结构随机振动读书报告.doc

结构随机振动读书笔记
一:导论
现代交通运输工具、能源动力装置，航空航天飞行器以及各类建筑物等，在使用中大多会产生或经受复杂的振动激励,特别是随机振动激励,由之会引起相关的振动环境问题,即设适应性与人员舒适性、可靠性问题,及结构振动疲劳与耐久性问题等。为了在设计中对这些问题加以分析预计并进行必要的验证性试验,往往需要对有关机械结构或其部件进行随机振动响应分析;随机振动（Random vibration）分为确定性振动和随机振动两类,本课程主要讲解了随机激励和确定结构导致的随即反应，随机的振源一般有地震、风、海浪、路面、大气气流等等,从力学上讲，随机振动是结构动力学的一个分支，是对传统振动的发展。从数学上讲，随机振动是随机过程在结构个分支,是对传统振动的发展。从数学上讲，随机振动是随机过程在结构动力学中的应用。研究随机振动的目的,是研究结构在随机激励下随机响应的概率特性；从工程观点来看,其最终目的分析结构系统在随机激励下，研究结构在其使用期内的功能和可靠度。所以，在随机振动理论分析中,将荷载(外加激励）系统作为随机过程加以模型化，并用概率论来定量评价结构（机械）系统具有何种程度的可靠度(安全度）。
工程中的随机振动问题包括振动预测（正问题）、振动环境预测(反问题之一）、系统识别（反问题之二）三种，振动预测是指已知输入的统计量，求输出的统计量，已知输入的统计量，求输出的统计量，进而确定系统的动力可靠度；振动环境预测已知系统的参数和输出,求输入,比如地震反演分析；系统识别是指输入、输出已知，求系统（参数）识别系统的物理参数,如结构的刚度、系统（参数）识别系统的物理参数，如结构的刚度、阻尼、质量等.本课程主要讲解了正问题。
本课程的主要内容包括：一，随机过程相关的数学基础；二，结构动力学相关知识;三，线性系统的随机振动；四，非线性系统的随机振动；五，动力可靠性理论.结构随机振动这一理论体系发展的现状叙述如下：线性系统较为完善，非线性系统从上个世界60年代成为热点，非平稳理论还处于研究的初级阶段，随机系统的静力问题有一些研究随机有限元法随机系统的振动问题 研究几乎看不到，动力可靠性理论目前研究并不多。
二：随机振动的数学基础
2。1 概率论中的基本概念
2.1.1 随机试验、事件、概率空间
随机试验E的一个可能结果ω叫做基本事件，也称为样本点。所有基本事件的集合,叫做基本事件空间，也称样本空间，以Ω记之。—个随机试验的描述应该包括基本事件空间Ω，事件体B和概率P（A).这三个要素应该看成一个统一的整体，构成与随机试验有关的所谓概率空间（Ω、B、P）。可见概率空间(Ω、B、P)是随机试验的数学描述.
2。1.2 条件独立
设是一概率空间，，而且，，则在发生之下，的条件概率：

其中是、同时出现的概率。由上式可以得到
(1。1—2)
这个式子有时称为概率的乘法定理.若，则有

此时称事件与独立，否则称与相关。
2.1。3 随机变量
设是一概率空间。以R1表示实轴，如果对Ω中的每个样本点，有一实数和它对应，我们就得到定义在Ω上实值点函数。如果对每一，集合是σ－域中的事件即

我们就称为随机变量。
2.1。4 概率分布
对于给定的实数x,是一个事件,它的概率是一个依赖于x的函数：
(1。1-11)
称为随机变量X的分布函数。它在区间都有定义，是x的非减函数，即对有,而且有,而且，。
如果随机变量X的分布函数是连续的,且几乎处处可微，我们称X为连续型随机变量。对于连续型随机变量，导数
(1。1—12)
称为随机变量X的密度函数，又称概率密度。
下面给出几个具体的分布形式:
1. 正态分布
正态分布的密度函数为
, (1。1-26a)
其中，与分别为的数学期望和方差（其意义见例1.1—10）。特殊情况下，当，时，称为标准正态分布.称为变异系数。
2. 指数分布
指数分布的密度函数为
(1.1-26b）
式中——大于零的常数.
3. Rayleigh分布
Rayleigh分布密度函数为
， (1。1-26c）
其中为常数。
4. 多维随机分布
常见的多维随机向量有状态分布,其密度函数形式为：
（1。1-26d）
其中：，，是的数学期望。
是协方差矩阵， ,表示的逆矩阵，表示转置。
2.1。5 数字特征
在实际中,随机变量最有用的数字特征是它的一些矩,特别是一阶和二阶矩。随机变量的阶原点矩和阶中心矩分别定义为：
(1.1—27）
(1.1—28）
式中：-—随机变量的密度函数；
(1。1—29）
称为随机变量的数学期望，是的—阶原点矩,它反映随机变量平均数大小的量。二阶原点矩称为随机变量的均方值.
随机变量的二阶中心矩称为方差，而方差的算术平方根，称为均方差。即
(1.1-30)
（1.1-31)
类似地可以定义多个随机变量的联合矩。例如，随机变量和的、阶联合原点矩和中心矩分别定义为：
(1。1-32）
二阶中心矩和分别是和的方差，即
(1。1-33)
另一个二阶中心矩
(1.1—34)
称为和的协方差.二阶原点矩
(1。1-35)
称为和的相关矩。容易证明它和协方差有如下的关系式
（1.1—36)
对于单个随机变量，由式(1。1—36）得
（1.1-37)
方差是反映随机变量关于数学期望离散程度的特性.通过条件密度函数可以定义条件数字特征：

三:随机过程
3.1 基本概念
随机过程是一个所有可能出现的样本函数,的集合；一个随机过程，对于固定的是一个随机变量。一簇随机变量,，，，的总体定义了随机过程。一个随机过程等价于一个随机变量的无限集。
随机变量的数学定义：如果对的每个有限集,有相应的随机变量集合，，，,它们有联合概率分布函数
,
则这簇联合分布函数定义了一个随机过程，。这簇联合分布函数必须满足下面Kolmogorov相容条件。
1） 对于m〉n，

2)
3.2 描述方式
随机过程可以有三种描述方式：
（1）幅域：随机过程的概率特征,“矩”；
(2）时域:一个随机过程在任意不同时刻取值得相关性，“相关函数"；
(3）频域：随机过程的频率结构，“功率谱密度函数”。
3。3 随机过程的期望、矩及特征函数
设X（t)、Y（s）为两个随机过程，，设f(x（t）） 及f（x(t)）.y(t) 两个随机过程函数，可得

令f（x（t）)=xn(t）随机过程在时刻t的n阶矩：

当时表示均值函数，
当时表示均方值函数，
令在时刻t的n阶中心矩：

3.4 随机过程自相关函数、互相关函数
3。4。1自相关函数
定义一个随机过程X（t)在两个不同时刻t1和t2的联合矩

当n=m=1时有自相关函数

定义自协方差函数

自相关系数函数

3.4.2互相关函数
设X(t)、Y（t）为两个随机过程,互相关函数为

互协方差函数

互相关系数函数

3。4.3互相关函数基本性质
（1）对称性
；
；
(2)由Schwarz不等式可以得到，
；
(3)设及为二个随机过程,有

(4）一个随机过程加上一个确定性函数之后,并不改变它的协方差函数。
设为随机过程，为一个确定性函数,也是个随机过程，则，因此，在讨论一个随机过程的自协方差函数时,可以不失一般地假定它有一个零均值。
3.5 随机过程的分类
随机过程的性质是由它的概率分布所决定的.因此，分类的一种方法是基于在整个指标基上，按过程的统计规律性来分类。
按统计规律性，随机过程可以分为两类:平稳过程和非平稳过程.
随机过程叫做平稳或严格平稳的，如果它的所有阶概率分布不随时间原点的平移而变化，即过程和的任意阶概率分布是相同的。这个性质用分布函数来表示就是:
（1。4—1）
式中是任意给定的,若令，可见概率分布只与时间差（）有关,与时间的绝对原点无关。
如果式（1.4-1）不是对任何的成立,而仅对（有限的正整数）成立，则称过程是有限阶平稳的.若过程的概率分布不满足式（1.4—1），条件，则过程是非平稳的。
3.6 平稳过程的相关分析和功率谱分析
自然界中的许多物理现象和工程领域中的许多实际问题，都可以用平稳随机过程的数学模型来描述。一个随机现象，我们可以从幅域——概率分布，时延域--相关分析和频域——功率谱分析等三方面进行描述。
3.6。1 相关分析
相关函数有两方面的应用,其一,它是衡量两个过程与之间线性相关性的一种度量,当时，它是过程前后取值线性相关性的一种描述；其二，在频域上研究过程的自相关函数，我们可以得到过程频率结构的某些重要信息，因此相关函数是随机过程重要的数字特征。下面我们讨论它的性质。
首先给出连续型平稳过程在无限区间上,即：的一阶和二阶矩。这包含：
数学期望
(1.7-1）
自相关函数

自协方差

对于两个联合平稳过程和，它们联合二阶矩是：
互相关函数
（1.7-2)
互协方差
(1.7-3）
3.6。2 功率谱分析
在确定性时间函数分析中，我们知道无论从数学观点还是从物理观点来看，频域中的Fourier分析是有力的工具。在随机过程的分析中，功率谱起着同样的作用。
一个过程的功率谱或称谱密度是它的自相关函数的Fourier变换：
（1.7—12)
上式称为Wiener-Khintchine公式。
两个过程和的互功率谱是它们互相关函数的Fourier变换:
（1.7-13)
3.6.3 四种类型的功率谱
1、 宽带平稳随机过程:它的功率谱密度函数在相对多的频域范围内具有较大的值；
2、 窄带平稳随机过程：它的功率谱密度函数在很窄的频域范围内具有较大的值；
3、 白噪声：宽带过程的理想化,,。
4、 带宽限制的白噪声:
,
5、周期性振动：Fourier展开成一系列简谐振动之和
设随机过程为一零均值,并能用简谐振动展开，得到的自协方差函数

令t1=t2=t得到随机过程离散能量谱
3。6.4 各态历经过程
时间平均的概念：

如果一个平稳随机过程，满足条件,称在均值意义上是各态历经的；再如果满足,则称在自相关意义上是各态历经的。各态历经性质指集合平均与时间平均相等。
3.6。5 几种常见的随机过程
（1)Gauss随机过程（正态过程）
（2）Poisson（泊松）随机过程
（3）Markov（马尔科夫）过程
四：线性系统的随机振动
线性系统随机振动分析的目标是已知输入统计量求输出统计量，主要通过脉冲响应函数和频率响应函数来表达.
4。1 线性系统在单个随机激励下的响应
假定为平稳随机过程，系统为线性结构系统。设已知系统的、,，求解响应的统计特性。
响应的均值函数

响应的自相关函数

响应的自功率谱密度函数

响应的均方值

当为白噪声时，,
响应与激励之间的互相关函数
（?）
当激励为白噪声时，，则。
响应与激励之间的互功率谱密度函数

当激励为白噪声时,。
激励与响应过程的相干性函数（凝聚函数）

上式适用于理想常系数的线性系统。如果与完全无关，则；如果，则存在以下的可能:
1、非线性因素；
2、有外界噪声的干扰。
4.2 线性系统在多个激励下的单个响应
假定两个随机激励、为平稳随机过程,系统为线性结构系统.已知系统的、、、,响应已进入了平稳阶段。
响应的均值函数

响应的自相关函数

响应的自功率谱密度函数

响应的均方值

激励与响应之间的互相关函数、互功率谱密度函数

1、当与不相关时,可得到

2、当两个输入有时，式中为常数，可得到

3、当两个输入之间具有时滞时，即时，可得到

4.3 单自由度线性系统的随机响应分析
基本约定
1、所讨论的问题是在系统的支配方程中除了外加激励是非确定性的以外，其他参数或初始条件均认为是确定的；
2、支配微分方程是随机微分方程在方程中出现的导数在这里理解为均方意义下的导数；
3、解方程中出现的积分,在被积函数为随机函数时，应理解为均方积分；
4、假定均方导数和均方积分均存在。
考虑一单自由度系统的随机振动方程，激励看作随机过程，

假定随机激励在时开始,上式的解为

SDOF线性系统在弱平稳随机激励下的响应
自相关函数：
系统平稳响应的自相关函数为：
（2）

函数叫做传递函数，其物理意义是，在各种不同频率下，有多少百
分比的激励能量是通过系统来传递的,换言之,有的激励能量被过滤掉了。

引入函数

得到：
当时，得到:

激励为白噪声激励时单自由度系统的平稳响应。
1、响应的自相关函数
，式中，则

2、响应的方差与均方值：
3、速度响应的自相关函数

4、位移和速度之间的互相关函数

5、速度响应的方差：

传递函数的特性：对于阻尼比很小的系统，传递函数在处有尖锐的峰值,且。
单自由度线形系统在非平稳随机激励下的响应
谱密度函数

非平稳随机响应分析的基本思路
将非平稳激励表达成一非平稳的确定性函数与平稳随机过程的乘积

式中，为非平稳确定性函数，为平稳随机过程.得到响应的相关函数为

由Wiener—Khintchine关系式，可得

式中,。其物理意义是，等价于单自由度系统，其输入是及零初始条件的响应。
4.4 多自由度线性系统的随机响应分析
多自由度线性系统平稳随机响应分析
1、确定性问题
运动方程为，
(1）
频率响应矩阵

设（1)式可以解耦，则可用模态矩阵作坐标变换，即
（2）
将(2）式代入（1）式，并用左乘，得到，

根据模态的正交性，上式可写成，

广义的频响函数矩阵为

平稳随机响应分析
基本关系式
在方程(1）中，为零均值平稳随机激励，则由维拉-辛钦关系式可推导得,

振型分析法
设为系统的振型矩阵，为随机广义坐标列矢量，响应可按下式作振型展开，
令,（8a）
将(8a)代入（1）式，并用左乘方程两边，同时利用（8b)，得到

可推导得，

因为，则响应的相关函数矩阵和谱密度函数矩阵分别为，

式中，第一脚标表示坐标位置，第二脚标表示振型号。
当考虑小阻尼时，如果不同振型的相应频率间隔不过小的话，则上式中频响函数交叉项之和中可以忽略不计，则

当时，则有

Monte-Carlo法
基本思路
功率谱密度函数为,则地震动加速度时程的一种表达式可写成，

令

则满足零均值各态历经且其功率谱密度函数为的条件，上式中为离散圆频率,,，，、分别为频率上限和下限，为在间均匀分布,相互独立的随机变量。
五： 动力可靠度分析
基本概念
结构动力可靠性,是指承受动荷载的结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的特性。结构的动力可靠性的测度是动力可靠度：承受动态作用的结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率。可靠性用概念表示时称可靠度.
破坏机制：1、首次超越破坏准则；2、疲劳破坏准则

首次超越破坏准则
结构的破坏以其动力反应首次超越临界值或安全界限为标志
1、单侧界限

结构在时间内的动力可靠度，定义为其动力反应不超越安全界限的概率。
为随机过程,为随机变量。等价于；则,

设首次超越安全界限b的时间为，其概率分布函数为，则可推导出

2、双侧界限
设结构的动力反应满足，是安全的,则结构在时间内的动力可靠度定义为

3、包络界限
定义，，

疲劳破坏机制
迈因纳（Miner)线性累积损伤规律

是作用在材料试件上幅值为的简谐力周数;是对应于材料试件上幅值为的引起损坏的循环周数.
平稳Gauss窄带过程的统计特性

随机过程的交差问题
讨论一个在时间内过程穿越的计数过程,记为,即在时间内穿越的次数.
构造两个随机过程：
，为单位阶跃函数，；
。

式中，。
对于平稳过程
正穿越：；
偶次矩

谱带宽参数:
窄带条件下：

当〈0.3-0。35时，可以简化为窄带过程

基于首次超越机制的动力可靠度
基于一定假设的近似方法
直接从结构反应的统计值入手，在一定假设前提下,得到结构反应超越某一界限的交差次数,结构的可靠度就定义为在时间内交差次数为零的概率；（泊松过程法）。
直接从结构的振动方程入手，建立首次超越时间的概率密度所满足或近似满足的微分方程，从而求得首次超越时间或其均值及方差的近似解。
已知交差次数的期望值，以及联合概率密度函数.
泊松过程法（小概率情况下)：假定在时间内与界限的交差次数服从泊松分布,则

令，即得不发生首次超越的概率，亦即结构的可靠度。

范马克改进（低界限问题）：当假定交差服从 Markov分布时,可得到

式中，，
，，