线性规划拔高练习.doc

线性规划 　
一．选择题（共10小题）
1．设m∈R，实数x，y满足，若|2x+y|≤18恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣3≤m≤3 B．﹣6≤m≤6 C．﹣3≤m≤6 D．﹣6≤m≤0
2．已知变量x、y满足约束条件，且z=x+2y的最小值为3，则≥的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠PAB的最大值为（　　）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
A． B． C． D．
4．已知平面直角坐标系中点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域，若区域D的面积为8，则b的值为（　　）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（　　）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
A．2 B．4 C．3 D．6
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足=1，则实数m的取值范围是（　　）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
A．[1，+∞） B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，则的最小值为（　　）彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
A．4 B． C． D．7
8．已知x，y满足不等式组，关于目标函数z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|最值的说法正确的是（　　）
A．最小值0，最大值9 B．最小值2，最大值9
C．最小值3，最大值10 D．最小值2，最大值10
9．设实数x，y满足不等式组，（2，1）是目标函数z=﹣ax+y取最大值的唯一最优解，则实数a的取值范围是（　　）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2]
10．非空集合A={（x，y）}，当（x，y）∈A时，对任意实数m，目标函数z=x+my的最大值和最小值至少有一个不存在，则实数a的取值范围是（　　）厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
A．（﹣∞，2） B．[0，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）

2017年09月10日157****6806的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．设m∈R，实数x，y满足，若|2x+y|≤18恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣3≤m≤3 B．﹣6≤m≤6 C．﹣3≤m≤6 D．﹣6≤m≤0
【分析】将不等式恒成立问题转化为平面区域在两条直线之间利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由|2x+y|≤18得﹣18≤2x+y≤18，
若|2x+y|≤18恒成立，
等价为不等式组对应的平面区域
都在直线2x+y=18和2x+y=﹣18之间，
即对应的两个直线（红色）之间，
作出不等式组对应的平面区域如图，
由得，即A（6，6），此时A满足条件.2x+y=18，
由得，
即B（﹣，﹣3），
要使不等式组对应的平面区域都在两条直线之间，
则直线y=m满足在直线y﹣=﹣3和y=6之间，
则﹣3≤m≤6，
故选：C

【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转化为平面区域在两条直线之间是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。

2．已知变量x、y满足约束条件，且z=x+2y的最小值为3，则≥的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，得到当直线得z=x+2y截距最小时z最小，求出可行域内使直线截距最小的点的坐标，代入x=a求出a的值，利用≥的几何意义，转化求解概率即可．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
【解答】解：由变量x、y满足约束条件画出可行域如图，

由z=x+2y的最小值为3，在y轴上的截距最小．
由图可知，直线得z=x+2y过A点时满足题意．
联立，解得A（3，0）．A在直线x=a上，可得a=3．
则≥的几何意义是可行域内的点与Q（﹣1，0）连线的斜率超过，
由图形可知：直线x=3与直线x﹣2y+1=0的交点为：（3，2），
直线x﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3），
∴则＜的概率：=，
则≥的概率是：1﹣=．
故选：D．
【点评】本题考查了简单的线性规划，训练了数形结合的解题思想方法，是难题．

3．记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠PAB的最大值为（　　）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
A． B． C． D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线和圆相切的性质转化为OP最小，然后利用点到直线的距离公式进行求解即可．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若cos∠PAB最大，则只需要∠PAB最小，即∠APO最大即可，
则sin∠APO==最大，此时OP最小即可，
此时OP的最小值为O到直线4x+3y﹣10=0的距离，
此时OP===2，
∵OA=1，∴∠APO=，∠PAB=，
则cos∠PAB=，
故选：A

【点评】本题主要考查线性规划的综合应用，根据条件结合三角函数的性质转化为OP最小以及利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．综合性较强．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。

4．已知平面直角坐标系中点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域，若区域D的面积为8，则b的值为（　　）铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设P点坐标，根据向量数量积的坐标运算，求得λ和μ，由λ和μ的取值范围，即可求得，画出可行域，求得E和F点坐标，利用两点之间的距离公式求得|EF|，根据两平行线之间的距离公式，求得3y﹣x﹣4=0与3y﹣x+4﹣8b=0距离为，根据平行四边形的面积公式，即可求得b的值．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
【解答】解：设P的坐标为（x，y），
∵A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），
∴=（x﹣1，y+1），=（3，1），=（1，3），
∵（，1＜μ≤b），
∴（x﹣1，y+1）=λ（3，1）+μ（1，3）=（3λ+μ，λ+3μ），
∴，
解得λ=，μ=，
∵，1＜μ≤b，
∴，
即，
作出不等式组对应的平面区域，
∵，解得：，，解得：，
则E（5，3），F（，），则丨EF丨==
3y﹣x﹣4=0与3y﹣x+4﹣8b=0距离为，
∴平面区域的面积为S=•=8，
解得b=3，
故选A．

【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、两平行线之间的距离公式，考查了作图能力、推理能力与计算能力，属于难题．贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。

5．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（　　）坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
A．2 B．4 C．3 D．6
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，
而R′Q′=RQ，
由得，即Q（﹣1，1）
由得，即R（2，﹣2），
则|AB|=|QR|===3，
故选：C

【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。

6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足=1，则实数m的取值范围是（　　）買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
A．[1，+∞） B． C． D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，由|3x﹣4y﹣12|=5得d==1，即d的几何意义是区域内的点到直线3x﹣4y﹣12=0的距离等于1，利用数形结合进行求解即可．綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点B坐标为（m，﹣m），（m＞0）
直线2x﹣y+1=0得y=2x+1，
由|3x﹣4y﹣12|=5得=1，
设d=，
则d的几何意义是区域内的点到直线3x﹣4y﹣12=0的距离等于1，
设到直线3x﹣4y﹣12=0的距离等于1的直线为3x﹣4y+c=0，
则=1，得c=﹣7或c=﹣17．
要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足|3x﹣4y﹣12|=5，
则点B（m，﹣m）必在直线3x﹣4y﹣7=0的下方，
即3m+4m﹣7≥0，解得m≥1．
故m的取值范围是：[1，+∞）．
故选：A．

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．

7．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，则的最小值为（　　）驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
A．4 B． C． D．7
【分析】设出M，N，P的坐标，根据向量数量积的公式进行转化，利用数形结合转化为线性规划进行求解即可．
【解答】解：∵M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，
∴设M（a，b），N（﹣a，﹣b），则满足a2+b2=1，
设P（x，y），
则=（a﹣x，b﹣y）•（﹣a﹣x，﹣b﹣y）=﹣（a﹣x）（a+x）﹣（b﹣y）（b+y）
=﹣a2+x2﹣b2+y2=x2+y2﹣（a2+b2）=x2+y2﹣1，
设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则原点到直线x+y﹣4=0的距离最小，
此时d==2，
则z=d2=（2）2=8，
则=x2+y2﹣1=8﹣1=7，
故选：D．

【点评】本题主要考查向量数量积以及线性规划的应用，利用坐标系结合斜率数量积的公式转化为线性规划问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。

8．已知x，y满足不等式组，关于目标函数z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|最值的说法正确的是（　　）
A．最小值0，最大值9 B．最小值2，最大值9
C．最小值3，最大值10 D．最小值2，最大值10
【分析】作出不等式组对应的平面区域，讨论x﹣2y﹣2和x﹣y的符号，取得极大值，利用数形结合进行求解即可．锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
作出x﹣2y﹣2=0对应的直线，则由图象知平面区域都在直线x﹣2y﹣2=0的左上方，
即x﹣2y﹣2＜0，
则z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2），
当x﹣y≥0，对应的区域在直线x﹣y=0的下方，即平面区域ABED，
此时z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2）=x﹣y﹣x+2y+2=y+2，
即y=z﹣2，平移直线y=z﹣2，得当直线经过A（1，0）时，y最小，此时z最小，
即z=2，
当经过E时，y最大，此时z最大，
由得，即E（，），此时z=+2=，即此时2≤z≤，
当x﹣y＜0，对应的区域在直线x﹣y=0的上方，即平面区域CDE，
此时z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2）=﹣x+y﹣x+2y+2=﹣2x+3y+2，構氽頑黉碩饨荠龈话骛。
即y=x+﹣，平移直线y=x+﹣，得当直线经过D时，直线的截距最小，此时z最小，
由，得，即D（1，1），此时z=﹣2+3+2=3，
当直线经过C时，直线的截距最大，此时z最大，
由得，即C（1，3），此时z=﹣2+3×3+2=9，即此时3≤z≤9，
综上2≤z≤9，
即最小值2，最大值9，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分类讨论以及数形结合，利用平移法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．輒峄陽檉簖疖網儂號泶。

9．设实数x，y满足不等式组，（2，1）是目标函数z=﹣ax+y取最大值的唯一最优解，则实数a的取值范围是（　　）尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用2，1）是目标函数z=﹣ax+y取最大值的唯一最优解，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围．识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
则A（1，0），B（2，1），C（0，5）
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y=ax+z，则直线的截距最大时，z也最大，
当a=0时，y=z在C的截距最大，此时不满足条件，
当a＞0时，直线y=ax+z，在C处的截距最大，此时不满足条件．
当a＜0时，直线y=ax+z，要使，（2，1）是目标函数z=﹣ax+y取最大值的唯一最优解，
则y=ax+z在B处的截距最大，此时满足目标函数的斜率a小于直线BC的斜率﹣2，
即a＜﹣2，
故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。

10．非空集合A={（x，y）}，当（x，y）∈A时，对任意实数m，目标函数z=x+my的最大值和最小值至少有一个不存在，则实数a的取值范围是（　　）恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
A．（﹣∞，2） B．[0，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用特殊值法，分别判断当a=0和a=﹣1时，不等式组对应的区域是否满足条件．利用排除进行求解即可．鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
【解答】解：若a=0，则不等式组对应的平面区域如图，此时平面区域为半封闭区域，则对任意实数m，目标函数z=x+my的最大值和最小值至少有一个不存在，故a=0成立，排除C，D；硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。

若a=﹣1，则不等式组等价为，对应的区域为：

此时平面区域为半封闭区域，则对任意实数m，目标函数z=x+my的最大值和最小值至少有一个不存在，故a=﹣1成立，阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。
排除B，
故选：A．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，由于含有参数，利用特殊值法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。

第16页 老王伴你飞