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高等数学（下）知识点
高等数学下册常用常见知识点
第八章 空间解析几何与向量代数
（一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设，，
则 , ；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：；
2） 两点间的距离公式：
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
4） 方向余弦：

5） 投影：，其中为向量与的夹角。

（二） 数量积，向量积
1、 数量积：
1）
2）

2、 向量积：
大小：，方向：符合右手规则
1）
2）

运算律：反交换律

（三） 曲面及其方程
1、 曲面方程的概念：
2、 旋转曲面：（旋转后方程如何写）
面上曲线，
绕轴旋转一周：
绕轴旋转一周：
3、 柱面：（特点）
表示母线平行于轴，准线为的柱面
4、 二次曲面（会画简图）
1） 椭圆锥面：
2） 椭球面：
旋转椭球面：
3） *单叶双曲面：
4） *双叶双曲面：
5） 椭圆抛物面：
6） *双曲抛物面（马鞍面）：
7） 椭圆柱面：
8） 双曲柱面：
9） 抛物柱面：

（四） 空间曲线及其方程
1、 一般方程：
2、 参数方程：，如螺旋线：
3、 空间曲线在坐标面上的投影
，消去，得到曲线在面上的投影

（五） 平面及其方程（法向量）
1、 点法式方程：
法向量：，过点
2、 一般式方程：（某个系数为零时的特点）
截距式方程：
3、 两平面的夹角：，，

4、 点到平面的距离：

（六） 空间直线及其方程（方向向量）
1、 一般式方程：
2、 对称式（点向式）方程：
方向向量：，过点
3、 参数式方程：
4、 两直线的夹角：，，

5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

第九章 多元函数微分法及其应用
（一） 基本概念
1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：，图形，定义域：
3、 极限：
4、 连续：
5、 偏导数：

6、 方向导数：
其中为的方向角。
7、 梯度：，则。
8、 全微分：设，则
（二） 性质
1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
1
2
2
3
4

2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
3、 微分法
1） 定义：
2） 复合函数求导：链式法则
若，则
，
3） 隐函数求导：a.两边求偏导，然后解方程（组），b.公式法
（三） 应用
1、 极值
1） 无条件极值：求函数的极值
解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令
，，，
① 若，，函数有极小值，
若，，函数有极大值；
② 若，函数没有极值；
③ 若，不定。
2） 条件极值：求函数在条件下的极值
令： ——— Lagrange函数
解方程组
2、 几何应用
1） 曲线的切线与法平面
曲线，则上一点（对应参数为）处的
切线方程为：
法平面方程为：
2） 曲面的切平面与法线
曲面，则上一点处的切平面方程为：

法线方程为：

第十章 重积分
（一） 二重积分
1、 定义：
2、 性质：（6条）
3、 几何意义：曲顶柱体的体积。
4、 计算：
1） 直角坐标
X型区域：，

Y型区域：，

*交换积分次序（课后题）
2） 极坐标

（二） 三重积分
1、 定义：
2、 性质：
3、 计算：
1） 直角坐标
-----------投影法“先一后二”
-----------截面法“先二后一”
2） 柱面坐标
，
3） *球面坐标*

（三） 应用
曲面的面积：

第十一章 曲线积分与曲面积分
（一） 对弧长的曲线积分
1、 定义：
2、 性质：
1）
2）
3）在上，若，则
4） ( l 为曲线弧 L的长度)
3、 计算：
设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则

（二） 对坐标的曲线积分
1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，
.
向量形式：
2、 性质：
用表示的反向弧 , 则
3、 计算：
设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为
，其中在上具有一阶连续导数，且，则

4、 两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，
则.

（三） 格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在
D 上具有连续一阶偏导数, 则有
2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则
曲线积分 在内与路径无关
曲线积分
在内为某一个函数的全微分
（四） 对面积的曲面积分
1、 定义：
设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，
定义
2、 计算：———“一单值显函数、二投影、三代入”
，，则

（五） 对坐标的曲面积分
1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
2、 定义：
设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义
同理，

3、 性质：
1），则

2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则
4、 计算：——“一投二代三定号”
，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.
5、 两类曲面积分之间的关系：

其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式
1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有

或
2、 *通量与散度*
通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：
散度：
（七） *斯托克斯公式*
1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

2、 *环流量与旋度*
环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为
旋度：

第十二章 无穷级数
（一） 常数项级数
1、 定义：
1）无穷级数：
部分和：，
正项级数：，
交错级数：，
2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散
3）条件收敛：收敛，而发散；
绝对收敛：收敛。
2、 性质：
1） 改变有限项不影响级数的收敛性；
2） 级数，收敛，则收敛；
3） 级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；
4） 必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）
3、 审敛法
正项级数：，
1） 定义：存在；
2） 收敛有界；
3） 比较审敛法：，为正项级数，且
若收敛，则收敛；若发散，则发散.
4） 比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，，而发散，则发散.
5） 比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.
6） 比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.
7） *根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.
8） 极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.
交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。
任意项级数：
绝对收敛，则收敛。
常见典型级数：几何级数：
p -级数：
（二） 函数项级数
1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；
2、 幂级数：
收敛半径的求法：，则收敛半径
3、 泰勒级数

展开步骤：（直接展开法）
1） 求出；
2） 求出；
3） 写出；
4） 验证是否成立。
间接展开法：（利用已知函数的展开式）
1）；
2）；
3）；
4）；
5）
6）
7）
8）

4、 *傅里叶级数*
1） 定义：
正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。
傅里叶级数：
系数：
2） 收敛定理：(展开定理)
设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有

3） 傅里叶展开：
①求出系数：；
②写出傅里叶级数；
③根据收敛定理判定收敛性。
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