五-椭-圆.doc

第五节　椭　圆

1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．两定点F1，F2叫椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．(2015·广东卷)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．9
解析：由左焦点为F1(－4，0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.
答案：B
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.
又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.
答案：D
4．(2014·大纲全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.

又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，
∴4a＝4，∴a＝.∴b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：A
5．(2016·课标全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　利用椭圆的几何性质列方程求离心率．
不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c，0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.
【答案】　B

一条规律
椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系:
给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0；椭圆的焦点在y轴上⇔0<m<n.
两种方法
求椭圆标准方程的方法:
1．定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．
2．待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a2，b2.
三种技巧
与椭圆性质、方程相关的三种技巧:
1．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．
2．待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用．
3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

A级　基础巩固
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．5
解析：由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
答案：A
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.
答案：C
3．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：由＋＝1⇒⇒c2＝a2－b2＝.
∴e2＝，e＝.
答案：B
4．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为(　　)
A. B．1 C．2 D．4
解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．
由题意知直线l的方程为x＝－c，
又∵直线l与圆M相切，
∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.
答案：C
5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
解析：由题意知，O(0，0)，F(－1，0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x，又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，
∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.
答案：C
二、填空题
6．已知椭圆的方程是＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为________．
解析：∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上，
∵|F1F2|＝8，∴c＝4，
∴a2＝25＋c2＝41，则a＝.
由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，
∴△ABF2的周长为4a＝4.
答案：4
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆C上．若·＝0，△PF1F2的面积为9，则b＝________．
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由·＝0知PF1⊥PF2，
∴m2＋n2＝|F1F2|2＝64.①
又S△PF1F2＝mn＝9，则mn＝18.②
由①②，得(m＋n)2＝100，2a＝m＋n＝10，所以a＝5.
又c＝4，得b＝3.
答案：3
8．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若<k<，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：如图所示，|AF2|＝a＋c，
|BF2|＝，

∴k＝tan∠BAF2＝＝＝＝1－e.
又∵<k<，
∴<1－e<.解得<e<.
答案：
三、解答题
9．(2017·广州一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(2，1)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
解：(1)因为椭圆C的离心率为，且过点A(2，1)，
所以＋＝1，＝.
因为a2＝b2＋c2，
解得a2＝8，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一　因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x＝2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为－k.
所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，直线AQ的方程为y－1＝－k(x－2)．
设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，
由消去y，得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－4＝0.①
因为点A(2，1)在椭圆C上，所以x＝2是方程①的一个根，则2xP＝，
所以xP＝.
同理xQ＝.
所以xP－xQ＝－.
又yP－yQ＝k(xP＋xQ－4)＝－.
所以直线PQ的斜率为kPQ＝＝.
所以直线PQ的斜率为定值，该值为.
法二　设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线PA的斜率kPA＝，
直线QA的斜率kQA＝.
因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴．所以PA与AQ所在直线关于直线x＝2对称．
所以kPA＝－kQA，即＋＝0，①
因为点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，
所以＋＝1，②
＋＝1.③
由②得(x－4)＋4(y－1)＝0，得＝－，④
同理由③得＝－，⑤
由①④⑤得＋＝0，
化简得x1y2＋x2y1＋(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＋4＝0，⑥
由①得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0，⑦
⑥－⑦得x1＋x2＝－2(y1＋y2)．
②－③得＋＝0，得＝－＝.
所以直线PQ的斜率为kPQ＝＝为定值．
10．(2015·安徽卷)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
B级　能力提升
1．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝(　　)
A. B．3 C. D．2
解析：依题意得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝3|AB|＝4×2，|AB|＝，故选C.
答案：C

3．(2015·陕西卷)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.

(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
(1)解：由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.