截长补短法.doc

(完整word)截长补短法
《截长补短法》第二课堂活动方案
八年级数学组
图1-1
八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用。而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知，如图1—1,在四边形ABCD中,BC＞AB，AD=DC,BD平分∠ABC.
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F,如图1—2
图1-2
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF,
在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠DAE=∠DCF。
图2-1
又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°
例2. 如图2—1，AD∥BC,点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
图2-2
分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法"中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.
证明：在CD上截取CF=BC,如图2—2
在△FCE与△BCE中，

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中，

∴△FDE≌△ADE(ASA），∴DF=DA，
∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.
例3. 已知，如图3-1,∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD。
求证:∠BAP+∠BCP=180°。
分析:与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。
图3-1
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2
∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，
在Rt△BPE与Rt△BPD中，
图3-2

∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL），∴BE=BD。
∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE。
在Rt△APE与Rt△CPD中，

∴Rt△APE≌Rt△CPD（SAS),∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°
图4-1
例4. 已知：如图4—1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD。
分析:从结论分析,“截长”或“补短"都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。
证明：方法一(补短法）
图4-2
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中，

∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC。
方法二（截长法）
图4-3
在AB上截取AF=AC，如图4—3
在△AFD与△ACD中，

∴△AFD≌△ACD（SAS)，∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。
又∵∠ACB＝2∠B,∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB。
∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD。
上述两种方法在实际应用中,时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法"对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助.