例谈“常值换元”法解题.doc

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例谈“常值换元”法解题
李晓渊

所谓“常值换元"，就是用字母代替题目中的已知数值。对某些题目，利用这种“常值换元”法来求解，往往能化繁为简、巧妙获解。
一、利用“常值换元”法化简与求值
例1。 计算。
简析：因题中涉及的某些已知数较大,直接计算不仅运算量大，而且书写起来也很麻烦。为此，令，于是原式,分子和分母都很容易分解因式,约去因式后，原式.（解答略)

二、利用“常值换元”法分解因式
例2。 分解因式。
简析：本题常规解法是将原式乘开并合并整理成x的三次式后再分解，这样做反而把原有的规律给破坏,分解起来会感困难，此题有何特点呢？，后者比前者多1；而6、7、8，后者也比前者多1。若将常数6反用字母(a+1)来代替，则原式为，相减的两式结构完全一样，乘开后即为，这样就可提出公因式，继而原式可分解为.（解答略)

例3. 分解因式。
简析：对高次多项式分解因式，常常是先找有理根，再利用因式定理来分解,或直接进行分组分解等。但此题中，它既无有理根，也一时不知如何分组好，怎么办？再次观察原式，发现系数中有两个1999、一个1998，若置，则原式，一眼便知，此式就是，从而原式可分解为。（解答略)

三、利用“常值换元”法解方程
例4。 解方程。
简析：这是一个关于x的一元三次方程，若采取因式分解法求解，一时真不知道如何分解；若利用三次方程的求根公式来求解，显然十分繁琐，况且考纲也没有要求中学生掌握三次方程的求根公式。怎么办？我们仔细观察原方程的系数，发现与2累次出现，如果把用a表示，则原方程就是=0，由于x不为0，此方程可整理成关于a的一元二次方程：。利用二次方程求根公式不难解得，于是有或，从而可求出原方程的根为。(解答略）
注：①将一个高次方程中累次出现的系数与k分别用来表示，再转化为解关于a的一元二次方程，这种“反客为主”的求解法,体现了化归的数学思想，也说明了常量与变量的辩证统一的关系，同学们要细心领会并掌握它。
②仿例，解方程.

四、利用“常值换元”法证明不等式
例5。 求证：。
简析:可证，由于左边是关于幂的分式，运算起来很困难，当我们把用字母a代换后,,运算起来很容易，即为，显然其结果小于0，故原不等式成立。（证明略）

年级
　初中
学科
数学
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期数

内容标题
　　例谈“常值换元”法解题
分类索引号
　　G.622。46
分类索引描述
　　辅导与自学
主题词
　　例谈“常值换元”法解题
栏目名称
　学法指导
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