例谈“常值换元”法解题.doc

个人收集整理 勿做商业用途例谈“常值换元”法解题李晓渊所谓“常值换元，就是用字母代替题目中的已知数值。对某些题目，利用这种“常值换元”法来求解，往往能化繁为简、巧妙获解。一、利用“常值换元”法化简与求值例1。 计算。简析：因题中涉及的某些已知数较大,直接计算不仅运算量大，而且书写起来也很麻烦。为此，令，于是原式,分子和分母都很容易分解因式,约去因式后，原式.（解答略)二、利用“常值换元”法分解因式例2。 分解因式。简析：本题常规解法是将原式乘开并合并整理成x的三次式后再分解，这样做反而把原有的规律给破坏,分解起来会感困难，此题有何特点呢？，后者比前者多1；而6、7、8，后者也比前者多1。若将常数6反用字母(a+1)来代替，则原式为，相减的两式结构完全一样，乘开后即为，这样就可提出公因式，继而原式可分解为.（解答略)例3. 分解因式。简析：对高次多项式分解因式，常常是先找有理根，再利用因式定理来分解,或直接进行分组分解等。但此题中，它既无有理根，也一时不知如何分组好，怎么办？再次观察原式，发现系数中有两个1999、一个1998，若置，则原式，一眼便知，此式就是，从而原式可分解为。（解答略)三、利用“常值换元”法解方程例4。 解方程。简析：这是一个关于x的一元三次方程，若采取因式分解法求解，一时真不知道如何分解；若利用三次方程的求根公式来求解，显然十分繁琐，况且考纲也没有要求中学生掌握三次方程的求根公式。怎么办？我们仔细观察原方程的系数，发现与2累次出现，如果把用a表示，则原方程就是=0，由于x不为0，此方程可整理成关于a的一元二次方程：。利用二次方程求根公式不难解得，于是有或，从而可求出原方程的根为。(解答略）注：将一个高次方程中累次出现的系数与k分别用来表示，再转化为解关于a的一元二次方程，这种“反客为主”的求解法,体现了化归的数学思想，也说明了常量与变量的辩证统一的关系，同学们要细心领会并掌握它。仿例，解方程.四、利用“常值换元”法证明不等式例5。 求证：。简析:可证，由于左边是关于幂的分式，运算起来很困难，当我们把用字母a代换后,运算起来很容易，即为，显然其结果小于0，故原不等式成立。（证明略）年级初中学科数学版本期数内容标题例谈“常值换元”法解题分类索引号G.622。46分类索引描述辅导与自学主题词例谈“常值换元”法解题栏目名称学法指导供稿老师审稿老师录入李霞一校胡丹二校审核