量子力学的矩阵形式及表象变换.doc

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量子力学的矩阵形式及表象变换(曾谨言4.5）
一个量子态可以在不同表象中表示出来的概念。作为对量子态进行运算的算符当然也因之有不同表象的问题.在许多量子力学教科书中把它讲的过分抽象.以下用大家熟悉的解析几何中的坐标及坐标变换作为类比,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念。
4.5。1 量子态的不同表象，么正变换
如图4。2平面（二维）上的直角坐标系的基矢为和，长度为1.彼此正交，即
(1）
图 4.2
表示基矢和的标积.这一组基矢是完备的,因为平面上任何一个矢量，均可用它们来展开:
(2）
其中
(3)
分别代表矢量与两个基矢的标积,即在两个坐标轴上的投影(分量）。当确定之后，就完全确定了平面上一个矢量。因此，可以认为是矢量在坐标系中的表示.
现在假设另取一个直角坐标系，相当于原来坐标系顺时针转过角，其基矢分别用表示.而
(1’)
同一个矢量,在此新坐标系中表示为
(2’)
其中
(3’)
是矢量在坐标系中的表示.
现在要问：同一个矢量在不同坐标系中的表示,有什么关系?
显然,根据式（2)及(2')，
（4)
上式分别用点乘(取标积)，得

若表示成矩阵形式,则为
(5)
或记为

其中
(6）
这就表明,同一矢量,在不同的坐标系中用不同的列矢和来表示，而它们之间通过一个变换矩阵来联系.显然
(7)
(是的转置矩阵) （8）
这种矩阵称为真正交矩阵。又因为
(实矩阵) (9)
所以。因此式(8）也可表示成
(10）
即也是么正矩阵.因此,同一个矢量在不同坐标系中的表示通过一个么正矩阵联系起来。
形式上与此相似，在量子力学中，按态叠加原理,任何一个量子态,可以看成抽象的希尔伯特空间的一个“矢量”.体系的任何一组力学量完全集的共同本征态(简记为,代表一组量子数，为清楚起见,在本节中，假设是离散谱）可以用来构成此态空间的一组正交归一完备的基矢，即
（11）
而体系任何一个态可以用它们展开
（12）
其中
（13）
这一组数就构成矢量在表象中的表示,它们分别是与各基矢的标积.在这里有两点与平常解析几何不同:(1)这里“矢量”一般是复矢量。(2)空间维数可以是无穷，有时甚至是不可数的(连续谱情况)。
现在来考虑另一组力学量完全集,其共同本征态为，也是正交归一完备的,
(11’)
而同一个态也可以用它们来展开
(12’)
其中
(13')
这一组数就是态在表象中的表示。它和在表象中的表示有什么联系？显然
（14）
上式左乘，取标积,利用基矢的正交归一性，得
（15)
其中
(16）
是表象的基矢与表象的基矢的标积.把式(15）表示成矩阵形式，则为
（17）
或简记为
(17'）
式(17)就是同一个量子态在表象和表象中的不同表示的关系，它们通过一个矩阵相联系.可以证明
(18）
即变换矩阵乃是一个么正矩阵，所以变换也称为么正变换。
4。5。2 力学量(算符)的矩阵表示
仍以平面矢量作类比.平面上任一矢量.平面上任一矢量，逆时针转动角后,变成另外一个矢量.在坐标系中,它们分别表示成
(19)
试问与有什么关系?令
图4.3
图4.4
代表沿逆时针方向把矢量转过角的一个运算.用分量形式写出

用点乘,得

用点乘，得

所以
（20）
上式表明,平面上任何一矢量,经过转动运算后变成矢量，把矢量沿逆时针方向转过角的运算用矩阵刻画,有
(21)
这个矩阵的矩阵元是刻画基矢在转动下如何变化的,其中第一列元素

是基矢转动后［变成