实数经典例题+习题(最全).doc

(完整版)实数经典例题+习题(最全)
经典例题
类型一．有关概念的识别
　　1．下面几个数：0。23 ,1.010010001…，，3π，,，其中，无理数的个数有( ）
　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4
　　解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1。010010001…，3π，是无理数
　　故选C
　　举一反三:
　　【变式1】下列说法中正确的是（ ）
　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数
　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
　　　　　　∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．
　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

　　A、1　　　 B、1。4　　　 C、 　　　D、
　　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知｜AO｜=，∴A表示数为，故选C．

　　【变式3】
　　【答案】∵π= 3。1415…，∴9＜3π＜10
　　　　　　因此3π—9＞0，3π—10＜0
　　　　　　∴

类型二．计算类型题
　　2．设，则下列结论正确的是( ）
　　A。 　　　　　　B。
　　C。 　　　　　　D.
　　解析:（估算）因为，所以选B
　　举一反三:
　　【变式1】1)1。25的算术平方根是__________；平方根是__________。2） —27立方根是__________. 3)___________, ___________，___________.
　　【答案】1）；。2）—3。 3)， ,

　　【变式2】求下列各式中的
　　（1） 　　　（2）　　　　（3）
　　【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合
　　3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______
　　解析：在数轴上找到A、B两点,
　　举一反三:
　　【变式1】如图,数轴上表示1，的对应点分别为A,B，点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是（ ）．

　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2
　　【答案】选C

　　[变式2］ 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

　　　　　　化简
　　【答案】：

类型四．实数绝对值的应用
　　4．化简下列各式：
　　（1） ｜-1.4｜　　　(2) |π-3。142|
　　(3） |—｜ 　　　(4） |x-|x-3｜｜ （x≤3）
　　（5) |x2+6x+10|
　　分析:要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
　　解:（1) ∵=1.414…＜1.4
　　 　　　 ∴|-1.4|=1.4—
　　　　(2) ∵π=3。14159…＜3.142
　　 　　　 ∴|π-3。142｜=3.142—π
　　　　（3） ∵＜, ∴|-｜=-
　　　　(4） ∵x≤3, ∴x-3≤0，
　　 　　　 ∴｜x-|x—3｜|=｜x-（3-x)｜
　　 　　　 　　　　　 =｜2x—3｜ =
　　说明：这里对｜2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
　　（5) ｜x2+6x+10｜=|x2+6x+9+1｜=｜（x+3)2+1|
　　　　∵(x+3）2≥0， ∴(x+3)2+1＞0
　　　　∴｜x2+6x+10｜= x2+6x+10
　　举一反三:
　　【变式1】化简：
　　【答案】=+—=

类型五．实数非负性的应用
　　5．已知:=0,求实数a， b的值。
　　分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0,则要求a+7＞0,分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2—49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。
　　解：由题意得
　　　　由（2）得 a2=49 ∴a=±7
　　　　由(3)得 a〉—7，∴a=-7不合题意舍去。
　　　　∴只取a=7
　　　　把a=7代入(1)得b=3a=21
　　　　∴a=7, b=21为所求。
　　举一反三：
　　【变式1】已知（x-6）2++|y+2z｜=0，求（x—y）3-z3的值。
　　解：∵（x—6）2++|y+2z|=0
　　　　且（x—6)2≥0， ≥0, |y+2z｜≥0，
　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
　　　　∴ 解这个方程组得
　　　　∴（x-y）3—z3=（6—2）3—（-1)3=64+1=65

　　【变式2】已知那么a+b—c的值为___________
　　【答案】初中阶段的三个非负数： ,
　　　　　　a=2,b=—5，c=—1； a+b—c=—2

类型六．实数应用题
　　6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
　　解：设新正方形边长为xcm，
　　　　根据题意得 x2=112+13×8
　　　　∴x2=225
　　　　∴x=±15
　　　　∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
　　　　∴只取x=15(cm）
　　答：新的正方形边长应取15cm.
　　举一反三：
　　【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠)

　　（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
　　(2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积
　　　　 多24cm2，求中间小正方形的边长.

　　解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
　　　　　　　 ，所以面积为=
　　　　　　　 大正方形的面积=，
　　　　　　　 一个长方形的面积=。
　　　　　　　 所以，

　　　　　　　 答：中间的小正方形的面积，
　　　　　　　　　发现的规律是:(或）
　　　 　(2） 大正方形的边长：,小正方形的边长：
　　　　　　 ，即 ，
　　　　　　 又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
　　　　　　 所以有，
　　　　　　 化简得：
　　　　　　 将代入，得：
　　　　　　 cm
　　　　　　 答：中间小正方形的边长2。5 cm。

类型七．易错题
　　7．判断下列说法是否正确
　　(1）的算术平方根是-3；　　　(2）的平方根是±15。
　　（3）当x=0或2时，　　　（4)是分数
　　解析:（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
　　 　　 （2)表示225的算术平方根，即=15。实际上，本题是求15的平方根，
　 　　　　　　故的平方根是.
　　　　　（3)注意到,当x=0时， =，显然此式无意义，
　 　　　　　　发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”,故x≠0，所以当x=2时，x=0。
　　　　　（4)错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高
　　8．(1）已知的整数部分为a，小数部分为b,求a2—b2的值。
　　　　　　(2）把下列无限循环小数化成分数：①②③
　　（1)分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
　　解：由 得　　
　　　　的整数部分a=5， 的小数部分，
　　　　∴

　　（2）解:(1) 设x= ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②-①得
　　 　　　　　　9x=6
　　 　　　　　　∴ .
　　　　　　 （2） 设 ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②—①，得
　　 　　　　　　99x=23
　　 　　　　　　∴ 。
　　　　　 　（3） 设 ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②-①，得
　　 　　　　　　999x=107,
　　 　　　　　　∴ 。

学习成果测评：
A组（基础)
　　一、细心选一选
　　1．下列各式中正确的是（ ）
　　A．　　　 B。 　　　C. 　　　D。

　　2. 的平方根是（ ）
　　A．4 　　　B。 　　　C。 2　　　 D.

　　3。 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2是4的平方根 ④带根号的数都是
　 　　无理数。其中正确的说法有（ ）
　　A．3个　　　 B. 2个 　　　C. 1个 　　　D。 0个

　　4．和数轴上的点一一对应的是（ ）
　　A．整数 　　　B.有理数 　　　C. 无理数 　　　D。 实数

　　5．对于来说（ )
　　A．有平方根　　　 B．只有算术平方根 　　　C. 没有平方根 　　　D。 不能确定

　　6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数
　 　　的个数有（ ）
　　A．3个　　　 B. 4个 　　　C. 5个　　　 D。 6个

　　7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ )
　　A．　　　 B。 　　　C. 　　　D。

　　8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
　　A．—2与 　　　B。∣—∣与　　　 C. 与 　　　D。 与

　　9．—8的立方根与4的平方根之和是( )
　　A．0　　　 B. 4　　　 C。 0或-4　　　 D。 0或4

　　10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是( ）
　　A． 　　　B。 　　　C. 　　　D.

　　二、耐心填一填
　　11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______.
　　12．的算术平方根是_______，=______。
　　13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身.
　　14．已知∣x∣的算术平方根是8,那么x的立方根是_____。
　　15．填入两个和为6的无理数，使等式成立: ___+___=6。
　　16．大于，小于的整数有______个。
　　17．若∣2a—5∣与互为相反数，则a=______，b=_____.
　　18．若∣a∣=6，=3,且ab0，则a—b=______.
　　19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
　　20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a—4，则a=_____，x=_____。

　　三、认真解一解
　　21．计算
　　⑴ 　　　　　　　　　　⑵ 　　　　　　　　　⑶
　　⑷ ∣∣+∣∣　　　 ⑸ ×+×
　　⑹ 4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字)

　　22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“"号连接：

参考答案:
　　一： 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D

　　二：11、，π-3 　　　　12、3，
　　　　13、0；0，；0，1　　　　　14、 　　　　15、答案不唯一 如： 　　　16、5
　　　　17、 　　　　　　　　　18、—15　　　　 19、2 　　　　　　　　　　　　　　20、1，9

　　三：
　　21、⑴　 ⑵-17　 ⑶-9 　⑷2 ⑸—36 　⑹37。9

　　22、

B组（提高）
　　一、选择题：
　　1．的算术平方根是 ( ）
　　A．0.14 　　　B．0.014　　　 C． 　　　D．

　　2．的平方根是 （ )

　　A．－6 　　　B．36　　　 C．±6 　　　D．±
　　3．下列计算或判断:①±3都是27的立方根；②;③的立方根是2；④，
　 　　其中正确的个数有 （ ）
　　A．1个 　　　B．2个　　　 C．3个 　　　D．4个

　　4．在下列各式中，正确的是 （ ）
　　A．; 　　B．;　　 C．;　　 D．

　　5．下列说法正确的是 （ ）
　　A．有理数只是有限小数 　　B．无理数是无限小数　　 C．无限小数是无理数 　　D．是分数

　　6．下列说法错误的是 （ )
　　A． 　B． 　C．2的平方根是 　D．

　　7．若，且，则的值为 ( ）
　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．

　　8．下列结论中正确的是 （ ）
　　A．数轴上任一点都表示唯一的有理数； 　　　B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;
　　C。 两个无理数之和一定是无理数; 　　　　　D。 数轴上任意两点之间还有无数个点

　　9．-27 的立方根与的平方根之和是 ( ）
　　A．0 　　　B．6　　　 C．0或—6　　　 D．—12或6

　　10．下列计算结果正确的是 （ )
　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

　　二．填空题：
　　11．下列各数：①3.141、②0。33333……、③、④π、⑤、⑥、
　　　　⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有
　　　　__________；无理数的有__________.（填序号）
　　12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.
　　13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.
　　14。 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．
　　15．一个正方体的体积变为原来的27倍,则它的棱长变为原来的__________倍。

　　三、解答题：
　　16．计算或化简:
　　(1） 　　　　　(2) 　　　　　(3)
　　（4） 　　　　(5) 　　(6)

　　17．已知 ，且x是正数，求代数式的值。

　　18．观察右图,每个小正方形的边长均为1，
⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
　　⑵估计边长的值在哪两个整数之间.
　　⑶把边长在数轴上表示出来。

参考答案:
　　一、选择题：
　　1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B

　　二．填空题:
　　11、①②⑤⑥⑧；③④⑦。 12、；0.6。 13、；。 14、； ． 15、3.

　　三、解答题：
　　16、计算或化简:
　　（1) （2) （3） (4) (5) （6）

　　17、解： 25x2=144
　　　　　　 又∵x是正数
　　　　　　 ∴x=
　　　　　　 ∴

　　18、解：①图中阴影部分的面积17,边长是
　　　　　　②边长的值在4与5之间
　　　　　　③
.