第七章线性变换.doc

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第七章 线性变换（小结）
本章的重点： 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法.
本章的难点： 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.

线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用。线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广，它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法）在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用。
本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换。
一、线性变换及其运算
1。 基本概念： 线性变换，可逆线性变换与逆变换； 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式。
2。 基本结论
(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变； 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组
（2） 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换。
(3) 线性变换的基本运算规律（略）。
（4） 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间。
(5) 线性空间的线性变换A的象Im（A ）= A V与核kerA = A —1(0)
(a) A的象Im（A ）= A V与核kerA = A —1（0）是的(A —）子空间.
(b)若dim（)=,则Im(A ）由的一组基的象生成： 即设V的一组基, Im(A )= A V=L（Aa1， Aa2，… ,Aan）=｛ A a|aÎV}。
kerA = A -1(0）= ｛ aÎV｜ A a=0}。
（c）A的秩(dim Im(A ）)+A的零度(dim kerA ）=.
(d）A是双射A是单射 Ker(A)=｛0｝A是满射。
(e）像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V的一组基：
取ImA的一组基，存在使得A ，i=1,2，…,r.
再取kerA的基则就是V的一组基.
二、线性变换与矩阵
1.基本概念：
(1)线性变换在基下的矩阵:
设A ÎL(V）,取定n维线性空间V的一组基,则Aa1， Aa2，… ，Aan 可由a1,a2,…，an线性表示， 即
(Aa1, Aa2，… ，Aan)=（ ）A,
矩阵A称为线性变换A在此基下的矩阵。
（2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:
设,是线性空间V的两组基，
（）=(）P,
（A a1, A a2,… ，A an）=（ ）A，
则
(A b1， A b2,… ，A b n)=(）。
2.基本结论
（1) 若是线性空间的一个基， ,则存在唯一A ,使得A 。
（2) 在取定维线性空间的一个基之后，将的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应，则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积;可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵.
（3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的；反之，若两个矩阵相似,则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
(4) 若在线性空间的一个基下,线性变换A对应的矩阵为，向量的坐标为,则 A的秩=秩(）,A（)的坐标
。
三、特征值与特征向量
1.基本概念
（1）特征多项式
设线性变换A在V的一组基下的矩阵为A, 则
称为A的特征多项式.(的根就是A的全部特征根）.
设l1，l2,…,ln是f（l)的全部根, 则.
由大多项式相等， 得
Tr(A)= ,
.
（2）线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量:
若A a=la, a¹0， 则l称为A的特征根(特征值）, a称为A的属于特征值l的特征向量.
（3）化零多项式
设g（l)是一个多项式，使得g（A ）=0(g(A)=0），则g(l)称为A (A)的化零多项式.
（4）最小多项式—-—化零多项式中次数最低者。
（5)特征子空间———A的属于某一个特征值的全部特征向量作成的集合：
A .
2。基本结论:
(1） 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略）
（2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
（3) 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，反之不然。
(4) 定理:设线性变换A在某个基下的矩阵为，,则，（A）=0.
四、对角化问题
1。 基本概念：
（1)不变子空间-——设W是V的子空间， A ÎL(V）， 若A WÍW， 则称W是A的不变子空间, 简称为A –子空间。
（2) 标准形———设A ÎL（V）, 则必存在V的一组基， 使得A在此基下的矩阵为标准形。
2。 基本结论：
设A是数域上维向量空间的一个线性变换，则
(1） A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵A有个线性无关的特征向量.
可以分解为个一维不变子空间的直和
A的所有不同的特征子空间的维数之和等于
A的最小多项式没有重根
可以分解为特征子空间的直和.
因而，当A有个不同特征值时， A必在某个基下的矩阵是对角形式.
(2）设为阶矩阵，则必与一个标准形矩阵相似,且在不计若当块的排列次序的意义下，这个标准形是唯一的；而与对角矩阵相似的最小多项式无重根.于是,当的特征多项式无重根时，必与一个对角矩阵相似.

第八章 矩阵(小结）
一、基本概念
1.矩阵—--矩阵的元素是的多项式.
2.可逆的矩阵——-可逆的充要条件是|｜=c¹0（是一个非零常数）.
3。秩—--的秩为r, 若有一个r阶子式非零, 任一个r+1阶子式均为零.
4。矩阵的初等变换-—-.(列变换类似)
5。任一个矩阵都可以经过初等变换化为标准形
,
其中
6。矩阵与的等价当且仅当经过初等变换变为。
7。的k阶行列式因子———的所有k阶子式的最大公因式.
8。的不变因子---把经过初等变换化为标准形后，主对角线上次数大于零的多项式为的不变因子.
9。 的初等因子——-把的标准形的主对角线上次数大于零的多项式分解成一次因式的方幂, 这些一次因式的方次就是的全部初等因子。
10。Jordan块———.
11.若尔当标准形--—，其中Ji均为Jordan块.
12.伴侣阵--—矩阵称为多项式d（l)的伴侣阵, 其中
.
13。矩阵A的有理标准形—--把A的特征矩阵化为标准形
,
则A的有理标准形为
B=，
其中Bi为di（l)的伴侣阵,i=1,2，…，s.
二、主要结论
1。 一个的矩阵是可逆的充要条件为行列式是一个非零的数.
2. 任意一个非零的的矩阵都等价于其唯一的标准形矩阵：
,
其中是首项系数为1的多项式，且
.
3。 两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子,或者，它们有相同的不变因子.
4. 矩阵是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。
5。 两个的矩阵与等价的充要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使
。
6. 设,是数域上两个矩阵. 与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价。
7。 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
8。 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是的全部初等因子.
9。 每个级的复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似,这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形。
10. 设A是复数域上维线性空间的线性变换，在中必定存在一组基,使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的。
11. 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的初等因子全为一次的(或的不变因子都没有重根)。
12。 数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形,称为的有理标准形。
13。 设A是数域上维线性空间的线性变换，则在中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的,称为A的有理标准形.

第八章主要结论：
1。 A与B相似Û与等价
Û它们有相同的各阶行列式因子
Û它们有相同的不变因子
Û它们有相同的初等因子。
2. A的每一个初等因子决定一个Jordan块, 全体初等因子决定了A的Jordan标准形。
3。矩阵A可以对角化Û它的Jordan块都是一阶的
Û它的初等因子都是一次的
Û它的最小多项式无重根.
Û它的不变因子无重根。
4. 矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子。

第七章和第八章 主要掌握的计算

1. 求线性变换在某基下的矩阵。
（1)n维向量空间;
(2)n维多项式空间；
（3)2´2矩阵空间.
例1. 设V=R3, "(a,b,c)Î R3，求A在基和下的矩阵， 其中
A（a,b,c）=.
解: (A e1, A e2, A e3）=（e1， e2, e3）= (e1， e2， e3)A。

（A ,A ,A ）=（A e1， A e2， A e3）P=（e1, e2, e3）AP= （，,)P —1AP.
例2。 V=P[x]n-1, D ÎL(V）, D, 求D在基1,x,…，xn-1下的矩阵。
例3.， A ÎL(V）,,对任意的XÎV， A X=QX,求A在基下的矩阵.
解： 由于A E11==, A E12==,
A E21==， A E22==,
所以A在基下的矩阵为
。
2。 判断一个变换是否为线性变换。
3. 求线性变换A的值域与核.
4。 求线性变换(矩阵)的特征值和特征向量， 判断矩阵是否可以对角化.
(1) 求出A在V的一组基,，…,下的矩阵A.
(2） 求出特征多项式f（l）=|lE—A|， 在求出其全部根即为全部的特征值.
（3) 对每一个特征值, 求解齐次线性方程组
，
得到基础解系, 。 则就是A的属于特征值的特征向量在基，，…，下的坐标， 于是特征向量为=。
(4) 当A有n个线性无关的特征向量时, A在此基下的矩阵为对角形.
此时, 设=令
,
则T—1AT为对角形, 主对角线上的元素为相应的特征值， 顺序与T中特征向量的顺序相同.
例4. 求例3中线性变换A及矩阵A的特征值特征向量, 判断是否可以对角化. 并求A (A）的最小多项式。

当l= —1时， 求解线性方程组(—E—A）X=0,
.
基础解系为h1=(—1， 0, 1， 0）， h2=(0, -1， 0, 1).
当l= 6时, 求解线性方程组(6E-A）X=0,
。
基础解系为h3=（2， 0， 5， 0）, h4=（0， 2， 0， 5）.
所以属于特征值-1的特征向量为. 属于特征值6的特征向量为.
A在基下的矩阵为对角形D=diag(-1，—1,6，6)。
令， 则T-1AT= D=diag（-1，—1,6,6).
A的最小多项式为m（x）=（x+1)(x—6）.
一些相关题目
1. 设, 则R(A（l））= . A（l）是否可逆， 为什么？
2. 设, 则R（A(l）)= . A(l)是否可逆, 为什么？
3. 设, 则其不变因子是？
4。设A的全部初等因子为, (1） A是一个几阶矩阵? （2) A的Jordan标准形是? (3） A的不变因子是？
5.的初等因子是? 最小多项式是？ 不变因子的?
6.判断命题是否正确, 不正确者请改正：
（1)若n阶矩阵A可以对角化， 则A必有n个互不相同的特征值。
（2)若两个n阶矩阵A和B的特征值相同, 则它们相似。
(3)若矩阵A与B相似， 则它们有相同的特征向量。
(4）n阶矩阵A不可逆的充要条件是A至少有一个特征值为零。
（5)设A ÎL(V), ， 若A a1， A a2， …,A as线性无关, 则 线性无关。
(6) 设A ÎL(V）， ， 若线性相关， 则A a1, A a2， …，
A as线性相关。
（7) 设A ÎL（V）， , 若线性无关, 则A a1， A a2， …,
A as线性无关。
（8） 若, P可逆, 则A与B相似.
（9）若对任意的(a，b,c）ÎR3， A (a，b，c) =（a2. b+c， a+c）， 则A是R3上的线性变换。
(10）矩阵相似.
（11）设A ÎL(V)， dimV=n， 则A可逆的充要条件是
(a)A有n个线性无关的特征向量；
（b) A有n个互不相同的特征值；
（c) A在V的某一组基下的矩阵为对角形；
（d)A的特征值均非零;
(e）A V=V;
(f） A —1(0）=｛0｝。
(12）设A的初等因子为l—1和（l—2）3， 则A的Jordan标准形为:
（a) （b） （c） （d）
（e） （f) （g） (h)
7. 填空
(1）设线性无关, （）=（)A, 则可逆的充要条件是 。
(2)设三阶矩阵A的特征多项式是， 则|A｜= . 设A的主对角线上的元素之和 。
（3）若A2=E， 则A的特征值只能是 .
(4)若A2-3A+2E=0, 则A的特征值只能是 。
（5）设， 则A的全部特征值之和l1+l2+l3+l4= . 全部特征值之乘积l1l2l3l4= . A可逆吗？

矩阵的三大关系

等价
相似
合同
对象
m´n矩阵
n阶方阵
n阶实对称矩阵
来源
A可经初等行变换得到B
一个线性变换在不同基下的矩阵
二次型经非退化线性变换后，新旧矩阵之间的关系
刻划
存在P， Q可逆，
使得B = P A Q
存在P可逆,使得
B = P-1 A P
存在P可逆,使得
B = PT A P
共同点
都满足反身性、对称性和传递性,都保持矩阵的秩不变
最简形式

有n个线性无关的特征向量时相似于对角形矩阵

性质
秩相同
有相同的特征多项式，有相同的特征值
有相同的秩与正惯性指数
等价类个数
r+1， r=min（m， n)
无限多个

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