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(完整word)线性代数习题集
全国2007年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，R(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．二阶行列式≠0的充分必要条件是（　　　）
A．k≠—1 B．k≠3
C．k≠—1且k≠3 D．k≠-1或≠3
2．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0,则其伴随矩阵A＊的行列式｜A*｜=(　　　）
A．a B．a2
C．a3 D．a4
3．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（　　　）
A．｜AB｜=｜BA| B．｜A+B｜=|A｜+|B｜
C．(AB)-1=A-1B—1 D．(A+B)2=A2+2AB+B2
4．设A可逆,则下列说法错误的是（　　　）
A．存在B使AB=E B．|A|≠0
C．A相似于对角阵 D．A的n个列向量线性无关
5．矩阵A=的逆矩阵的（　　　）
A． B．
C． D．
6．设α1=[1，2,1］,α2=［0，5，3]，α3=[2，4，2］,则向量组α1，α2，α3的秩是（　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
7．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解,β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是(　　　)
A．α1+α2 B．α1—α2
C．β+α1+α2 D．β+
8．若A=相似，则x=（　　　)
A．—1 B．0
C．1 D．2
9．若A相似于，则|A—E｜=（　　　）
A．—1 B．0
C．1 D．2
10．设有实二次型f（x1，x2，x3)=，则f(　　　）
A．正定 B．负定
C．不定 D．半正定
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设A,B均为三阶可逆阵，|A|=2，则｜2B-1A2B｜=_________。
12．在五阶行列式中，项a21 a32 a45 a14 a53的符号为_________。
13．设A=，则A*=_________。
14．设三阶方阵A等价于，则R（A）=_________。
15．设α1=[1,2,x］,α2=［—2，-4，1]线性相关,则x=_________.
16．矩阵[1 -1 1]的秩为_________。
17．设λ0是可逆阵A的一个特征值,则A-2必有一个特征值是_________。
18。已知齐次方程组A4×5χ=0的基础解系含有3个向量，则R(A）=_________。
19．已知三阶矩阵A的三个特征值是—1，1，2，则｜A｜=_________。
20．二次型f(x1,x2，x3)=-2 x1x2+x2x3的矩阵是_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．求行列式
22．设A=
求（1）（A+2E）-1（A2—4E）
（2）（A+2E）-1(A—2E）
23．求向量组α1=［1，-1，2，4］，α2=［0,3,1，2]，α3=［3,0，7，14]，α4=［1，-1，2，0]的秩,并求出向量组的一个最大线性无关组.
24．设有非齐次线性方程组
问a为何值时方程组无解？有无穷解?并在有解时求其通解.
25．设A=的特征值是λ1=λ2=2,λ3=4。
（1）求x;
（2）A是否相似于对角阵，为什么？

26．设二次型f（x1,x2，x3）=2（其中a〉0)可通过正交变换化为标准型，求参数a及所用的正交变换.
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关.
28．设A为n阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，证明A+B为正定矩阵

全国2006年10月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,｜A｜表示方阵A的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分,共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A是4阶矩阵，则|—A｜=（　　　）
A．-4｜A| B．—｜A|
C．|A｜ D．4|A｜
2．设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（　　　)
A．（2A）T=2AT B．（3A)—1=3A—1
C．[（AT)T］—1=[(A—1）-1］T D．（AT)-1=A
3．设2阶方阵A可逆,且A—1=，则A=（　　　)
A． B．
C． D．
4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（　　　）
A．α1，α2，α1+α2 B．α1，α2，α1-α2
C．α1-α2，α2—α3，α3—α1 D．α1+α2，α2+α3，α3+α1
5．向量组α1=（1，0，0），α2=（0,0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（　　　)
A．（2，0，0） B．（-3,2,4）
C．（1，1，0） D．（0，—1，0)
6．设A，B均为3阶矩阵，若A可逆，秩(B）=2，那么秩(AB）=（　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
7．设A为n阶矩阵，若A与n阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b（　　　）
A．无解 B．有唯一解
C．有无穷多解 D．解的情况不能确定
8．在R3中,与向量α1=(1，1,1），α2=(1，2，1)都正交的单位向量是（　　　）
A．（—1，0，1） B．（—1，0，1）
C．（1，0，—1) D．(1，0,1)
9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（　　　）
A． B．
C． D．
10．二次型f（x1，x2，x3）=的秩等于(　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．行列式=__________。
12．设矩阵A=,则AAT=__________。
13．设矩阵A=，则行列式｜A2｜=__________.
14．设向量组α1=(1，—3，α)，α2=（1,0，0）,α3=(1，3，-2)线性相关,则a=__________。
15。若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于__________。
16．矩阵的秩等于__________。
17．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解，又已知k1α1+k2α2也是Ax=b的解,则k1+k2=__________.
18.已知P—1AP=，其中P=,则矩阵A的属于特征值=-1的特征向量是__________.
19．设A为n阶方阵，已知矩阵E-A不可逆，那么矩阵A必有一个特征值为__________。
20．实对称矩阵A=所对应的二次型xTAx=__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．计算行列式D=的值。
22．设矩阵A=，B=,求矩阵方程XA=B的解X。
23。设t1，t2，t3为互不相等的常数,讨论向量组α1=(1，t1，), α2=（1,t2，）, α3=（1，t3，）的线性相关性。
24.求线性方程组的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）。
25．设矩阵A=.
（1）求矩阵A的特征值和特征向量;
（2)问A能否对角化？若能,求可逆矩阵P及对角矩阵D，使 P—1AP=D.
26．设
（1）确定α的取值范围，使f为正定二次型；
（2）当a=0时，求f的正惯性指数p和负惯性指数q.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．设A，B为同阶对称矩阵，证明AB+BA也为对称矩阵。
28．若向量组α1，α2,α3可用向量组β1，β2线性表出，证明向量组α1，α2，α3线性相关.

全国2006年7月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明:AT表示矩阵A的转置矩阵;A*表示A的伴随矩阵;R(A）表示矩阵A的秩；｜A｜表示方阵A的行列式；E表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A、B均为n阶方阵，则必有（　　　）
A．|A｜·｜B｜=|B|·|A| B．|（A+B）|=｜A｜+｜B|
C．(A+B）T=A+B D．（AB）T=ATBT
2．设A=，则A—1=(　　　）
A． B．
C． D．
3．若4阶方阵A的行列式等于零，则必有（　　　)
A．A中至少有一行向量是其余向量的线性组合
B．A中每一行向量都是其余行向量的线性组合
C．A中必有一行为零行
D．A的列向量组线性无关

4．设A为m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b有唯一解，则必有(　　　）
A．m=n B．R(A)=m
C．R(A)=n D．R（A）〈n
5．若方程组存在基础解系，则λ等于(　　　）
A．2 B．3
C．4 D．5
6．设A为n阶方阵，则（　　　）
A．A的特征值一定都是实数
B．A必有n个线性无关的特征向量
C．A可能有n+1个线性无关的特征向量
D．A最多有n个互不相同的特征值
7．若可逆方阵A有一个特征值为2，则方阵（A2）-1必有一个特征值为（　　　)
A．— B．
C． D．4
8．下列矩阵中不是正交矩阵的是（　　　）
A． B．
C． D．
9．若方阵A与方阵B等价，则（　　　）
A．R(A）=R（B）
B．|（λE—A）｜=｜（λE-B）|
C．｜A|=|B｜
D．存在可逆矩阵P，使P-1AP=B
10．若矩阵A=正定，则t的取值范围是（　　　）
A．0〈t〈2 B．0〈t≤2
C．t〉2 D．t≥2
二、填空题（本大题共10小题,每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
11．A=（）,B=E-ATA，C=E+2ATA（E为3阶单位矩阵），则BC=___________。
12．已知|A｜=2，且A—1=，则A＊=___________。
13．设A=，A*为A的伴随矩阵，则| A＊｜=___________.
14．已知A=，则（A+3E)—1（A2-9E）=___________。
15．向量组α1=(1,2，3，4）,α2=（2，3,4,5），α3=（3,4，5,6），α4=（4，5，6，7），则向量组｛α1，α2，α3，α4｝的秩是___________。
16．方程组=的基础解系所含向量个数是___________。
17．若A=相似，则x+y=___________。
18．如果方阵A与对角阵D=，则A10=___________。
19．二次型f（x1,x2,x3）=的对称矩阵为___________。
20．二次型f（x1,x2)=2经正交变换化成的标准形是___________。
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．计算行列式D=
22．用克莱姆规则解方程组

23．设向量组α1=(1，-1，2，4）；α2=（0，3，1，2）；α3=（3，0,7，14);α4=（1，—1，2，0）；α5=（2，1，5，6）。问｛α1,α2，α4}是否是其一个最大线性无关组？说明理由。
24．求齐次线性方程组的一个基础解系.
25．求矩阵A=的特征值与全部特征向量。
26．化二次型（用配方法）
f=为标准型,并求所用的变换矩阵.
四、证明题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
27．若向量α1，α2，α3线性无关，问α1+α2，α2+α3，α3+α1的线性相关性,并证明之.
28．设A，B为n阶方阵，满足A+B=AB
（1）证明A—E为可逆矩阵。
（2）若B=，求矩阵A.
全国2006年4月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
试卷说明:AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵，表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分,共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1．行列式的值为（　　　）
A．2 B．1
C．0 D．-1
2．设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则必有（　　　)
A．ACB=E B．CBA=E
C．BAC=E D．BCA=E
3．设n阶方阵A中有n2-n个以上元素为零，则的值（　　　）
A．大于零 B．等于零
C．小于零 D．不能确定
4．设3阶矩阶A=（α1，β,γ）,B=(α2，β，γ)，且=2，=—1，则=（　　　）
A．4 B．2
C．1 D．—4
5．线性方程组 有解的充分必要条件是α=（　　　)
A．-1 B．-
C． D．1
6．设A为m×n矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解的充分必要条件是(　　　）
A．m=n
B．Ax=0只有零解
C．向量b可由A的列向量组线性表出
D．A的列向量组线性无关，而增广矩阵的列向量组线性相关
7．设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
8．设矩阵A=，则A为（　　　）
A．对称矩阵 B．反对称矩阵
C．正交矩阵 D．正定矩阵
9．下列二次型中为规范形的是（　　　）
A．— B．-
C．- D．
10．已知A是n阶实对称矩阵,A2=A，秩（A）=n，则xTAx是(　　　）
A．正定二次型 B．负定二次型
C．半正定二次型 D．不定二次型
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
11．行列式中（2，3）元素的代数余子式A23的值为______。
12．设A是4阶方阵，=-2，则=________。
13．设矩阵A=，则A—1=________.
14．向量组α1=（1，2，-1，1), α2=(2，0，3,0), α3=(-1,2,-4，1）的秩为________.
15．设向量组α1，α2，…，αs线性无关，且可以由向量组β1，β2，…,βt线性表出，则s与t的大小关系为_______.
16．若α1,α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A（3α1-5α2+2α3)=______。
17．设α，β是n元非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，秩（A）=n—1，那么方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的全部解为_____.
18．已知方程组有非零解,则t= .
19．设矩阵A=与B=相似，则y=_______。
20．设矩阵A=，则与其相似的对角矩阵有________。
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．计算行列式的值。
22．设A=,且矩阵X满足AX=A+2X，求X。
23．设A=，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0。
24.求线性方程组 的通解,并用其基础解系表示.
25．求矩阵A=的所有特征值,指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由。
26．已知二次型f（x1,x2，x3)=的矩阵A的一个特征值为1,求α并写出该二次型的标准形。
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关.
28．设A,B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.
全国2006年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明:AT表示矩阵A的转置矩阵，A＊表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式,r（A）表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A是3阶方阵，且|A｜=2，则｜-A｜=（ ）
A．-6 B．-2
C．2 D．6
2．设A=,则A的伴随矩阵A＊=( ）
A． B．
C． D．
3．秩A是n阶方阵,且A的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（ ）
A．r（A)≤n—1 B．A有一个列向量可由其余列向量线性表示
C．｜A|=0 D．A的n-1阶余子式全为零
4．设A为n阶方阵，AB=0，且B≠0，则（ ）
A．A的列向量组线性无关 B．A=0
C．A的列向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关
5．设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是( ）
A． B．
C． D．
6．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量,当A是3阶方阵时,（ ）
A．r（A)=0 B．r（A）=1
C．r（A）=2 D．r（A）=3
7．设A与B等价，则（ ）
A．A与B合同 B．A与B相似
C．｜A｜=｜B｜ D．r（A）=r（B）
8．已知A相似于∧=,则｜A｜=( ）
A．-2 B．—1
C．0 D．2
9．设是可逆阵A的一个特征值，则A—2必有一个特征值是（ )
A． B．
C． D．
10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为1,0，—1,则（ )
A．｜A｜≠0 B．｜A|=0
C．A负定 D．A正定
二、填空题(本大题共l0小题,每小题2分,共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分.
11．按自然数从小到大为标准次序，则排列54123的逆序数=__________。
12．=__________.
13．设A=，则A-1=__________。
14．设=（1，2，4），=（—1，-2,y）且与线性相关，则y=__________。
15．设=（1，1，1),=（1，1，0）,=（1，0，0），=（1，2，-3），则秩（，,，）=__________.
16．若A是秩为1的三阶方阵，是Ax=b的解，且与无关,则Ax=b的通解可表示为x=__________。
17．已知A=与B=相似，则x=__________。
18．若向量α=（1，-2,1）与β=（2，3，t）正交,则t=__________。
19．已知三阶实对称矩阵A有三个特征值2,1，—2，B=A2+2E,则B的特征值是__________.
20．二次型f(x1，x2，x3，x4）=的对称矩阵是__________。
三、计算题(本大题共6小题，每小题8分，共48分)
21．计算行列式的值。
22．设A=且AB=A+2B,求B.
23．设向量组：=(—1，-1,0,0）T， =（1，2,1,-1）T，=（0，1，1，—1）T 、 =（1，3,2，1)T、=（2，6，4，—1)T，试求向量组的秩及其一个极大线性无关组。
24．讨论p取何值时，下列线性方程组无解？有解？并在有解时求其通解。

25．已知A=的一个特征向量是=（1，1，—1）T
（1)确定a，b以及的特征值。
（2)求r(A)。
26．用正交变换化二次型f(x1,x2，x3)=2为标准型，并写出所用的正交变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．设方阵A满足A2—A—2E=0，证明A可逆,并求其逆阵。
28．设是齐次方程组Ax=0的基础解系，证明,也是Ax=0的基础解系。

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