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第五章 数字滤波器的结构

第一节 数字滤波器的结构及表示方法

一、 数字滤波器的两种实现方法
我们已经清楚，数字滤波器的实质是将一串输入的数字序列，通过一定的算法转换成另一串数字序列输出，从而数字滤波器实际就是完成给定运算的计算机.例如对如下的数字低通：

其对应的差分方程是：

显然，这个数字滤波器所规定的运算就是：将每一个输入值和前一时刻的输出值与相乘之积相加，而用这个“和值”作为当前时刻的输出。这说明每求一个输出值，都要进行一次加法运算、一次乘法运算和一次（前一时刻输出的）延时（移位寄存）运算。其延时量为一个基本时间间隔，即运算速率（原抽样频率)的倒数(）。
由此可以想到，数字滤波器一般可以用两种方法来实现。第一，用数字硬件（诸如加法器、乘法器、寄存器或移位寄存器）组成专用的设备,以实现规定的运算，我们称其为数字信号处理器（Digital Signal Processor）.第二，采用计算机,将所要完成的运算编程，用软件来实现。
设某数字滤波器的系统函数为（书中有误）:

其对应的差分方程则为（书中有误）：

该差分方程则可以用下面的硬件设备来实现。
图中(书中有误）,带有的方框表示延时单元，它将输入到它的样值（数码）寄存一个基本的时间间隔（即延时）然后输出。系数、是存储器存储的差分方程里所要乘的系数。运算器用来完成差分方程中的加法和乘法的运算。控制器作为逻辑控制,协调各单元完成运算,最终运算结果由处输出。由于这些部件都可以用数字硬件来实现,因而这就是一台硬件结构的数字滤波器.
数字滤波的运算也可以在计算机中用软件(程序)来实现。例如某数字滤波器的转移函数为：

其差分方程则为：

由此差分方程可得到下图所示的计算流程。按照这一流程编制程序，并让计算机运行这一程序，则可一步步地得到序列的值。
上图表示，首先输入、、三个系数和的诸值,然后开始计算:

计算出之后,将值加1，再进行计算：

如此等等.
二、 用方块图和信号流图表示数字滤波器的结构
为了直观地表示数字滤波器的运算结构，人们常使用方块图或信号流图。因为由它们可以清楚地看出系统运算的步骤、乘法和加法运算的次数以及存储单元的多少等。
1、方块图的表示方法
其各单元的表示符号如图示.对前面刚讨论的差分方程，其方块图的表示也在下图中。

2、信号流图表示法
这种表示方法更为简洁，如下图示.

三、 IIR系统和FIR系统
按照数字滤波器的方块结构或流图结构,可将它们分成IIR系统或FIR系统。
IIR系统即单位脉冲响应为无限长的数字滤波系统。它具有三个特点，例如下述系统：

（特点1：单位脉冲响应无限长）
其系统函数为：

（特点2:是个分式，具有分母多项式）
其对应的差分方程为：

（特点3：运算结构中有的反馈环路）
下图表示了该滤波器的运算结构。
这三个特点是互为因果的，请思索之。

FIR系统即单位脉冲响应为有限长的数字滤波系统。它也具有三个特点，例如下述系统：

（特点1:单位脉冲响应为有限长）

其系统函数为：

（特点2：非分式，无分母多项式)
对应的差分方程为：
（特点3：运算结构中没有的反馈环路）
下图表示了该滤波器的运算结构。

IIR系统或FIR系统可以由系统函数的表达式看出,我们过去说过，一个N阶的系统函数一般可表示为:

该表达式对应的差分方程式为：

显然，如果各个都为零,则系统中将无的反馈环路,因而这种系统就是FIR系统.此时的系统函数是：

但是，只要有一个不为零，则（差分方程）系统结构中就必定有相应的反馈环路将反馈回来，因而这种系统就是IIR系统。IIR系统的系统函数为：

第二节 IIR数字滤波器的结构

IIR数字滤波器的转移函数可以实现为多种不同的结构形式，这里仅介绍其中的两种.
一、 直接型
IIR数字滤波器转移函数的一般形式为：

其对应的差分方程为：

由上式可以看出，该滤波器对输入的具有N级链形的延时结构，对输出的亦有N级链形的延时结构，它们分别标示在下图的左边和右部。
这种由差分方程直接实现的方法称为直接型。它需要2N个延时单元。
二、 正准型
上述直接型结构中的两个部分也可以分别视为两个独立的网络,即两个独立的数字系统。从而可以对其进行调整或变形。
将改写为：

即将看成是由和系统级联组成的，这种思想如下图所示.
则

直接型的实现其实就是这种思想的体现,如下图示。

上述的Z变换等式又可以改写为：

这种思想如下图示。

按照上图的思想，可将直接型中和的级联次序对调，于是形成下图的结构。

合并两个内容相同的延时链，于是得到最终的结构：

我们称这种结构为正准型，因为它所需的延时单元最少。正准型结构比直接型更为经济，这是它的优势所在.

第三节 FIR滤波器的结构

有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的特点是它的为一个有限长的序列，例如长度为N，因此它的转移函数一般具有如下形式：

即：
对等式两边取z反变换，则得到：

则可实现为下图结构。我们称这种结构为横截型。