正弦定理和余弦定理详细讲解.doc

(完整word)正弦定理和余弦定理详细讲解

高考风向　1。考查正弦定理、余弦定理的推导；2。利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．
学习要领　1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．

基础知识梳理
1． 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：（1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2）a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；（3）sin A＝,sin B＝,sin C＝等形式，解决不同的三角形问题．
2． 余弦定理:a2＝b2＋c2－2bccos_A,b2＝a2＋c2－2accos_B,c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝（a＋b＋c）·r(r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R、r.
4． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系式
a＝bsin A
bsin A〈a<b
a≥b
a〉b
解的个数
一解
两解
一解
一解
[难点正本　疑点清源］
1．在三角形中，大角对大边，大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A〉B⇔a〉b⇔sin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA<sinB，cosA<sinC·
2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角;(2)化角为边，并常用正弦(余弦）定理实施边、角转换．

例1．已知在中,,，，解三角形。
思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边。
解析：，
∴，
∴ ，
又，
∴．
总结升华：
1。 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三:
【变式1】在中，已知，，，解三角形.
【答案】根据三角形内角和定理,；
根据正弦定理，；
根据正弦定理，
【变式2】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理,∴。
【变式3】在中，已知，求
【答案】根据正弦定理，得。

例2．在,求：和，．
思路点拨： 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.
解析：由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵, ∴或,
当时，,（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，， ∴,
∴即为锐角， ∴,
∴．
总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题。
2。 在利用正弦定理求角时,因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍。
类型二：余弦定理的应用：
例3．已知中，、、，求中的最大角。
思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
解析:∵三边中最大，∴其所对角最大，
根据余弦定理:，
∵ ， ∴
故中的最大角是.
总结升华：
1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;
2。用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系。
举一反三：
【变式1】已知中， ， , 求角。
【答案】根据余弦定理：，
∵， ∴
【变式2】在中,角所对的三边长分别为，若,求的各角的大小．
【答案】设,，，
根据余弦定理得：，
∵,∴;
同理可得；
∴
【变式3】在中，若，求角。
【答案】∵， ∴
∵， ∴
类型三：正、余弦定理的综合应用
例4．在中，已知，，，求及。
思路点拨： 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角。
解析：
⑴由余弦定理得：

=
=
=
∴
⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：余弦定理）
∵，
∴
（法二:正弦定理）
∵
又∵,
∴＜,即＜＜
∴
总结升华:画出示意图，数形结合,正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
举一反三：
【变式1】在中,已知， ， 。求和.
【答案】由余弦定理得：，
∴
由正弦定理得:，
因为为钝角，则为锐角， ∴.
∴。
【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为,若,，，求角和
【答案】根据余弦定理可得：

∵， ∴ ;
∴由正弦定理得：.

其他应用题详解
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分,共30分)

1．如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　）
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
解析　利用余弦定理解△ABC。易知∠ACB＝120°,在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2,
∴AB＝a。
答案　B
2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)
A．2 km B．3 km
C．3 km D．2 km

解析　如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6,∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°。由正弦定理知＝,所以BS＝sin30°＝3.
答案　B
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（　　）
A．35海里 B．35海里
C．35海里 D．70海里
解析　设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，
EF＝
＝＝70。
答案　D
4．(2014·济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　）
A．20 m B．20 m
C．20(1＋) m D．30 m

解析　如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20 m，所以BM＝20 m．又在Rt△AMD中，
DM＝20 m，∠ADM＝30°，
∴AM＝DMtan30°＝（m)．
∴AB＝AM＋MB＝＋20
＝20(m）．
答案　A
5．(2013·天津卷）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝,BC＝3,则sin∠BAC＝（　　)
A. B.
C. D。
解析　由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝()2＋32－2××3×＝5，所以AC＝，再由正弦定理：sin∠BAC＝·BC＝＝.
答案　C
6．（2014·滁州调研）线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小（　　）
A。 B．1
C. D．2
解析　如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E,则AD＝80t,BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．

由余弦定理，得
DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°
＝（200－80t)2＋2 500t2－(200－80t）·50t
＝12 900t2－42 000t＋40 000。
当t＝时，DE最小．
答案　C
二、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
7．已知A，B两地的距离为10 km，B,C两地的距离为20 km,现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.

解析　如右图所示,由余弦定理可得：
AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700,
∴AC＝10(km）．
答案　10
8．如下图，一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile。此船的航速是________n mile/h。

解析　设航速为v n mile/h
在△ABS中,AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得：＝,
∴v＝32（n mile/h)．
答案　32

9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析　在△BCD中 ，CD＝10，∠BDC＝45°,∠BCD＝15°＋90°＝105°,∠DBC＝30°，＝，
BC＝＝10(米)．
在Rt△ABC中,tan60°＝，AB＝BCtan60°
＝10（米)．
答案　10
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
10．(2014·台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米（如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗？

解　在△BCD中,∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝＝20。
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30（米），所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒）．
11。

如图,A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解　由题意，知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°.
在△DAB中，由正弦定理,得
＝,
于是DB＝＝
＝
＝＝10(海里）．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20（海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900.
得CD＝30（海里）,
故需要的时间t＝＝1(小时),
即救援船到达D点需要1小时．
12。

(2013·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA＝，cosC＝。
(1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解　（1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，
所以sinA＝,sinC＝.
从而sinB＝sin［π－(A＋C）]＝sin(A＋C)
＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝
×＝1 040（m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
（2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时,甲行走了（100＋50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝（100＋50t)2＋(130t）2－2×130t×(100＋50t）×＝200(37t2＋70t＋50）,
因0≤t≤，即0≤t≤8,故当t＝（min）时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500（m）．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1）＝550（m）,还需走710 m才能到达C。
设乙步行的速度为v m/min,由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在［,］(单位：m/min）范围内．

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