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一题多解之利用基本不等式求最值
用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键。
例、已知正数a,b满足，求的取值范围。
思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用将中的b用a表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对变形，获得与ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立的不等式求解.
解析：方法一：由得，，由于a>0,b>0，可得，于是
，
当，即时取等号，的取值范围是

令，则
解得， 所以的取值范围是
运用基本不等式求最值的技巧：
1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一 个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后， 在运用基本不等式。
2、妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通
常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常 数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本 不等式求最值.
针对性练习：
1.已知a＞0,b＞0,则a+2b的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)14
解析：选A.∴a+2b的最小值为
2.若-4＜x＜1，则( )
(A)有最小值1 (B)有最大值1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-1

3.已知0＜x＜1，则的最大值为_________.
解析：∵0＜x＜1，∴lgx＜0，-lgx＞0. 即y≤-4.
当且仅当时等号成立，故ymax=-4.
4.已知函数
(1)求的取值范围； (2)当x为何值时，y取何最大值？

5.已知a>0,b>0，a+b=2,则的最小值是( )
(A) (B)4 (C) (D)5
解析：选C.由已知可得≥，当且仅当
时取等号，即的最小值是.
6.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C) (D)

7.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为( )
(A)5 (B)7 (C)8 (D)9
解析：选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，
因此于是
所以
当且仅当即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.