高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法.doc

专题二十

基础知识

定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数
（）
满足：
（1）（）
（2）
则收敛，且。
注：交错级数收敛要求数列单调递减且趋向于零。
对于任意项级数，引入绝对值级数的概念：级数称为的绝对值级数。
定理2若级数收敛，则亦收敛。
由定理2知收敛级数分为两种：
（1）条件收敛：要求收敛，发散。
（2）绝对收敛：要求。
总结：判定级数的敛散性，可按如下步骤进行：
（1）首先讨论。若不存在或，级数发散；若，转入第二步。
（2）其次讨论的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。若收敛，则绝对收敛；若发散，转入第三步。
（3）最后讨论的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。若收敛，则条件收敛；若发散，当然发散。

例题

1. 设为常数，判定级数的敛散性。
解：
由于，收敛，由比较判别法知级数收敛（绝对收敛），而为一发散的级数，故发散。
2. 若级数收敛，求。
解：

收敛（），故收敛，而发散，从而。（倘若，则收敛，矛盾）
3. 判定级数的敛散性。
解：令，则，且，而（），发散，故发散，由比较判别法的极限形式知发散，级数不绝对收敛。级数为交错级数，单调递减且，由交错级数的莱布尼兹定理知收敛。故级数条件收敛。
4. 判定级数的敛散性。
解：令，由于

由比值判别法知收敛，故原级数绝对收敛。
5. 对常数，讨论级数

何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？
解：令，，则

下面分三种情形说明：
（1）当（）时收敛，由比较判别法的极限形式知收敛，原级数绝对收敛。
（2）当（）时发散，由比较判别法的极限形式知发散，原级数不绝对收敛。两种小情形：
(i) 当（）时，。令
（）
由于

且，，而

所以充分大时单调增，于是充分大时，单调减少，由交错级数的莱布尼兹定理知原级数收敛，从而条件收敛。
（ii）当时，充分大时，，原级数发散。
注：，
6. 设，，，讨论级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？
解：，，归纳假设，则，，亦即，数列单调递增。，归纳假设，则，数列有上界。由单调有界定理知数列
收敛，设，对等式两边取极限有

解之得。令，由于

由比值判别法知收敛，故原级数绝对收敛。
7. （1）判定级数的敛散性。
（2）若当时，与未等价无穷小，试问交错级数是否一定收敛？若收敛，证明之；若不一定收敛，举一发散的例子。
解：（1）数列单调递减且收敛于0，由交错级数的莱布尼兹定理知交错级数收敛。
（2）不一定收敛。取，则，且

收敛，发散，故发散。
8. 设级数条件收敛，极限存在，求的值，并举出满足这些条件的例子。
解：因级数条件收敛，故级数不可能是正项级数或负项级数（因为正项级数或负项级数只有可能发散或绝对收敛）。由知。下面分三种情形说明：
（1）若，则由比值判别法知收敛，故绝对收敛，与题设条件矛盾。故。
（2）若， ，当充分大时，数列单调递增，故，从而，故发散，与题设条件矛盾。故。
（3）若，，当充分大时，与同为正或同为负，级数不可能条件收敛。故。
综上得。如级数条件收敛，且

习题

1. 判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛？
（1）
（2）
（3）
2. 就常数讨论级数何时绝对收敛、条件收敛、发散？
3. 就常数讨论级数何时绝对收敛、条件收敛、发散？

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