量子力学的矩阵形式和表象变换.doc

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§4。5 量子力学的矩阵形式和表象变换
态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量.力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换
（1）直角坐标系中的类比
取平面直角坐标系其基矢(我们过去称之为单位矢）可表示为,见图
其标积可写成下面的形式

我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量可以写为

其中，称为投影分量。
而称为在坐标系中的表示.
现在将坐标系沿垂直于自身面的轴顺时针转角度，则单位基矢变为，且同样有

而平面上的任一矢量此时可以写为

其中投影分量是，。
而称为在坐标系中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？
显然，。
用、分别与上式中的后一等式点积（即作标积）,有

表成矩阵的形式为

由于、及、的夹角为，显然有

或记为

其中

是把在两坐标中的表示和联系起来的变换矩阵.
变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定.
很容易证明，R 具有下述性质：

由于,
其中,
故称这种矩阵为正交矩阵。
但(对应于真转动（proper rotation））且（实矩阵）

我们把满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。
到现在为止，我们介绍了三种矩阵：
厄米矩阵:
正交矩阵：
幺正矩阵：
这三种矩阵在以后的学习中经常涉及到，请注意掌握。
（2)量子力学中的表象
形式上与上述类似,在量子力学中，按照态的叠加原理，任何一个态可以看成Hilbert空间的一个“矢量”.
体系的力学量 F 完全集的共同本征函数系（k 代表一组完备量子数)构成一组正交归一完备基矢.这组基矢构成的“坐标系”称为F 表象。
同样

对于任意态矢量，有

其中

这一组系数就是态（矢)在F表象中的表示,它们分别是与各基矢的内积。
与代数不同的是:
①这里的“矢量”(量子态)是复数;
②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的。
现在考虑同一个态在另一组力学量完全集 （表象)中的表示.
设本征态为,满足正交归一，即

态用这组态矢展开,即

其展开系数为，则这一组系数就是态在表象中的表示。
那么 ？
方法同前述。
因为显然，对后一等式用作内积,有

其中是表象基矢与F表象基矢的内积。
上式也可以写成矩阵的形式:

简记为
通过S 矩阵相联系，且，
即S 矩阵是幺正矩阵（下面将予以证明）。它实际上是联系两个基矢的变换矩阵.
例 试证明： S 矩阵是幺正矩阵
[分析]只要证明的矩阵元是即可。
在F表象中，有

根据S 矩阵元的定义，上式为

利用前面的介绍,函数可以用任何一组正交归一完备函数组来构成，即

则上式

可见，矩阵为单位矩阵,即。
2、力学量算符的矩阵表示
仍以线性空间的矢量作类比
（正向转动θ角）
已经知道：

令，写成分量的形式，有

用对上式点乘，得

即

按照右下图，有

其中。
与此类比，设经算符作用后变成，即

以F表象(力学量F完全集的本征态)为基矢，即
，
则有

下面我们看如何通过上式由求。
对，以作标积，得

其中。
由上式可见，力学量算符对态的作用可以写成

因此,矩阵一旦确定，则所有基矢（因而任何矢量）在作用下的变化也就完全确定了。
例 求一维谐振子坐标 x、动量 p 以及Hamiltonian H 在能量表象中的表示.
[分析]：不同体系的Hamiltonian不一样，能量表象的基矢也不一样。这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamiltonian 的本征函数。
解：利用一维谐振子波函数的递推关系

所以

注意:这里的m、n都是由0开始取值.这样

而

所以

是一个对角矩阵。
任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵。
3、量子力学的矩阵表示
设力学量完全集F的本征态是分立的(基矢可数），在F表象中,力学量L用矩阵表示为，且

而量子态ψ则表示成列矢的形式，即，
其中
这样,量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式。
下面我们分别讨论Schrödinger方程、平均值公式以及本征值方程的矩阵形式。
(1) Schrödinger方程

在F表象中，,系数为时间t的函数.代入上述方程得

对左乘作内积,得

而,这样利用基矢的性质，有

写成矩阵的形式是

(2) 平均值公式
对于力学量算符

若，即在自身表象中，则

将此式代入上页平均值公式，有

则取值为的几率是.
(3） 本征值方程
对本征值方程，用代入，有

用与上式作内积，可得

即

这是的齐次线性方程组.
方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即

写出明显的矩阵形式是

如表象空间的维数为N，则上式是关于的N次方程，有N个实根。记为

用解得的代入前面所得方程组

可以得到。
表成列矢的形式为

它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示.
注意：若有重根,则会出现简并(不同的态对应相同的能级),简并态还不能唯一确定。
4、力学量的表象变换
在F表象中，是基矢，力学量算符可以表成

我们试图寻找与的关系。
是基矢，则
用作用到上式中，有

即
或
其中
同理可得，其中。
(将S矩阵元提到积分号外)
即.
其中.
则是从间基矢变换的幺正矩阵,即

注意：S是不同表象基矢间的变换矩阵。
§4。6 Dirac符号
量子力学的理论描述常采用Dirac符号。
两个优点：
①运算简捷
②不依赖于具体表象
先介绍 括号
1、左矢(bra)与右矢（ket）
Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成.
在这个空间中，态用右矢表示，一般写为，定义在复数域上。
也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如
分别表示坐标、动量和动能算符的本征态。
而表示角动量算符的共同本征态。
左矢如等则是上述右矢的共轭态矢。
2、标积或内积的表示
定义两个态矢和标积的形式为

又称内积。且满足下列关系

若满足，则称与正交。
若满足，则称与是归一的.
若力学量完全集F的本征态（分立）记为,则其正交归一性可写为

对连续谱,比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为

而动量算符的本征态的正交归一性可写为

3、态矢在具体表象中的表示
（1）分立谱的情况
若力学量完全集F的本征态（分立）记为，则在F表象中,任意态矢量可以写为

用同上式两边作内积，有

所以有

即。
它是在上的投影。用列矢表示为

所以

可以看作一个算符，因为它作用在态矢量上后求和，得出的是态矢量。
我们称这个算符为投影算符，用表示,即

而
显然，是在上的投影。
另外有

我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现，通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义。
（2）连续谱的情况
在这种情况下,上述的求和要用积分代替。比如：

要会写，以后经常用到。
（3)两个态矢之间的内积写法
在F表象中，两个态矢和之间的内积可按如下方法计算：

其中

以上是态矢量在具体表象中的表示，下面介绍…
4、算符在具体表象中的表示
设算符的作用用Dirac符号表示为

在F表象中，的矩阵元是

用与上面的作用方程作内积，有
（插入单位算符0
利用前面所得关系

由
则有
上式写成矩阵的形式，有

其中就是算符在F表象中的矩阵表示。
4、量子力学公式
例1用Dirac符号，Schrödinger方程可写为

在F表象下可表示为

即

例2在态下的平均值用Dirac符号表示为

例4 Dirac符号下的本征值方程
的本征方程为

在F表象中左端可以表成

考查左端
右端可以写成

这样写是有目的的
从而有

或写为.
此方程组有非0解的必要条件为

5、表象变换
(1）态的表象变换
态在F表象中用（列矢)表示
在表象中用（列矢）表示
则此两个表示之间的关系可由下式给出

即

其中表示两个基矢之间的关系。
写成矩阵的形式，有

上式可以简写成

其中为么正矩阵，即满足

下面用Dirac符号来证明上式
证明:在F表象中

，同理可证。
可见，用Dirac符号证明上式是比较简单的.
例1已经知道，一维粒子动量为的本征态是

实际上,这是动量为的本征态在坐标表象中的表示,即

而粒子的位置在点的本征态在坐标表象中可表成，即

实际上，任何算符的本征函数在自身表象中的表示都为函数。
例2波函数在坐标表象和动量表象之间的变换
由前述可知，一维粒子态矢在坐标表象中可表示成
即平常习惯所用的波函数
而

类似地，在动量表象中，此态矢量表示成
写成函数形式时应写成，
而不是，以示与有别。
同一个量子态在坐标表象和动量表象中的表达式关系如下:
（插入|p>的完备性关系）
即Fourier变换式

其逆变换为

或写成

此变换的幺正性可通过下式证明：

同理可证明：。
例3任意两个态和的内积记为，在坐标表象中表示成（以一维粒子为例）：

而在动量表象中可以表成：

（2）算符的表象变换
算符在F表象中的矩阵元为

在表象中的矩阵元为
而

写成矩阵的形式是

、分别为在表象和表象中的矩阵。
注意：此式与周世勋书中的式(4.4—10）

有所区别.原因在于选择哪一个为原表象,即S 矩阵是如何定义的。本教材中

例 设一维粒子的Hamitonian量是

写出表象中和的“矩阵元"
分析:已经知道动量算符的本征函数在坐标表象中的表示为

在利用矩阵元的一般写法计算矩阵元时要充分利用上式.
解:
（1)在表象中的“矩阵元"是很容易写的.
利用x算符的本征值方程，有

则

另外注意:

（2）在表象中的“矩阵元”要利用完备性关系以及函数的表象表示来表达。

即。
其它矩阵元可以用相似的方法来计算。
另外注意：在写p表象中的矩阵元时,应灵活运用在x表象中的矩阵元表达式.