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迎初赛苦练本领系列训练天天练005答案
（2013年元月5日）
姓名得分
一、填空题（）
025．满足的位十进制正整数共
有个（用数值作答）．
解：因为表示十进制数的数码，所以；
而确定了，满足条件的数是位正整数也就确定了，所以有种取法；
所以这类整数的个数是：．（重点是题意的理解）
026．已知是公差为正数的等差数列的前项之和；若在时取到最小值，则的
取值范围是
解：设，则；
因此，；（注意红色的部分是“耐克函数”形式）
由题意可知：即；
等价于：．（注：是取整数时的最低点处）
027．函数，对一切满足：，
则
解：取，以为变量，得：；
再取，得：；（注意其中的是任意实数）
从而；故值为0．（重点是赋值夹逼法，不等求值都是如此，亦称“柯西法”）
028．已知定义域在上的函数满足：对，有，
则函数的值域是
解：用替换原已知等式中的，并化简，得：；
则有；
再回代到原已知等式中，得：，；
故，；所以函数的值域是．
二、解答题（）
029．设函数在定义域上的最大值为；（1）求的解析式；
（2）当时，求实数的取值范围．
解：（1）当时，由，易知函数在区间上是增函数；
所以当时取最大值即；
当时，函数在上的图像是开口向下的抛物线的一段，
直线是抛物线的对称轴，并且有，则有下面三种情形：
当即时，函数在上是增函数；
所以有；
当即时，在顶点处取最大值；
所以有；
当即时，函数在上是减函数；
所以有；
综合上述可得：．
（2）考虑函数的单调性；（单调性是本小题的关键）
由于当时，，
所以在是严格单调增函数；
再从（1）中的表达式可知：在R上是不减函数；
又由于；可得：；解之可得：或；
但是，当时，；（检验是本小题的易错点）
此时有，不适合题意，舍去；
所以的取值范围是．
030．15名小朋友每人有15枚棋子，他们玩一种“石头、剪刀、布”的游戏，每两人之间只进行
一次胜负对决，并且负者送给胜者一枚棋子；游戏结束后，将15名小朋友分成甲、乙两组，
甲组的棋子总数比乙组的棋子总数多63枚；求乙组中棋子枚数最多的小朋友棋子枚数的最大
值和最小值．
解：设甲组有人，乙组有人；
再设两组之间对决时甲组胜了次，乙组胜了次，
则有：；
各组的棋子总数＝开始拥有的棋子总数+赢的棋子数－输的棋子数；
由题意可得：；
化简可得：；
显然，必为偶数，且由，得：
；
所以，的值可取为6，8，10，12；
从而数组；
乙组的棋子总数＝+－
＝+－
＝
＝
＝81
故当时，乙组中有9人，没有胜一次，所求的最小值为；
当时，乙组中有3人，胜36次，所求的最大值为；（都是极端情形）
因此，乙组中棋子枚数最多的小朋友的棋子数的最大值为29枚，最小值为9枚．

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