定，首先在已知平面内找一条线；后再找一条线；后再作作与此线垂直且过已知点的垂面与此线垂直且过已知点的垂面（如何作见下）；再在此平面内向二者的交线引垂（如何作见下）；再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线即垂直于已知线，由面面垂直的性质可知，此垂线即垂直于已知平面，且垂足落在交线上。平面，且垂足落在交线上。借助三垂线定理或三垂线定理的逆定理。借助三垂线定理或三垂线定理的逆定理。例例3如图，在正三棱柱如图，在正三棱柱 中，中，AB=2，=4，则点则点C到平面到平面 的距离的距离为？为？HOCAB6点面距离利用等腰三角形或全等三角形。利用等腰三角形或全等三角形。例4如图，三棱锥P-ABC 中，PA=PB=CA=CB=6，AB=PC=4，求C面PAB 的距离。OHPABC分析：等腰PAB与等腰CAB公用底边AB，故仅需取AB的中点O，连结PO、CO，即可得到AB面POC，又面PAB，面PAB面POC，过C作CHPO于H，则CH面PAB，后在等腰POC中计算出CH即可。7点面距离例5如图，正三棱锥P-ABC 中，侧棱长为6，底面边长为4，求C面PAB 的距离。EOPABC分析：PAB全等于PAC，过C作CEPA于E，连BE则BEPA，所以PA面BCE，又面PAB故面BCE面PAB，过C作COBE于O，则CO面PAB，8点面距离2、依据其他。、依据其他。如依据射影长如依据射影长定理定理及外心的及外心的定义定义。HOCBA例例6 如图，已知，在如图，已知，在ABC中中ABC=，AB=6，BC=8，O到到ABC各顶点的距离都等于各顶点的距离都等于10，求点，求点O到这到这个三角形所在平面的距离。个三角形所在平面的距离。解：设解：设H为点为点O在平面在平面ABC内的射影，内的射影，连接连接OH、AH、BH、CH，在在ABC中中ABC=，AB=6，BC=8 AC=10OA=OB=OCHA=HB=HC即即H为为ABC的外心，的外心，H 为为AC中点，中点，AH=BH=CH=5OAH中中AHO=，OA=10，AH=5OH=即点即点O到平面到平面ABC的距离为的距离为。9点面距离3.ABC中，中，AB=9，AC=15，BAC=120，ABC所在平面外一点所在平面外一点P到三个到三个顶顶点点A、B、C的距离都是的距离都是14，那么点那么点P到平面到平面ABC的距离的距离为为()(A)7 (B)9(C)11 (D)13HPCAB10点面距离如依据如依据结论结论“从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，求证斜线在平线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，求证斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线面内的射影是这个角的平分线所在直线”。（人教版高。（人教版高二数学下二数学下A ）例例7如图，斜三棱柱如图，斜三棱柱 的各条棱长均为的各条棱长均为4，=，求斜三棱柱的体积。，求斜三棱柱的体积。DOACB11点面距离再如依据正棱锥的再如依据正棱锥的性质性质“正棱锥的顶点在底面内的射影为底正棱锥的顶点在底面内的射影为底面的中心面的中心”。例例8求侧棱和底面长均为求侧棱和底面长均为6的正四棱锥的高。的正四棱锥的高。OBDACP分析：过分析：过P作作PO面面ABCD于于O，则，则PO即为高，即为高，O为底面的中为底面的中心，又底面为正方形，心，又底面为正方形，故后在故后在 POA中即可完成中即可完成相应计算。相应计算。12点面距离 向量法向量法做法：先求得已知平面的一个法向量，再找到平面的一做法：先求得已知平面的一个法向量，再找到平面的一过已知点的斜向量，后再套用公式求解。过已知点的斜向量，后再套用公式求解。如图所示，设如图所示，设 是平面是平面 的法向量，的法向量，是平是平面的一条斜线。面的一条斜线。点点B到平面的距离为到平面的距离为ABC13点面距离例例9如图，已知平面如图，已知平面 平行于三棱锥平行于三棱锥V-ABC的底面的底面ABC，等边，等边 所在的平面与底面所在的平面与底面ABC垂直，且垂直，且 ，设，设AC=求求A到平面到平面VBC的距离。的距离。zxyOE解：取解：取AC的中点的中点O。连结。连结 ，易，易 知知 平面平面ABC，过，过O作直线作直线OEBC交交AB于于E，取，取O为空间直角坐标系的原为空间直角坐标系的原点，点，OE、OC、所在的直线分别为所在的直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立如图所示的空轴，建立如图所示的空间直角坐标系。间直角坐标系。则则 设平面设平面VBC的一个法向量的一个法向量又又 由由得得(x,y,z)(-a,0,0)=0,(x,y,z)(0,-a,)=0取取z=1,得得点点A到平面到平面VBC的距离，即的距离，即在平面在平面VBC的法向量的法向量 上的投影上的投影的绝对值的绝对值设设 所求的距离为所求的距离为 则则A到平面到平面VBC的距离为的距离为ABCV14点面距离等积法。等积法。利用利用三棱锥的顶点可换性三棱锥的顶点可换性，借助体积公式求解，关键是三棱，借助体积公式求解，关键是三棱锥的某个底面的面积及其上的高可求。锥的某个底面的面积及其上的高可求。例例10如图，在棱长为如图，在棱长为4的正方体的正方体 中中M、N分别分别是棱是棱 的中点，求点的中点，求点B到平面到平面AMN的距离。的距离。ABCDNM分析：要求点分析：要求点B到平到平面面AMN的距离，仅需的距离，仅需以以B、M、N、A为顶为顶点构造三棱锥点构造三棱锥B-AMN利用利用 即可。即可。解：连解：连BN、BM，设点，设点B到平到平面面AMN的距离为的距离为 ，即即 及及 ，6，15点面距离比例法比例法借助平行，进行比例转化，来求解距离。借助平行，进行比例转化，来求解距离。PPQMONOMNQ如图如图PM平面平面 =O，PQ平面平面 于于Q，MN平面平面 于于N，则，则16点面距离例例10如图，已知等腰梯形如图，已知等腰梯形ABCD中，中，ADBC，ACBD=O，AD=5，BC=10。若。若BC 平面平面 ，点，点O到平到平面面 的距离为的距离为7，求，求AD到平面到平面 的距离。的距离。BCODA分析：分析：ADBC，则，则AD平面平面 ，要，要求求AD到平面到平面 的距离，只需求出直线的距离，只需求出直线AD上任一点到平面上任一点到平面 的距离。可过的距离。可过D作作 平面平面 于于 ，平面平面 于于 ，则，则B、共线且共线且 ，所，所以以 ，又，又 =7，所以所以17点面距离4.已已知知如如图图，边边长长为为a的的菱菱形形ABCD中中，ABC=60，PC平平面面ABCD，E是是PA的的中中点点，求求E到到平平面面PBC的的距距离离.18点面距离19点面距离