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第一章第六节
极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】
1、了解函数和数列的极限存在准则；
2、掌握两个常用的不等式；
3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】
1、夹逼准则；
2、单调有界准则；
3、两个重要极限。
【重点难点】
重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】
引入：考虑下面几个数列的极限
1、1000个0相加，极限等于0。
2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、，其中，，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：
一、极限存在准则
1. 夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:

那么数列的极限存在, 且.
证：

取上两式同时成立,
当时，恒有
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有

那么存在, 且等于.
准则 I和准则 I' 称为夹逼准则。
【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。
例1 求
解：

由夹逼定理得：
【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用
2. 单调有界准则
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。
几何解释:

例2 证明数列（重根式）的极限存在
【分析】已知，，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论
证：1、证明极限存在
a) 证明有上界
，设，则
所以对任意的n，有
b) 证明单调上升

所以存在
2、求极限
设，则，解得（舍去）
所以
二、两个重要极限
1.

如右图所示，，

例3 求下列极限
（1）
解：原极限
2. ，，；“”型
【说明】
（1）上述三种形式也可统一为模型
（2）第二个重要极限解决的对象是型未定式。
例如，
例4 求下列极限
（1）
解：原极限
（2）
解：原极限=
【课堂练习】求 。
解：

而 ，
所以 原极限
【内容小结】
1、 夹逼准则 当时，有，且=，则。
2、单调有界准则
（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在；
（2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
3、两个重要极限
（1）为弧度）；
（2），

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