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用中点坐标公式巧解三等分点问题
题1 (北京市西城区2014届高三一模理科第19题)已知椭圆，直线l与W相交于两点，与x轴、轴分别相交于、两点，O为坐标原点.
(1)若直线的方程为，求外接圆的方程；
(2)判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
参考答案 (1)因为直线的方程为，所以直线与x轴的交点，与轴的交点.
得线段的中点，，即外接圆的圆心为，半径为.
所以外接圆的方程为.
(2)存在直线，使得是线段的两个三等分点.理由如下：
由题意知，可设直线的方程为，，，得，.
由方程组 ，得.
所以.
由韦达定理，得, .
由是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合.
所以，解得 .
由是线段的两个三等分点，得.
所以，即

解得，且满足.
所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，且此时直线l的方程为，或.
下面用中点坐标公式给出第(2)问的巧解：
存在直线，使得是线段的两个三等分点.理由如下：
由题意知，可设，由是的中点，得.同理可得.
由点均在椭圆上，可得，然后得点的坐标，进而可得答案.
题2 (2004年高考广东卷第22题)设直线与椭圆相交于两点，又与双曲线相交于两点，三等分线段.求直线的方程.
参考答案 设，得三等分线段的充要条件是线段的中点重合(即)且.
(1)当直线的斜率不存在时，设.
由得；
由得.
因为，所以.
此时.
(2)当直线的斜率存在时，设.
由得

由 得

因为，所以，得或.
i)若，可得；.
再由，得.
此时.
ii)若，由弦长公式得即，也即

因为，所以.
此时.
综上所述，可得所求直线的方程是或.
简解 设，由是的中点，得.同理可得.
由点均在双曲线，得，所以
①
由点均在椭圆上，得，所以
②
由①②可得，.又点不重合，所以有以下三种情形：
(1)且.
可得，所以此时直线的方程是.
(2)且.
可得，所以此时直线的方程是.
(3)且.
可得，得(这里的正、负号任意选取)，所以此时直线的方程是.
综上所述，可得所求直线的方程是或..