第五章5.1相交线.doc

第五章5.1相交线相交线与垂线知识精讲1. 邻补角和对顶角名称邻补角来源:学科网ZXXK对顶角定义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，有这种关系的两个角，互为邻补角，如下图的1和2互为邻补角两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，有这种关系的两个角，互为对顶角，如下图的1和3互为对顶角性质邻补角互补，即：若1与2是邻补角，则12180对顶角相等，即：来源:学#科#网Z#X#X#K若1与3是对顶角，则13图示2. 垂线及其性质（1）垂线及其性质定义：在两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。画法：“一落”，即让三角尺的一条直角边落在已知直线上。“二移”，即沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点。“三画”，即沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的过已知点的垂线。性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）垂线段及其性质定义：如下图，点P为直线l外一点，POl，垂足为O，则线段PO就是点P到直线l的垂线段。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，垂线段PO的长度就是点P到直线l的距离。性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。经典例题例题1 (武清区期中)平面内三条直线的交点个数可能有（ ）A. 1个或3个B. 2个或3个C. 1个或2个或3个D. 0个或1个或2个或3个思路分析：如图所示，分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点，交点个数可能有0个或1个或2个或3个。故选D。来源:Zxxk.Com答案：D例题2 （石河子月考）如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小。（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由。思路分析：（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置。（2）过点H作直线EF的垂线段即可。答案：（1）连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置。（2）如图所示，过点H作HMEF于点M，则HM即是铺设引水管道的位置。理由是：垂线段最短。例题3 （港南区期末）如图，直线EF，CD相交于点O，OAOB，且OC平分AOF，（1）若AOE40，求BOD的度数；（2）若AOE，求BOD的度数；（用含的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出AOE和BOD有何关系？来源:Zxxk.Com思路分析：（1）、（2）根据平角的性质求得AOF，再由角平分线的性质求得FOC；然后根据对顶角相等求得EODFOC；BOEAOBAOE，BODEODBOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的关系。答案：（1）AOEAOF180（互为补角），AOE40，AOF140；又OC平分AOF，FOCAOF70，EODFOC70（对顶角相等）；而BOEAOBAOE904050，BODEODBOE705020；（2）AOEAOF180（互为补角），AOE，AOF180；又OC平分AOF，FOCAOF90，EODFOC90（对顶角相等）；而BOEAOBAOE90，BODEODBOE；（3）从（1）（2）的结果中能看出AOE2BOD。技巧点拨（1）邻补角、对顶角形成的前提条件都是两条直线相交。（2）邻补角是互补的一种特殊情况：数量上互补，位置上有一条公共边。互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角。一个角的邻补角有且只有两个，但一个角的补角可以有多个。（3）对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。对顶角是两条相交直线形成的角，与角的位置有关；而相等的角多种多样，与角的位置无关，如下图，12，但它们都不是对顶角。（4）垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即已知夹角为直角可判定两直线垂直；反之，由两直线垂直可以得到夹角为90。同步测试（答题时间：25分钟）*1. 点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA4cm、PB5cm、PC2cm，则点P到直线l的距离（ ）A. 等于4cmB. 等于2cmC. 小于2cmD. 不大于2cm*2. 如图，直线AB、CD相交于点E，EFAB于E，若CEF59，则AED的度数为（ ）A. 149B. 121C. 95D. 313. 如图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是_。*4. 如图，两条直线相交成四个角，已知231，那么4_度。*5. （1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；（2）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角；（3）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角；（4）n条直线相交于同一点有_组不同对顶角。（如图所示）*6. 如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流。（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由。来源:学科网*7. 如图，直线AB，CD相交于点O，DOE：BOE3：1，OF平分AOD，AOCAOF30，（1）求EOF；（2）射线OM平分AOF，求MOE的度数。参考答案*1. D 解析：当PCl时，PC的长度是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，当PC不垂直于直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于2cm，综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm，故选：D。*2. A 解析：EFAB于E，CEF59，AEC905931，又AEC与AED互补，AED180AEC18031149，故选A。3. 对顶角相等。解析：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组成的角是对顶角。因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数。故答案为：对顶角相等。*4. 135 解析：231，12180，2135，则42135，故答案为：135*5. n（n1） 解析：观察图形可知，（1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角，即212；（2）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角，即326；（3）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角，即4312；（4）n条直线相交于同一点，有n（n1）组不同的对顶角。*6. 解析：如图所示，（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿AC走，垂线段最短；（3）沿BD走，垂线段最短。*7. 解析：（1）依题意有：因为OF平分AOD，所以AOD2AOF。因为AOCAOD180，所以AOC2AOF180，又因为AOCAOF30，所以AOF302AOF180，解得AOF70，所以AOCAOF30703040。BODAOC40，DOE：BOE3：1，DOE30，EOFDOEDOFDOEAOF100；（2）射线OM平分AOF，MOFAOF35，由（1）知EOF100，所以MOEMOFEOF35100135。同位角，内错角，同旁内角知识精讲1. 相关定义名称同位角内错角同旁内角定义1和2分别在直线（被截线）AB与CD的同一方（上方），并且都在直线（截线）EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角2与7都在直线（被截线）AB、CD之间，并且分别在直线（截线）EF两侧（2在直线EF右侧，7在直线EF左侧），具有这种位置关系的一对角叫作内错角2与3都在直线（被截线）AB、CD之间，并且都在直线（截线）EF的同一旁（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角图示两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，构成了八个小于平角的角，简称“三线八角”。2. 基本特征来源:学科网名称同位角内错角同旁内角位置特征在两条被截直线同旁，在截线同侧在两条被截直线之间，在截线两侧在两条被截直线之间，在截线同侧基本图形结构特征来源:学科网形如字母“F”形如字母“Z”形如字母“U”经典例题例题1 （乐昌市期末）如图，下列说法中不正确的是（ ）A. 1和3是同旁内角B. 2和3是内错角C. 2和4是同位角D. 3和5是对顶角思路分析：A、1和3是同旁内角，正确，不合题意；B、2和3是内错角，正确，不合题意；C、2和4是同位角，错误，符合题意；D、3和5是对顶角，正确，不合题意；故选：C。答案：C例题2 （灌云县期末）如图，1和2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？1和3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？思路分析：根据同位角的概念作答。准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键是弄清哪两条直线被哪一条线所截。也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线。答案：1和2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，1和3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角。例题3 （涞水县月考）如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题。（1）在图中的19这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）4和5是什么位置关系的角？6和8之间的位置关系与4和5的相同吗？思路分析：（1）直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案；（2）直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，进而得出答案。答案：（1）如图所示：同位角共有5对：分别是1和5，2和3，3和7，4和6，4和9；（2）4和5是同旁内角，6和8也是同旁内角，故6和8之间的位置关系与4和5的相同。技巧点拨（1）同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系。（2）两条直线被第三条直线所截形成的8个角（即“三线八角”）中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。（3）同位角、内错角、同旁内角是两条直线被第三条直线所截得到的，它们没有公共顶点（又称为不共顶点的角），且是成对出现的。同步测试（答题时间：30分钟）*1. 如图，1的同旁内角共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*2. 已知图，在下述四个图中，1与2是同位角的有（ ）A. B. C. D. *3. 若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角_对。*4. 如图所示，请找出图中所有的互为同旁内角的角。*5. 如图，在三角形ABC中，ABC90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE。A的同位角是_。ABD的内错角是_。点B到直线AC的距离是线段_的长度。点D到直线AB的距离是线段_的长度。6. 如图，直线a、b被直线l所截，已知140，试求2的同位角及同旁内角的度数。*7. 说出下列各对角分别是哪一条直线截哪两条直线形成什么角？（1）A和ACG；（2）ACF和CED；（3）AED和ACB；（4）B和BCG。参考答案*1. C 解析：如图所示，1与D是同旁内角，1与DCE是同旁内角，1与ACE是同旁内角，1的同旁内角共有3个，故选：C。来源:学科网*2. C 解析：图中，1与2是同位角；故选：C。*3. 24 解析：一条直线与另3条直线相交（不交于一点），有3个交点。每2个交点决定一条线段，共有3条线段.4条直线两两相交且无三线共点，共有3412条线段。每条线段两侧各有一对同旁内角，可知同旁内角的总对数。平面上4条直线两两相交且无三线共点，共有3412条线段。又每条线段两侧各有一对同旁内角，共有同旁内角 12224对。故答案为：24。*4. 同旁内角：B和BDC，B和DGF，CDG和DGF，EDG和DGH，DGH和GHD，DGH和GHE，GHE和E，EHD和EDH，EDH和E，EDG和E，E和EHD，DGH和GDH，GDH和DHG，EDH和EHD。来源:学科网ZXXK解析：根据同旁内角定义进行分析即可。*5. 解析：A的同位角是BDC、BED、EDC，ABD的内错角是BDC，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，点D到直线AB的距离是线段DE的长度。6. 解析：140，3140，41801140，即2的同位角是140，2的同旁内角是40。*7. 解析：（1）A和ACG是直线AC截直线CG、AB形成的内错角；（2）ACF和CED是直线AC截直线FB、ED形成的内错角；（3）AED和ACB是直线AC截直线DE、FB形成的同位角；（4）B和BCG是直线FB截直线CG、AB形成的同旁内角。