截长补短法.doc

(完整word)截长补短法截长补短法第二课堂活动方案八年级数学组图1-1八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用。而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1. 已知，如图11,在四边形ABCD中,BCAB，AD=DC,BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180.分析：因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F,如图12图1-2BD平分ABC，DE=DF,在RtADE与RtCDF中，RtADERtCDF(HL)，DAE=DCF。图2-1又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180例2. 如图21，ADBC,点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。图2-2分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC,如图22在FCE与BCE中，FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC,ADC+BCD=180,DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，FDEADE(ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3. 已知，如图3-1,1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D,AB+BC=2BD。求证:BAP+BCP=180。分析:与例1相类似，证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。图3-1证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，图3-2RtBPERtBPD(HL），BE=BD。AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE。在RtAPE与RtCPD中，RtAPERtCPD（SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180图4-1例4. 已知：如图41，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD。分析:从结论分析,“截长”或“补短都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。证明：方法一(补短法）图4-2延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中，ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC。方法二（截长法）图4-3在AB上截取AF=AC，如图43在AFD与ACD中，AFDACD（SAS)，DF=DC，AFDACD。又ACB2B,FDBB，FD=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。 上述两种方法在实际应用中,时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助.