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高等数学（下）知识点高等数学下册常用常见知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设，则 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 两点间的距离公式：3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4） 方向余弦：5） 投影：，其中为向量与的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：1）2）2、 向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）运算律：反交换律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲面：（旋转后方程如何写）面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：3、 柱面：（特点）表示母线平行于轴，准线为的柱面4、 二次曲面（会画简图）1） 椭圆锥面：2） 椭球面：旋转椭球面：3） *单叶双曲面：4） *双叶双曲面：5） 椭圆抛物面：6） *双曲抛物面（马鞍面）：7） 椭圆柱面：8） 双曲柱面：9） 抛物柱面：（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：2、 参数方程：，如螺旋线：3、 空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影（五） 平面及其方程（法向量）1、 点法式方程： 法向量：，过点2、 一般式方程：（某个系数为零时的特点）截距式方程：3、 两平面的夹角：， 4、 点到平面的距离：（六） 空间直线及其方程（方向向量）1、 一般式方程：2、 对称式（点向式）方程： 方向向量：，过点3、 参数式方程：4、 两直线的夹角：， 5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：，图形，定义域：3、 极限：4、 连续：5、 偏导数：6、 方向导数： 其中为的方向角。7、 梯度：，则。8、 全微分：设，则（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： 2） 复合函数求导：链式法则 若，则 ，3） 隐函数求导：a.两边求偏导，然后解方程（组），b.公式法（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令， 若，函数有极小值，若，函数有极大值； 若，函数没有极值； 若，不定。2） 条件极值：求函数在条件下的极值令： Lagrange函数解方程组 2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：2、 性质：（6条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标X型区域：，Y型区域：，*交换积分次序（课后题）2） 极坐标 （二） 三重积分1、 定义： 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标 -投影法“先一后二” -截面法“先二后一”2） 柱面坐标，3） *球面坐标*（三） 应用曲面的面积：第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：2、 性质：1） 2） 3）在上，若，则4） ( l 为曲线弧 L的长度)3、 计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：2、 性质： 用表示的反向弧 , 则3、 计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，则.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则 曲线积分 在内与路径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2、 计算：“一单值显函数、二投影、三代入”，则（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理，3、 性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算：“一投二代三定号”，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.5、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有或2、 *通量与散度*通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七） *斯托克斯公式*1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 *环流量与旋度*环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数，收敛，则收敛；3） 级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；4） 必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）3、 审敛法正项级数：，1） 定义：存在；2） 收敛有界；3） 比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散.4） 比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，而发散，则发散. 5） 比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.6） 比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.7） *根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。任意项级数：绝对收敛，则收敛。常见典型级数：几何级数：p -级数：（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：收敛半径的求法：，则收敛半径 3、 泰勒级数 展开步骤：（直接展开法）1） 求出；2） 求出；3） 写出；4） 验证是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 *傅里叶级数*1） 定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数： 2） 收敛定理：(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3） 傅里叶展开：求出系数：；写出傅里叶级数；根据收敛定理判定收敛性。第 17 页 共 17 页