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第三章 积分及其应用
正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算—积分法.前面我们已经学习了已知函数的导数和微分，本模块主要研究与其相反的问题，即已知一个函数的导数和微分，如何求其原来的函数，这就是一元函数的积分学。本模块主要学习不定积分和定积分的概念、性质、不定积分和定积分的求法及其应用。
第一节 不定积分
一、不定积分的定义
1．原函数的概念
设函数定义在区间上,如果存在一点，都有=，则称函数是在上的一个原函数。
例如，在内，有=，所以，是在内的一个原函数．显然，，(为任意常数），即，也是在内的原函数.
由以上情况可知，如果一个函数的原函数存在，那么必有无穷多个原函数。那么如何寻找所有的原函数呢?如果能找到原函数之间的关系,那么找出所有的原函数也就不难了.
定理 如果函数在区间上有原函数，则
（为任意常数）
也是在上的原函数，且的任一个原函数均可表示成的形式.
2．不定积分的概念
若是在区间上的一个原函数,那么表达式（为任意常数)称为在上的不定积分，记作
，
即
.
其中，—积分变量，—被积函数，—被积分表达式,-积分号。为任意常数，
求，就是求的全体原函数.因此,只需求出的一个原函数，再加任意常数即可。
例1 求.
解： 由于，即是的一个原函数，因此，.
二、不定积分的基本公式
由于积分运算是微分运算的逆运算，因此我们可以从基本的导数公式得到相应的基本积分公式:
(1)(是常数） (2)
（3) （4)
（5) (6）
（7) (8）
（9） (10）
（11) （12)
(13) （14)
(15)..
以上基本积分公式，是求不定积分的基础,必须熟记，下面举几个应用基本公式求不定积分的例子.
例2 求.
解：。
例3 求.
解：。
三、不定积分的性质
根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质：
性质 1 设函数及的原函数存在,则
。
性质2 设函数的原函数存在，为非零常数，则
。
利用基本积分表以及不定积分的两个性质，可以求出一些简单函数的不定积分。
例4 求.
解：.
例5 求。
解:。
四、不定积分的解法
利用基本积分表和积分公式的性质，所能计算的不定积分是非常有限的。因此，有必要来进一步研究不定积分的求法。下面介绍三种求不定积分的方法.
1.换元积分法
设有原函数, , 且可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有
=== = ,
所以 = == =,
因此
.
即
==+C.
定理1 设f（u）具有原函数, u=j（x)可导, 则有换元公式
。
被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式j¢(x）dx =du可以应用到被积表达式中.
在求积分时, 如果函数g(x）可以化为g(x)= f[j（x）]j¢(x)的形式, 那么
.
例6 求。
解：将换为，则

.
例7 求。
解：被积分式中有因子，又中有，所以试用
.
。
*例8
解:

.
熟练之后, 变量代换就不必再写出了.
即 .
含三角函数的积分:
例9
解:
.
例10
解：

.
例11
解：

.
2．分部积分法
前面我们在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法.现在我们利用两个函数乘积的求导法则，来推得另一个求积分的基本方法—分部积分法。
设、是关于的可微函数,由微分运算法则，有

移项,得

两端积分，得

上式叫做分部积分公式。
分部积分法虽不能对任何不定积分都凑效，但有些函数的不定积分，如，，等（为非负整数，是常数），是非靠它求得不可.
例12 求.
解:

.
步骤：凑微分分部积分法求出微分求出积分。
例13 求.
解：
。
＊例14 求
解:

.
例15 求
解： 因为

,
所以 .
解题技巧： :
把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,前者为后者为.
*例16 求
解:

。
例17 求
解： 令， 则

原式 =

.
例18 求
解: 令则
原式
令

.
习 题 3。1
1、 填空题.
(1）已知则_________ 。
（2）___________.
（3）___________.
（4）=__________。
(5）=_____________。
（６)设,则=_____________。
（７）已知的一个原函数为，则 __________.
（８）设,则_________ .
2、选择题.
（1）若是的一个原函数，则________.
(A）; （B）；
（C) （D)
（2）设=F (x)+C在上成立,则_________。
(A）在上必连续，但不一定可导 (B)在上必可导
（C）在上必连续，但不一定可导 (D）在上必可导
(3）若的导函数是，则有一个原函数为_______.
（A) （B) (C) （D）
（4）设, 则=_____。
（A）； (B）; (C) ; （D)
（5）设，则_________。
（A) (B)
(C) (D)
3、计算下列不定积分.
（1） (2）
(3) (4）。
4、设,且,求。
5、一质点作直线运动，已知其加速度，且当时,速度为，位移为，求, 。
6、设的原函数〉0, =1,当时有=，求.
7、 8、
９、 10、
11、 12、 。
13、已知曲线过点，且其上任一点（x，y)处的切线斜率为，求出曲线方程。

第二节 定积分
一、定积分的概念
定义 设函数上有界，在中任意插入若干个分点

把区间分成个小区间

各个小区间的长度依次为.
在每个小区间［］上任取一点）,作函数值与小区间长度的乘积并作出和
.
记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间[］上点怎样取法,只要当时，和S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即：
==,
其中叫做被积函数， 叫做被积表达式，叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限, 叫做积分区间.
注意：积分与积分变量无关，即:
。
函数可积的两个充分条件：
定理1 设上连续,则在上可积。
定理2 设上有累，且只有有限个间断点，则上可积。
例1 利用定积分定义计算.
解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对等分，分点取相应小区间的右端点,故

=
=
=
（即），由定积分的定义得:
=。
小结：①重述定积分的定义;
②注意其中的两个“任意”;
③涉及对连续变量的累积，一般采用分割，近似求和，取极限的方法进而归结到求定积分.
二、定积分的几何意义
若，由引例可知的几何意义是位于轴上方的曲边梯形的面积;
若，则为位于轴下方的曲边梯形面积，从而定积分代表该面积的负值，即：
一般地，曲边梯形的面积;而的几何意义则是曲边梯形面积的代数和.
三、定积分的性质
性质1(定积分的线性性质)，若，,则
.
其中，为任意常数。
性质2（定积分对区间的可加性）
。
由此可知下图中及直线与轴所围的平面图形的面积
图3—1

。
例2
解:

图3-2
例3
解：
=
=
=。
性质3 若，则
事实上，
=.
所以
性质4 若，则有 ，
性质5 若在，则
性质6 若在上可积，则在上也可积,且

＊性质7（积分中值定理)若, 则至少存在一点,使

积分中值定理的几何意义为下图所示。
叫做上的平均值．

图3—3
四、牛顿—莱布尼茨公式
用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。
定理 若函数在上连续,且存在原函数，则在上可积，且

这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为.
例如 问 的一个原函数为，则由公式（1)有

我们有如下结论：
结论1 对积分的上限求导等于被积
函数在上限的值。
结论2 是的一个原函数
（此结论称为原函数存在定理）
例４ 求 。
解： =.
例５ 计算
解：设,则—
==
例6　计算
解：设,则
;
故 =
=
=.
例7
解:设,则
=
=+
=。
例8 计算
解：设,则
==
=
=
=
=2。

习题 3.2

1．用定积分的几何意义，填写下列定积分值.
(1） （2） （3)
2．计算下列定积分。
（1) （2) (3)；
(4) (5） (6)
（7) （8）.
3．不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小。
（1) （2)。
4．计算下列定积分.
（1） （2）
(3） （4）
(5） （6） 设， 求。
5．用换元积分法求下列定积分.
（1） （2）
（3) （4)
(5) （6）

6．用分部积分法求下列定积分。
（1） （2） ；
（3) (4)
(5) （6） .
7．求曲线与直线所围平面图形的面积。
8．求由直线，及所围平面图形的面积.
9．设某产品在时刻（小时）时的产量的变化率为（件/小时），求从 至这4小时的产量。
10．已知某产品的边际成本函数和边际收益函数分别为:

求:1、若固定成本万元时,总成本函数,总收益函数和总利润函数；
2、产量为多少时，总利润最大?最大总利润为多少?

第三节 微元法及平面图形的面积
一、微元法
1。复习曲边梯形面积的求法
设在区间上连续,且,求曲线及直线所围成的曲边梯形的面积A。其求解的步骤是：
第一步：分割 将区间任意的分成n个小区间，由此曲边梯形就相应地分成n个小曲边梯形,所求的曲边梯形面积A为每个小区间上小曲边梯形面积之和，即；
第二步：近似 对于任意小区间上的小曲面梯形的面积，用高为、底为的小矩形面积近似代替,即，其中;
第三步：求和 曲面梯形的面积A的近似值为；
第四步：取极限 曲面梯形的面积为

其中，.
上述四个步骤中，由第一步知,所求面积A这个量与区间有关,如果把区间分成许多个小区间,那么我们所求的面积A这个量相应地分成许多部分量，而A是所有部分量之和.这种性质称为所求量A对区间具有可加性.这样也就确定了是定积分的积分区间.
由上述四个步骤中第二步的近似表达式可确定出定积分的被积表达式.我们不妨取，于是有，如果记的任一区间为，那么所要求的总量A在这一区间上相应的部分量可写为.称为所求面积A的微元,即，这就是被积表达式，于是所求量.
2。微元法
如果某一实际问题中所求量F满足以下的条件：
(1)F是与变量的变化区间有关的量,且F对于区间具有可加性，即如果把分成若干个小区间，那么总量F就等于相应若干个小区间的部分量之和,这是量F可以用定积分表示的前提,并给出了积分区间；
（2)在的任一小区间上，求相应分量的近似表达式，即求微元［要求与之差比高阶的无穷小］,这给出了被积表达式.
那么所求量F可归结为定积分。
以上方法称为微元法.
例1　求半圆与抛物线所围图形的面积．
解： 由图，由方程组得
交点， ，选择为积分变量，
积分区间为，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二、平面图形的面积
设在上连续，且,则由曲线及直线、所围成的平面图形的面积为
.
其中,为面积微元。
类似地，由直线、,且及直线、所围成的平面图形的面积为
.
其中， 为面积微元
例1 计算由两抛物线所围的面积.
解： 先求两曲线的交点,为此解方程组 得
两组解，。即两曲线的交点为,由此可知图形在直线之间.取为积分变量，，相应于上任一小区间的小曲边梯形的面积近似为，从而得到面积微元.
以为被积表达式,在区间上作定积分,便得所求面积为
。
例2 求曲线与轴围成的平面图形的面积。
解: 为了求出曲线的交点，
解方程组得交点。而曲线与轴的交点为.
所求面积要分成两个区间及来考虑.
取为积分变量，，相应于上任一小区间的小曲边梯形的面积近似为,从而得到面积微元为

相应于上任一小区间的小曲边梯形的面积近似为，于是得到面积微元为
。
以为被积表达式，在闭区间上作定积分，再以为被积表达式,在闭区间上作定积分，并相加，便得所求平面图形的面积为
.
例3 求抛物线与直线所围图形的面积.
解： 为求抛物线与直线的交点，解方程组

得交点为.
取为积分变量，，相应于上任一小区间的曲边梯形的面积近似为，即面积微元为.以为被积表达式,在区间上作定积分，便得所求面积为
。
说明: 本题若以为积分变量,计算会不方便，可见积分变量选取得当,会使计算简化。

习 题 3。3
1．求由下列各曲线所围图形的面积.
（1） (2)
（3) （4）
2．求由轴，曲线及其在点处的切线所围图形的面积.
3．如图所示，若抛物线将长为，宽为的矩形分成面积为和的左右两部分，且，求的值.

第3题图
4．如图所示，对单调连续曲线，试在横坐标与之间的区间上找一点，使直线两边阴影部分面积相等.

第4题图

＊第四节 定积分的物理应用
一、变力做功
在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为．
“以常代变"，功的微元应该通过恒力做功公式得到的．
例1 一压簧，原长1，把它每压缩1时所用的力为0。05．问在弹性范围内把它由1(如图3—4)压缩到60（如图3-5)所做的功．

图3—4

图3—5
解:令起点为原点，压缩的方向为轴的正方向
当把弹簧自原点压缩至之间的任意点处时（如图3-6）

图3—6
由胡克定律知所承受的弹簧的压力为

在此力的作用下,再继续压缩一点点，即压缩至处
由于很小，这个压缩过程可认为力不变，即恒力做功
则由恒力做功公式得功的微元

积分得

．
例2 在原点处有一带电量为的点电荷，在它的周围形成了一个电场．现在处有一单位正电荷沿轴正方向移至处，求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功．
解：点电荷在任意点处时所受的电场力为（为常数）
电场力做功的微元为点电荷由任意点处移动至处时电场力所做的功
即
则移至处电场力做的功

；
移至无穷远处电场力做的功

（物理学中称此值为电场在处的电位)．
例3 一圆台形水池,深15，上下口半径分别为20和10，如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功?
解：水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变,提升的高度也在连续地变化
图3-7
其中抽出任意一层水（处厚为的扁圆柱体，如图3-7阴影部分)所做的功为抽水做功的微元,
即

则

．
二、引力
由物理学知道：质量为、，相距为的两质点间的引力大小为

为引力系数。（引力的方向沿着两质点的连线方向。)
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的,便不能简单地用上述公式来作计算了。
例4 设有一半径为， 中心角为的圆弧形细棒, 其线密度为常数， 在圆心处有一质量为的质点, 试求这细棒对质点的引力.
解决这类问题,一般来说,应选择一个适当的坐标系.

图3—8
解：建立如图图3-8所示的坐标系，质点位于坐标原点，该圆弧的参方程为

在圆弧细棒上截取一小段，其长度为,它的质量为，到原点的距离为，其夹角为，它对质点的引力的大小约为

在水平方向（即轴）上的分力的近似值为

而
于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力的元素，

故
类似地
因此，引力的大小为,而方向指向圆弧的中心.
习题 3。4
1．选择题
（1）曲线直线，及轴所围成图形的面积为( ）．
A． B． C． D．
（2）曲线与两个坐标轴所围成图形的面积为（ )。
A． B． C． D．
2．填空题.
(1）如果物体沿恒力相同的方向移动，那么从位置到变力所做的功___________．
（2）如果物体沿与变力相同的方向移动，那么从位置到变力所做的
功___________.
(3）变速直线运动的物体的速度,初始位置，前所走过的路程为 ________．
3．求抛物线与所围成的图形的面积．
4．在轴上作直线运动的质点，在任意点处所受的力为，试求质点从运动到处所做的功．
5．一半径为1的水井，深10，水面距地面4．如果把水全部抽干（不考虑渗漏因素)，要做多少功？
6．物质曲线上任意点处的线密度,求一段物质曲线的质量．
7．一底为8高为12的矩形薄片垂直沉没于水中，上底在水深5处并与水面平行,求薄片一侧所受的侧压力．
总复习题
一、填空题
1。 如果是函数的一个原函数，则 ．
2. 若，则 ．
3. 设，则 ．
4。 ．
5。 ．
6．利用定积分的几何意义,计算： ．
7．设，则 ．
8．若,则实数的值是 ．
9．由所围成的图形的面积为 ．
10．由曲线所围成的图形的面积等于 ．
二、选择题.
1． 设，则（ ）．

2．（ )．

3．若为可导、可积函数，则（ ）．

4．下列凑微分式中（ ）是正确的．

5．若,则（ ）．

6．由直线,，曲线及轴所围成图形的面积为（ ）

7.已知，则等于 （ ）
0 2
8.等于 （ ）

9．与两坐标轴及所围成的图形的面积为 （ ）
2
10。由曲线，围成的封闭图形的面积为 （ )

三、求下列不定积分。
1. 2。
3. 4。
四、计算下列定积分。
1。 2。
3. 4.
5。 6。
五、已知的一个原函数为，求。
六、已知，且为偶函数，求.
七、求由曲线所围成图形的面积.
八、求直线与抛物线所围成的图形面积.
九、求由抛物线y=x2与y=2－x2所围图形的面积.
十、 一个底半径为，高为的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为)？
十一、一边长为的正方形薄板垂直放入水中，使该薄板的上边距水面1,试求该薄板的一侧所受的水的压力。