质点力学B自我检查题库解答.docx

B质点力学自我检查题1. (1) 平均速率=路程时间=st=st , 路程即曲线（弧线）长度s(2) 平均加速度=速度增量时间=a=vt=-v0-(v0)t=-2v0t ，这里的速度增量是指在时间t内速度矢量的增量，是矢量。2. (D) 代表瞬时速度的大小，v为速率，瞬时速度大小等于该时刻的速率，即质点运动的快慢 ； 代表平均速度的大小（绝对值）不是平均速率 ，注意区别速度和平均速度，速率和平均速率。速度和速率与某时刻t对应，平均速度和平均速率与某时间段t对应。黑体字代表矢量，大家做题时要注意正确书写矢量还有平均的符号3. 如图所示在t=0 时质点开始向正方向运动，在t=2.5 s 时朝反方向运动。 ，直线运动中，质点的位移、速度等是用代数来表示的，正负代表不同方向。4. r=xi+yj , x=4t2, , y=2t+3 , x=(y-3)25. (1) 两车的速度 vA=dxAdt=4+2t , vB=dxBdt=4t+6t2 ；t=0, vA=4 m/s , vB=0 , A领先。 (2) 两车距离相同时xA=xB , xA=0tvdt=0t4+2tdt=4t+t2 , xB=0tvdt=0t4t+6t2dt=2t2+2t3 , 得到方程 t 2t2+t-4=0 , 方程的解t=0 或 t=-1+334=1.186 s ， 取t=1.186 s (3) 两车速度相等vA=vB , 4+2t=4t+6t2 , 3t2+t-2=0 , 得到方程的解t=-11+246, 取正值t=4/6=2/3=0.67 s6. v=dxdt=5+12t-3t2 ; t=0, v0=5 m/s ; a=dvdt=d2xdt2=12-6t=0 , 得到t=2 ，v=17 m/s7. 可以注意到在整个运动过程中，三角形几何关系自始自终成立。h2+s2=l2 , 等式两边微分， 得到2sdsdt=2ldldt , 即 sdsdt=ldsdt , sv=lv0 (1) , 船速v=dsdt 随增大，绳的速率v0保持不变 v0=dldt , 求加速度可再利用公式(1), 继续对等式两边求导：dsdtv+sdvdt=dsdt v0 , v2+s鈰卆=v02 , 加速度加速度a 2 v=17 m/sy-3)2222222222222222222222222222222大小为222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 a=v02-v2s=-v02h2s3 ，这里“-”无物理意义。8. v-v0=0t3+2tdt=3t+t2 ， v=5+3t+t2 , t=3, v=23 m/s9. vx=-50sin5t , vy=50cos5t , 速率 v=vx2+vy2 =50 m/s , x2+y2=102， 匀速率圆周运动。10. v1=v0i+2gh j , v12=v02+2gh , h=v12-v022g , t=2hg=1gv12-v02B -1011. a=60 , 最高点 v=v0cosa , 轨道半径=v2g=v02cos2g , 法向加速度 an=v2r=g , g=10 m/s2 , v0cosa=10, v0=20 m/s12. (1) 变速率曲线运动 (2) an=v2r=0 , 得到v=0 或r；由于at=dvdt0 表示质点的速率随时间变化，因此这是变速率直线运动。B-1113. at=gsin30=g2 , an=gcos30=v2r , =2v23g , 切向加速度 at 与速度 v 方向相反。14. v=dsdt=v0+bt at=dvdt=b an=v2R=(v0+bt )2R , a=at2+an2=b2+(v0+bt )R2415. (1) v=dsdt=b-ct , at=dvdt=-c , an=v2r=(b-ct)2R (2) at=an , (b-ct)2R=-c , (b-ct)2=Rc , b-ct=Rc, b c t b-ct=Rc t=b-Rcc; b ct ct-b=Rc t=b+Rcc ; t=bRcc16. at=an=v2/R , v=att=3t, an=v2R=9t2R=3 , t=1 s=0tvdt=0t3tdt=3t22 ; t=1, s=1.5 m17. (1) 以地球为参照系，炮弹的水平初速等于v+v0， 垂直初速为零。 vx=v0+v vy=gt ; x=v0+vt , y=12gt2 ; 去掉t , y=gx22(v0+v)2 (2) 以飞机为参照系，炮弹的水平初速等于v, 垂直初速为零。 x=vt y=12gt2 y=gx22v218. 按相对速度定义, 飞机对地的速度v飞-地=v飞-风+v风-地 ， v飞-地=1802-602=170 km/h ， 风与机身夹角 =arcsin60180=19.47 ， 飞机运动方向为北偏东19.519. 对两物体作隔离分析，设f 为静摩擦力， N1=(m+M)g, N=mg , f=N=mg=ma , F-f=Ma, F=(m+M)a , f N , maN , amgm , ag , F=(m+M)g(M+M)a20. 对猴进行受力分析， 猴相对地面静止，因此它受到的合力为零。f=mg 对直杆受力分析：Mg+f=Ma, (M+m)g=Ma , 直杆的加速度 a=M+mMg21. 设f1、f2为摩擦力,沿斜面方向A和B一起运动, a对A和B分别作受力分析：f1=1N1=1m1gcos , f2=2N2=2m2gcosf+m1gsin-1m1gcos=m1a (1) m2gsin-f-2m2gcos=m2a (2)(1)+(2) m1+m2gsin-1m1+2m2gcos=m1+m2a (3)对两物体A+B总体考虑，设摩擦力 F，摩擦系数， F=N=1m1+2m2gcos , m1+m2gsin-F=m1+m2a ，对比式(3) 得到摩擦系数 =1m1+2m2m1+m222. Tsin+Ncos=mg , Tcos-Nsin=ma , N=0, Tsin=mg , Tcos=ma , tg=ga , a=gtg B-23-2B-22 B-23-123. F-N =m1a ， N=m2a F=m1+m2a , N=m2a=m2Fm1+m224. F-f=Ma, f=ma F=(M+m)a, f smg , ma smg , a sg , F=(M+m)a (m+M) sg 25. 移开时A受力为零，弹簧长度不变。A的加速度aA=0，静止。 弹力f=kx=mAg=mg ; 而对B受力分析: f+mBg=f+mg=maB , 2mg=maB , aB=2g26. F-T=m1a (1) T-m2g=m2a (2) (1)+(2): F-m2g=(m1+m2)a , a=F-m2gm1+m2 , T=m2g+m2F-m2gm1+m2=m2m1g+Fm1+m2 27. N=mBa , f=mBg N , mBg mBa , g a , agB-27B-2828. 滑轮质量为零得到2T=f , T= m1a1 , m2g-f=m2a2 , a2=a12 , m2g-2T= m2g-2 m1a1=m2a2= m2 a1/2 , a1=2m2g4m1+m2 29. m=M2 , 按相对加速度关系 a人-地=a人-绳+a绳-地 ， 以向上为正 a人-地=a=a0+a1 , Mg-T=Ma (1), T-mg=ma=m(a0+a1) (2) ; (1)+(2) : (M-m)g=(M+m)a1+ma0绳相对地面的加速度 a1=M-mg-ma0M+m=M2g-M2a032M=g-a03人相对地面的加速度 a=a0+a1=a0+g-a03=g+2a0330. v=kx， F=ma=mdvdt=mkdxdt=mkv=mk2x , a=dvdt=kdxdt=kv , v=dxdt=kx , t1t2dt=x0xdxkx , t=t2-t1=1klnxx031. F=F0cost=ma=mdvdt , 0tF0costdt=0vmdv , F0sintt0=mv-mv0 F0sint=mv , v=F0sintm , 继续求导v=dx/dt, x0xdx=0tvdt=0tF0sintmdt , x-x0=-F0m2(1-cost)32. 设质点运动方向向上，静摩擦力f 方向如图所示，=45 。质点作匀速率圆周运动，将质点受力在切线和法线方向分解。切线受力为零，而法向力提供质点做圆周运动。切线方向：Nsin-fcos-mgsin=0法线方向：mgcos-Ncos-fsin=mv2/R=45 , sin=cos , N=f+mg , mg-N-f=mv222R=2mv2R , -2f=2mv2R , 得到静摩擦力f=-0.28(N) ，支持力N=f+mg=1.68 (N)。“-”表示f方向与假设相反，它与质点运动方向一致。33. vx=5 , vy=t , v2=52+t2 ; t=4, v22=41 ; t=2 , v12=29 , 外力做功 A外=12mv22-12mv12=3 J34. 按题意质点的速度可视为零。kx=mg, 200x=29.8, x=0.098m. 外力F向下移动9.8cm时，M 脱离地面. 取g=10 m/s2, x=0.1m. 物体离地0.1m, h=0.1 m. 在这个系统中，重力、弹力做功, 运用质点系功能原理: A外=E2-E1=mgh+12k(x)2-0 , E2= mgh+12k(x)2 , E1=0 ; 外力做功 A外=3 J , F所做的功等于3 J .35. 在重力方向上小球无位移，因此重力做功为零；绳子的张力可拆分成垂直和水平方向，垂直方向不做功； 水平方向绳子提供小球作匀速率圆周运动所需的向心力，向心力与小球运动方向自始自终垂直，所以也不做功；36. F=F0(xi+yj) , dr=dxi+dyj , abFdr=00F0xdx+02RF0ydy , A=F0y222R0=F04R22=2F0R237. N-mg=mv2/R (1) , 摩擦力做负功A=12mv2-mgR (2), A R2, 引力做正功 （用势能表示 A=GMmR2-GMmR10 ）46. 运用功能原理。做功的力：F、弹力、摩擦力。AF+A摩=E2-E1=12kx2-0 , Fx-mgx=12kx2 , x=2(F-mg)K , 势能 Ep=12kx2=2(F-mg)2K47. 做功的力：外力F、弹力、摩擦力。A外=E2-E1=12kx2 , kx=mg, x=mg/k , A外=12m2g2K48. A引=R3R-GMmr2dr=GMmr3RR=GMm3R-GMmR=-23GMmR , 引力做负功。49. 系统的势能等于重力势能加上弹性势能。b点：mgx2sin+12 k (x2-x1)2a点：12kx12Ep=mgx2sin+12 k (x2-x1)2-12kx1250. 作用力等于反作用力：kAxA = kBxB , xAXB=kBKA ， 弹性势能之比： 12kAxA2:12kBxB2=KBKA51. W=mgR-12mv02=29.84-12262=42.4 J52. =10, mgl1-cos45=12mv2+mgl(1-cos) , v2=2gl(cos10-cos45)253. A=12mv02-v12=12m(v11-v22) , v2= 100 m/s , v0=700 m/s , v1=500 m/s , v02-v12=v11-v22 , v22=2v11-v02 , v2=100 m/s54. 55. 整个过程外力、重力和弹力做功。A外=E2-E1A点：E1=12kx02B点：E2=12kx02+mg2x0sin A外=mg2x0sin56. 加速度为零时，电梯作匀速直线运动，为惯性系。物体在平衡位置速度有最大值。当物体相对电梯静止时（电梯作匀加速直线运动）： kx0-Mg=Ma , 弹簧伸长量x0=M(g+a)/K电梯加速度等于零后， Mg=kd , d对应新的平衡位置时弹簧的伸长量。机械能守恒：12kx02=12kd2+12Mv2+Mg(x0-d) , v2=Mka2 , v=Mka57. 动量守恒：PA+PB=常 (1) t=0 PA+PB=PA=P0t PA+PB= P0-bt+PB= P0 , PB=bt(2) t=0 PA+PB=0, PB=-P0+bt58. 第一次：mAv0=mAv1+mBv2 , mA0.5=mA-0.1+mB0.3 , 2mA=mB第二次：(mA+1)0.5=0+mB0.5 , mA+1=mB , mA=1 kg , mB=2 kg59. 水平方向无外力系统动量守恒，垂直方向上有地面的支持力不可忽视。60. mA3i+4j+mB2i-7j=mA7i-4j+mB(vxi+vy)j , mB=4mA , vx=1 m/s , vy=-5 m/s , (A)61. 合外力等于零，合外力的功不一定为零，则机械能不一定守恒；合外力为零时，合外力矩也不一定等于零，角动量不能守恒；动量守恒成立， (C)62. 按题意桌面上无摩擦力，因此两小球组成的质点系的合外力为零，但合外力的功不一定等于零，机械能守恒不能成立，动量守恒成立。(B)63.没有摩擦力时，车和小球组成的质点系在水平方向上无外力存在，因此动量守恒。质点系开始是静止状态，总动量等于零。任意时刻t , 0=mv1+Mv2质点系在整个过程中只有重力做功，因此机械能守恒, 在小球运动到最低点时，球的速度方向在水平方向上，与车的速度方向相反: mgl=12mv12+12Mv22 ，v1=2gl1+mM 。动量守恒定律是在惯性系里成立的，v1和v2 都是相对于地面的速度。(C)64. 光滑桌面表示无摩擦力，系统水平方向上无外力，动量守恒成立；如果摩擦力做功，动能将转化为热能，机械能不守恒。65. (A) 由初态到弹簧恢复原长时，墙对A有作用力，系统的外力不为零，动量守恒不成立。 (B) 墙对A的作用力不做功，整个过程中只有弹力做功，机械能守恒。正确。(C) A离开墙后，墙对A的作用力不存在，水平方向上系统无外力，动量守恒成立，因为只有弹力做功，机械能守恒。(D) A离开墙后总动量守恒，不等于零，因为B在A离开墙时是有速度的。总机械能自始自终保持不变为 12kx02 。66. 质点作匀速率圆周运动，受到的合力为向心力，向心力对转轴的力矩等于零。当C下移，圆周运动的半径减少，但角动量守恒。设开始两小球的速率v1 圆周运动半径r1 角速度, C下移后，半径r2，速率v2，角速度2 :2mv1r1=2mv2r2 ,2mr121=2mr222 , 2=r12r221=36 rad/s 67. 质点受到的是向心力作用，向心力对圆心的力矩始终为零，质点对圆心的角动量守恒：mv1r1=mr121=mr222 ， 2=r12r221=12 rad/s 68. 地球和太阳之间的力为万有引力，力矩为零，地球m对太阳M的角动量守恒。角动量L=mvR , 万有引力F=GMmR2=mv2R , v2=GMR , L=mRGMR=mGMR (A)69. 小球在碰撞前是作抛体运动，在垂直方向上的速度是向下的。当球和平板作完全弹性碰撞，机械能是守恒的。水平方向无摩擦力存在，因此小球的水平速度碰撞后保持不变，依旧为v。垂直方向上碰撞后两物体质量相等，两者交换速度，即平板碰撞前静止，碰撞后获得一个向下的速度，而小球碰撞后垂直方向上速度变为零。小球的运动方向应是水平方向A2方向，(C)。大家可以自己证明一下，在弹性碰撞过程中当两物体质量相等时，碰撞前后，它们的速度是相互交换的。70. 子弹射中滑块A后，两者一起运动。在射中滑块A后，弹簧还没有发生形变，这时弹力为零。子弹射中滑块A前后，水平方向无外力存在，子弹和滑块A组成的系统动量守恒：m2v0=(m2+m2)vA , vA=v02 , vB=0 ; 随后子弹、滑块A和滑块B组成的系统机械能守恒、动量守恒。动量守恒得到：m2+m2vA+0=m2+m2v02=mv02=m2+m2v1+mBv2=mv1+mv2 , v1=0 , v2 有最大值为 v0271. 按题意把夯打击桩的过程看成是动量守恒过程，碰撞前系统的总能量E0=m1gh碰撞前后动量守恒 m12gh=m1+m2v总能量E=12m1+m2v2=m12ghm1+m2 72. (A) 不受外力时系统的动量守恒成立；但机械能不一定守恒（非保守内力做功的话，如摩擦力）(B) 合外力为零，但外力做功之和不一定为零，机械能不一定守恒。(C) 正确(D) 外力做功为零，如果系统的非保守内力做功之和不为零，系统的机械能不守恒。机械能守恒条件是外力和系统的非保守内力做功之和为零：A外+A非保守内力=E=0 ；动量守恒条件是合外力等于零。73. 角动量 L=mvr , 动能 Ek=12mv2=L22mr2 , 引力势能 Ep=-GMmr , 引力为向心力：GMmr2=mv2r , v2=GMr , Ep=-mv2=-L2mr2 , 总能量 E=Ek+Ep=L22mr2-L2mr2=-L22mr2 ，可注意到总能量为负值。74. 从B到C, 质点没有受到摩擦力作用，机械能守恒。先求C点的速度， 然后根据机械能守恒算出B点的速度。按题意在C点质点只受重力作用作圆周运动，其速度是沿水平方向的：mg=mvC2R , vc=Rg .机械能守恒: 12mvB2=mg2R+12mvC2 , vB2=4gR+vC2=5gR , vB=5gR从A运动到B，设路程S=AB，加速度a, vB2=2aS , 质点从C点落下作抛体运动，水平方向 S=vct=Rg t , 垂直方向上 2R=12gt2 , 落到A点 所需时间 t=4Rg , S=Rg 4Rg=2R , a=vB22S=5gR4R=1.25g=12.25 m/s2 。75. 设圆周运动半径R=l-d ， 转动到最高点, 按题意质点的速度v 的最小值应满足条件：mv2R=mg , v2=gR=g(l-d) 。摆球由水平位置静止释放到绕B作圆周运动到最高点，机械能守恒：mgl=12mv2+mg2R , 将R、v的值代入得到 12gl-d+g2l-d=gl , d=0.6 l76. 对A、B、C的受力情况作隔离分析，写成相应的牛顿力学方程：A: mg-T1=ma (1)B: T1=ma , (2) 由(1)和(2)式得到加速度a=g/2 , 当B走过路程s=0.4（绳长）后，绳子张紧了，C受到绳子的作用力后开始运动， s=0.4=12at2, 所需时间t=0.4 sC开始运动时A和B的速度v=at=g20.4=1.96 m/s , 受绳子的张力，C和A、B一起运动，C的速度与A和B的速度大小相等。77. 这两个物体组成的系统。水平方向上无外力（桌面光滑）。小物体沿半圆槽滑下，以半圆槽为参照系，小物体做圆周运动。由动量守恒：0=mv1+Mv2 (1)这两个物体的速度v1，v2是未知数，因此还要建立一个等式。设小物体相对滑槽速度u , 小物体的速度v1沿水平和垂直方向分解：v1x=-usin+v2 , 以v2 （向右）为正方向v1y=usin 向下为正方向水平方向上动量守恒：m(-usin+v2)+Mv2=0 , musin=(m+M)v2 (2)机械能守恒： mgRsin=12mv12+12Mv22=12m(-usin+v2)2+12Mv22将 v2=musinm+M 代入上式得到 u=m+M2gRsinm+M-msin2 , 滑槽对地的速度v2=msinm+Mm+M2gRsinm+M-msin2 , 将v2 代入(1)式，得到小物体对地的速度 v1=-Mmv2=-Msinm+Mm+M2gRsinm+M-msin2 。对式(2) musin=(m+M)v2 两边对时间t 积分：m0tusindt=(m+M)0tv2dt0tusindt 是小物体相对于半圆槽在垂直方向上移动的距离，0tv2dt是半圆槽对地移动的距离。当小物体滑倒最低点B时，0tusindt=R , R为半径 . 滑槽相对地移动的距离 0tv2dt=mRm+M .78. 这是相对速度的题目。相对速度：v船-地=v船-水+v水-地 。船驶向对岸时，将船对地的速度v船-地在x-y方向上分解：vx=v02yl , 0yl2 ; vy=v , 以出发点为坐标原点，船相对地走过的距离： x=0tvxdt=0tv02yldt , y=vt , x=0tv02vtldt=v0vlt2写成的x-y表达式：x=v0y2vl船驶向对岸船离开岸边l/4处时，y0=l4 , x0=v0l16v当船回头时，vx=v02yl , 0yl2 vy=-v2 ， 船调头驶向原岸从船调头是开始计时：x-x0=0tvxdt=0tv02yldt ， y=y0-v2t=l4-v2t , x-x0=0tv02l(l4-v2t)dt=v0t2-v0v2lt2 y=0 , t=l2v , x-v0l16v=v0l4v-v0l8v=v0l8v , 船回到原岸时离出发点距离为 x=3v0l16v79. 滑块受到的正压力：N=mv2R摩擦力：f=N=mv2R切向加速度 at : f=mat=mdvdt=-mv2Rdvdt=-v2Rvv3-dvv2=0tRdt1vv3v=Rt , 3v-1v=Rt , t=2Rv 80. 对绳子微分，对质量元dm作受力分析:dT=Tx+dx-Tx=dmx2T=rLdT=ML2x22Lr=M22L(L2-r2)用质心方法可得到同样结果。14 / 14