高数上册知识点.doc

高等数学（上）知识点高等数学上册知识点一、 函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数在连续 间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点) 第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二） 极限1、 定义1） 数列极限 : 2） 函数极限 :左极限： 右极限：2、 极限存在准则1） 夹逼准则： 1）2） 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小（大）量1） 定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量.2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小Th1 ;Th2 （无穷小代换）4、 求极限的方法 1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限： a) b) 5）无穷小代换：（） a) b) c) ,（） d) （） e) 二、 导数与微分（一） 导数1、 定义：左导数： , 右导数：函数在点可导2、 几何意义：为曲线在点处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）；5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法.5、 高阶导数1） 定义： 2)Leibniz公式：（二） 微分1） 定义：，其中与无关.2） 可微与可导的关系：可微可导，且三、 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle定理：若函数满足：1）； 2）； 3）；则.2、 Lagrange中值定理：若函数满足：1）；2）；则.3、 Cauchy中值定理：若函数满足：1）； 2）；3）则（二） 洛必达法则（三） Taylor公式（四） 单调性及极值1、 单调性判别法：，则若，则单调增加；则若，则单调减少.2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：在可导，若为的极值点，则.b) 第一充分条件：在的邻域内可导，且，则若当时，当时，则为极大值点；若当时，当时，则为极小值点；若在的两侧不变号，则不是极值点.c) 第二充分条件：在处二阶可导，且，则若，则为极大值点；若，则为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点1）在区间I上连续，若，则称在区间I 上的图形是凹的；若，则称在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：在上连续，在上有一阶、二阶导数，则 a) 若,则在上的图形是凹的； b) 若,则在上的图形是凸的.3）拐点：设在区间I上连续，是的内点，如果曲线经过点时，曲线的凹凸性改变了，则称点为曲线的拐点.（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理； 2、利用函数单调性； 3、利用极值（最值）.（六） 方程根的讨论1、连续函数的介值定理； 2、Rolle定理； 3、函数的单调性； 4、极值、最值； 5、凹凸性.（七） 渐近线1、 铅直渐近线：，则为一条铅直渐近线；2、 水平渐近线：，则为一条水平渐近线；3、 斜渐近线：,存在，则为一条斜渐近线.（八） 图形描绘四、 不定积分（一） 概念和性质1、 原函数：在区间I上，若函数可导，且，则称为的一个原函数.2、 不定积分：在区间I上，函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分.3、 基本积分表（P188，13个公式）；4、 性质（线性性）. （二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：2、 第二类换元法（变量代换）：（三） 分部积分法：（四） 有理函数积分 ： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积分（一） 概念与性质：1、 定义：2、 性质：（7条）性质7 （积分中值定理） 函数在区间上连续，则，使 （平均值：）（二） 微积分基本公式（NL公式）1、 变上限积分：设，则推广：2、 NL公式：若为的一个原函数，则（三） 换元法和分部积分1、 换元法： 2、分部积分法：（四） 反常积分1、 无穷积分：, , 2、 瑕积分：（a为瑕点）, （b为瑕点）两个重要的反常积分：1) 2) 六、 定积分的应用（一） 平面图形的面积1、 直角坐标： 2、 极坐标： （二） 体积1、 旋转体体积：a)曲边梯形轴，绕轴旋转而成的旋转体的体积： b)曲边梯形轴，绕轴旋转而成的旋转体的体积：（柱壳法）2、 平行截面面积已知的立体：（三） 弧长1、 直角坐标： 2、参数方程：3、极坐标：七、 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程 ，两边积分（三） 齐次型方程，设，则； 或，设，则（四） 一阶线性微分方程 ，用常数变易法或用公式： （五） 可降阶的高阶微分方程1、，两边积分次；2、（不显含有），令，则；3、（不显含有），令，则（六） 线性微分方程解的结构1、是齐次线性方程的解，则也是；2、是齐次线性方程的线性无关的特解，则是方程的通解；3、为非齐次方程的通解，其中为对应齐次方程的线性无关的解，非齐次方程的特解.（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：特征方程：，特征根： 特征根通 解实根 （八） 常系数非齐次线性微分方程 1、，设特解，其中 2、设特解，其中 ，第 7 页 共 7 页