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(完整版)勾股定理的各类习题型
勾股定理各种题型：
一:勾股定理面积相等法：
方法1:
方法2：
方法3：
二：方程思想和勾股定理结合的题目
1。（2016春?宜春期末）一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为(　　）
A．米 B．2米 C．10米 D．米
【考点】勾股定理的应用．
【分析】可设AB=x，则BC=2x，进而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可．
【解答】解：由题意可得，AC2=BC2﹣AB2，即（2x)2﹣x2=52,解得x=，
所以旗杆原来的高度为3x=5，故选D．
【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．
2.（2016春？防城区期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°,CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．4
【考点】勾股定理；平行线的性质．
【分析】由平行线的性质得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的长．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠A=∠1=50°，
∴∠A+∠B=50°+40°=90°,
∴∠C=90°，
设CF=x，则EF=x+1,
根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，
即32+x2=（x+1）2,
解得：x=4，
∴EF=4+1=5，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
3.（2015春？蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD中,AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合,折痕为EF，则BE的长为(　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】翻折变换（折叠问题)．
【分析】根据折叠的性质可得BE=ED,设AE=x，表示出BE=9﹣x,然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合,
∴BE=ED,
设AE=x,则ED=9﹣x，BE=9﹣x,
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即32+x2=（9﹣x)2,
解得x=4，
∴AE的长是4，
∴BE=9﹣4=5，
故选C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键．
4.（2008秋?奎文区校级期末）在我国古代数学着作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解;设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：，
解得：x=12（尺)，
芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺）,
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【点评】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．
三:勾股定理应用：求最短距离问题
1.（2014秋?环翠区期中）如图,长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　）
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
【考点】平面展开—最短路径问题．
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解:将长方体展开，连接A、B′，
则AA′=1+3+1+3=8（cm),A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，AB′==10cm．
故选C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．
2.（2016春?繁昌县期末）如图，是一长、宽都是3cm,高BC=9cm的长方体纸箱，BC上有一点P,PC=BC,一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是(　　）
A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．
【解答】解:（1）如图1,AD=3cm,DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP==3cm；
（2）如图2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，
Rt△ADP中，AP==6cm．
综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm．
故选A．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
3。(2016？大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm,那么所需彩带最短的是（　　）
A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm
【考点】平面展开—最短路径问题．
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理．
【解答】解:由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形,则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，
∴x2=(12×4）2+202，
所以彩带最短是52cm．
故选D
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”,用勾股定理解决．
4。（2016?游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐,长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁,在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．（　　）
A．7 B． C．24 D．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内,在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：
H′E===7,
②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，
则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：
H′E==
故选B．
【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．
5.（2015秋?宜兴市校级期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是　10　cm．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：底面圆周长为2πr,底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm）,展开得:
∵BC=8cm，AC=6cm，
根据勾股定理得:AB==10（cm）．
故答案为:10．
【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．
四:网格问题
(简单）1、在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC中BC边上的高为
答案：设△ABC中BC边上的高为h．
∵AB^2=5，AC^2=20，BC^2=25,
∴BC^2=AB^2+AC^2,
∴∠A=90°，
S△ABC=ABAC=BCh，即
=5h．
解得，h=2．
故答案是：2．
2.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图(一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
（1）求图（一)中四边形ABCD的面积;
(2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．
图(一）图（二)
答案:解：(1）方法一：S＝×6×4
＝12
方法二：S＝4×6－×2×1－×4×1－×3×4－×2×3＝12
（2）（只要画出一种即可）
3、如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上．
请按要求完成下列各题：
（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；
(2）试判断△ABC的形状？请说明理由；
答案：(1）图象如图所示；
（2)由图象可知AB2=12+22=5,
AC2=22+42=20，
BC2=32+42=25,
∴BC2=AB2+AC2，
△ABC是直角三角形。
4、如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场,一只鸽子落在点A处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？
答案：AB=5cm,BC=13cm．所以其最短路程为18cm
（难题）5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形.
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，,
，故
五：方位角问题
1、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点．
(1）求A、C两点之间的距离;
（2）确定目的地C在营地A的什么方向？
2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散,他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
答案：如图,甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，
走了12千米,即OA=12．
乙从上午9：00到上午10:00一共走了1小时，
走了5千米，即OB=5．
在Rt△OAB中，AB2=122十52=169，∴AB=13，
因此,上午10：00时,甲、乙两人相距13千米．
∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系．
答：上午10:00甲、乙两人相距13千米,两人还能保持联系．
3、如图,甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛。若C、B两岛相距60海里,问乙船的航速是多少？
答案：从两船航行的方向看，北偏东40度和南偏东50度的夹角为90
AC⊥AB
甲船速度每小时16海里,所以AC=16×3=48海里
AB2=BC2—AC2=3600—2304=1296
AB=36
所以乙船速度为每小时：36÷3=12海里
4、如图，北海海面上,一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接基地命令，要该舰前往C岛，接送一病危渔民到基地医院救治,已知C岛在A的北偏东60方向，且在B北偏西45方向，军舰从B处出发，平均每小时走20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时，参考数据：,?？）
解:作CD⊥AB于D,根据题意，得∠CAB=30°，∠CBD=45°
不妨设CD=x海里，则BD=x海里,AD=x海里，AC=x海里，
BC=x海里,
∴x+x=40
∴x=（20-20）海里
∴AC+BC=
=20+40—20—40
=≈49.98（海里)
49.98÷20=2.499≈2。5（小时）
答：需要大约2。5小时才能把患病渔民送到基地医院。