第五章5.1相交线.doc

第五章5.1相交线
相交线与垂线

知识精讲
1. 邻补角和对顶角
名称
邻补角[来源:学科网ZXXK]
对顶角
定义
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，有这种关系的两个角，互为邻补角，如下图的∠1和∠2互为邻补角
两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，有这种关系的两个角，互为对顶角，如下图的∠1和∠3互为对顶角
性质
邻补角互补，即：
若∠1与∠2是邻补角，则∠1＋∠2＝180°
对顶角相等，即：[来源:学#科#网Z#X#X#K]
若∠1与∠3是对顶角，则∠1＝∠3
图示

2. 垂线及其性质
（1）垂线及其性质
定义：在两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
画法：①“一落”，即让三角尺的一条直角边落在已知直线上。②“二移”，即沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点。③“三画”，即沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的过已知点的垂线。

性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）垂线段及其性质
定义：如下图，点P为直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，则线段PO就是点P到直线l的垂线段。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，垂线段PO的长度就是点P到直线l的距离。

性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。

经典例题
例题1 (武清区期中)平面内三条直线的交点个数可能有（ ）
A. 1个或3个 B. 2个或3个
C. 1个或2个或3个 D. 0个或1个或2个或3个
思路分析：如图所示，分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点，∴交点个数可能有0个或1个或2个或3个。故选D。
[来源:Zxxk.Com]
答案：D

例题2 （石河子月考）如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，
（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小。
（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由。

思路分析：（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置。（2）过点H作直线EF的垂线段即可。
答案：（1）连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置。

（2）如图所示，过点H作HM⊥EF于点M，则HM即是铺设引水管道的位置。理由是：垂线段最短。

例题3 （港南区期末）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？[来源:Zxxk.Com]

思路分析：（1）、（2）根据平角的性质求得∠AOF，再由角平分线的性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD＝∠FOC；∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的关系。
答案：（1）∵∠AOE＋∠AOF＝180°（互为补角），∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC＝∠AOF＝70°，∴∠EOD＝∠FOC＝70°（对顶角相等）；而∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝90°－40°＝50°，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝70°－50°＝20°；
（2）∵∠AOE＋∠AOF＝180°（互为补角），∠AOE＝α，∴∠AOF＝180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC＝∠AOF＝90°﹣α，∴∠EOD＝∠FOC＝90°﹣α（对顶角相等）；而∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝90°﹣α，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝α；
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE＝2∠BOD。

技巧点拨
（1）邻补角、对顶角形成的前提条件都是两条直线相交。
（2）邻补角是互补的一种特殊情况：数量上互补，位置上有一条公共边。互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角。一个角的邻补角有且只有两个，但一个角的补角可以有多个。
（3）对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。对顶角是两条相交直线形成的角，与角的位置有关；而相等的角多种多样，与角的位置无关，如下图，∠1＝∠2，但它们都不是对顶角。

（4）垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即已知夹角为直角可判定两直线垂直；反之，由两直线垂直可以得到夹角为90°。

同步测试
（答题时间：25分钟）
*1. 点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm、PB＝5cm、PC＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A. 等于4cm B. 等于2cm C. 小于2cm D. 不大于2cm
*2. 如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF＝59°，则∠AED的度数为（ ）

A. 149° B. 121° C. 95° D. 31°
3. 如图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是__________。

*4. 如图，两条直线相交成四个角，已知∠2＝3∠1，那么∠4＝__________度。

**5. （1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；
（2）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角；
（3）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角；
（4）n条直线相交于同一点有__________组不同对顶角。（如图所示）

*6. 如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流。
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由。
[来源:学科网]
**7. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE：∠BOE＝3：1，OF平分∠AOD，∠AOC＝∠AOF﹣30°，（1）求∠EOF；
（2）射线OM平分∠AOF，求∠MOE的度数。

参考答案
*1. D 解析：当PC⊥l时，PC的长度是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，当PC不垂直于直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于2cm，综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm，故选：D。
*2. A 解析：∵EF⊥AB于E，∠CEF＝59°，∴∠AEC＝90°﹣59°＝31°，又∵∠AEC与∠AED互补，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣31°＝149°，故选A。
3. 对顶角相等。解析：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组成的角是对顶角。因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数。故答案为：对顶角相等。
*4. 135 解析：∵∠2＝3∠1，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝135°，则∠4＝∠2＝135°，故答案为：135
**5. n（n－1） 解析：观察图形可知，（1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角，即2×1＝2；（2）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角，即3×2＝6；（3）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角，即4×3＝12；（4）n条直线相交于同一点，有n×（n－1）组不同的对顶角。
*6. 解析：如图所示，（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿AC走，垂线段最短；（3）沿BD走，垂线段最短。

**7. 解析：（1）依题意有：因为OF平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠AOF。因为∠AOC＋∠AOD＝180°，所以∠AOC＋2∠AOF＝180°，又因为∠AOC＝∠AOF－30°，所以∠AOF－30°＋2∠AOF＝180°，解得∠AOF＝70°，所以∠AOC＝∠AOF－30°＝70°－30°＝40°。
∵∠BOD＝∠AOC＝40°，∠DOE：∠BOE＝3：1，∴∠DOE＝30°，∴∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝∠DOE＋∠AOF＝100°；
（2）∵射线OM平分∠AOF，∴∠MOF＝∠AOF＝35°，由（1）知∠EOF＝100°，所以∠MOE＝∠MOF＝∠EOF＝35°＋100°＝135°。

同位角，内错角，同旁内角

知识精讲
1. 相关定义
名称
同位角
内错角
同旁内角
定义
∠1和∠2分别在直线（被截线）AB与CD的同一方（上方），并且都在直线（截线）EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角
∠2与∠7都在直线（被截线）AB、CD之间，并且分别在直线（截线）EF两侧（∠2在直线EF右侧，∠7在直线EF左侧），具有这种位置关系的一对角叫作内错角
∠2与∠3都在直线（被截线）AB、CD之间，并且都在直线（截线）EF的同一旁（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角
图示
两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，构成了八个小于平角的角，简称“三线八角”。

2. 基本特征[来源:学科网]
名称
同位角
内错角
同旁内角
位置特征
在两条被截直线同旁，在截线同侧
在两条被截直线之间，在截线两侧
在两条被截直线之间，在截线同侧
基本图形

结构特征[来源:学科网]
形如字母“F”
形如字母“Z”
形如字母“U”

经典例题
例题1 （乐昌市期末）如图，下列说法中不正确的是（ ）

A. ∠1和∠3是同旁内角 B. ∠2和∠3是内错角
C. ∠2和∠4是同位角 D. ∠3和∠5是对顶角
思路分析：A、∠1和∠3是同旁内角，正确，不合题意；B、∠2和∠3是内错角，正确，不合题意；C、∠2和∠4是同位角，错误，符合题意；D、∠3和∠5是对顶角，正确，不合题意；故选：C。
答案：C

例题2 （灌云县期末）如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？

思路分析：根据同位角的概念作答。准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键是弄清哪两条直线被哪一条线所截。也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线。
答案：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角。

例题3 （涞水县月考）如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题。
（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；
（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？

思路分析：（1）直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案；（2）直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，进而得出答案。
答案：（1）如图所示：同位角共有5对：分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；（2）∠4和∠5是同旁内角，∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同。

技巧点拨
（1）同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系。
（2）两条直线被第三条直线所截形成的8个角（即“三线八角”）中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。
（3）同位角、内错角、同旁内角是两条直线被第三条直线所截得到的，它们没有公共顶点（又称为不共顶点的角），且是成对出现的。

同步测试
（答题时间：30分钟）
*1. 如图，∠1的同旁内角共有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
*2. 已知图①～④，在下述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（ ）

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①
**3. 若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角__________对。

**4. 如图所示，请找出图中所有的互为同旁内角的角。

*5. 如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE。∠A的同位角是__________。∠ABD的内错角是__________。点B到直线AC的距离是线段__________的长度。点D到直线AB的距离是线段__________的长度。

6. 如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1＝40°，试求∠2的同位角及同旁内角的度数。

*7. 说出下列各对角分别是哪一条直线截哪两条直线形成什么角？
（1）∠A和∠ACG；
（2）∠ACF和∠CED；
（3）∠AED和∠ACB；
（4）∠B和∠BCG。

参考答案
*1. C 解析：如图所示，∠1与∠D是同旁内角，∠1与∠DCE是同旁内角，∠1与∠ACE是同旁内角，∴∠1的同旁内角共有3个，故选：C。[来源:学科网]

*2. C 解析：图①③中，∠1与∠2是同位角；故选：C。
**3. 24 解析：一条直线与另3条直线相交（不交于一点），有3个交点。每2个交点决定一条线段，共有3条线段.4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段。每条线段两侧各有一对同旁内角，可知同旁内角的总对数。∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段。又∵每条线段两侧各有一对同旁内角，∴共有同旁内角 12×2＝24对。故答案为：24。
**4. 同旁内角：∠B和∠BDC，∠B和∠DGF，∠CDG和∠DGF，∠EDG和∠DGH，∠DGH和∠GHD，∠DGH和∠GHE，∠GHE和∠E，∠EHD和∠EDH，∠EDH和∠E，∠EDG和∠E，∠E和∠EHD，∠DGH和∠GDH，∠GDH和∠DHG，∠EDH和∠EHD。[来源:学科网ZXXK]
解析：根据同旁内角定义进行分析即可。
*5. 解析：∠A的同位角是∠BDC、∠BED、∠EDC，∠ABD的内错角是∠BDC，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，点D到直线AB的距离是线段DE的长度。
6. 解析：∵∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°，4＝180°﹣∠1＝140°，即∠2的同位角是140°，∠2的同旁内角是40°。

*7. 解析：（1）∠A和∠ACG是直线AC截直线CG、AB形成的内错角；（2）∠ACF和∠CED是直线AC截直线FB、ED形成的内错角；（3）∠AED和∠ACB是直线AC截直线DE、FB形成的同位角；（4）∠B和∠BCG是直线FB截直线CG、AB形成的同旁内角。