质点力学B自我检查题库解答.docx

B．质点力学自我检查题

1. (1) 平均速率=路程时间=∆s∆t=s∆t , 路程即曲线（弧线）长度s
(2) 平均加速度=速度增量时间=a=∆vΔt=-v0-(v0)∆t=-2v0∆t ，这里的速度增量是指在时间∆t内速度矢量的增量，是矢量。
2. (D) 代表瞬时速度的大小，v为速率，，瞬时速度大小等于该时刻的速率，即质点运动的快慢 ； 代表平均速度的大小（绝对值）不是平均速率 ，注意区别速度和平均速度，速率和平均速率。速度和速率与某时刻t对应，平均速度和平均速率与某时间段∆t对应。黑体字代表矢量，大家做题时要注意正确书写矢量还有平均的符号
3. 如图所示在t=0 时质点开始向正方向运动，在t=2.5 s 时朝反方向运动。 ，直线运动中，质点的位移、速度等是用代数来表示的，正负代表不同方向。
4. r=xi+yj , x=4t2, , y=2t+3 , x=(y-3)2
5. (1) 两车的速度 vA=dxAdt=4+2t , vB=dxBdt=4t+6t2 ；t=0, vA=4 m/s , vB=0 , A领先。
(2) 两车距离相同时xA=xB , xA=0tvdt=0t4+2tdt=4t+t2 , xB=0tvdt=0t4t+6t2dt=2t2+2t3 , 得到方程 t 2t2+t-4=0 , 方程的解t=0 或 t=-1+334=1.186 s ， 取t=1.186 s
(3) 两车速度相等vA=vB , 4+2t=4t+6t2 , 3t2+t-2=0 , 得到方程的解t=-1±1+246, 取正值t=4/6=2/3=0.67 s
6. v=dxdt=5+12t-3t2 ; t=0, v0=5 m/s ; a=dvdt=d2xdt2=12-6t=0 , 得到t=2 ，v=17 m/s
7. 可以注意到在整个运动过程中，三角形几何关系自始自终成立。h2+s2=l2 , 等式两边微分， 得到2sdsdt=2ldldt , 即 sdsdt=ldsdt , sv=lv0 (1) , 船速v=dsdt 随θ增大，绳的速率v0保持不变 v0=dldt ,
求加速度可再利用公式(1), 继续对等式两边求导：dsdtv+sdvdt=dsdt v0 , v2+s鈰卆=v02 , 加速度加速度a 2 v=17 m/sy-3)2222222222222222222222222222222大小为222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 a=v02-v2s=-v02h2s3 ，这里“-”无物理意义。
8. v-v0=0t3+2tdt=3t+t2 ， v=5+3t+t2 , t=3, v=23 m/s
9. vx=-50sin5t , vy=50cos5t , 速率 v=vx2+vy2 =50 m/s , x2+y2=102， 匀速率圆周运动。
10. v1=v0i+2gh j , v12=v02+2gh , h=v12-v022g , t=2hg=1gv12-v02
B -10
11. a=60° , 最高点 v=v0cosa , 轨道半径ρ=v2g=v02cos2αg , 法向加速度 an=v2r=g , g=10 m/s2 , v0cosa=10, v0=20 m/s
12. (1) 变速率曲线运动
(2) an=v2r=0 , 得到v=0 或r→∞；由于at=dvdt≠0 表示质点的速率随时间变化，因此这是变速率直线运动。
B-11

13. at=gsin30°=g2 , an=gcos30°=v2r , ρ=2v23g , 切向加速度 at 与速度 v 方向相反。
14. v=dsdt=v0+bt at=dvdt=b an=v2R=(v0+bt )2R , a=at2+an2=b2+(v0+bt )R24
15. (1) v=dsdt=b-ct , at=dvdt=-c , an=v2r=(b-ct)2R
(2) at=an , (b-ct)2R=-c , (b-ct)2=Rc , b-ct=Rc,
b> c t b-ct=Rc t=b-Rcc; b < ct ct-b=Rc t=b+Rcc ; t=b±Rcc
16. at=an=v2/R , v=att=3t, an=v2R=9t2R=3 , t=1 s=0tvdt=0t3tdt=3t22 ; t=1, s=1.5 m
17. (1) 以地球为参照系，炮弹的水平初速等于v+v0， 垂直初速为零。 vx=v0+v vy=gt ; x=v0+vt , y=12gt2 ; 去掉t , y=gx22(v0+v)2
(2) 以飞机为参照系，炮弹的水平初速等于v, 垂直初速为零。 x=vt y=12gt2 y=gx22v2
18. 按相对速度定义, 飞机对地的速度v飞-地=v飞-风+v风-地 ， v飞-地=1802-602=170 km/h ， 风与机身夹角 α=arcsin60180=19.47° ， 飞机运动方向为北偏东19.5°
19. 对两物体作隔离分析，设f 为静摩擦力， N1=(m+M)g, N=mg , f=μN=μmg=ma , F-f=Ma, F=(m+M)a , f ≤ μN , ma≤μN , a≤μmgm , a≤μg , F=(m+M)g≤(M+M)a
20. 对猴进行受力分析， 猴相对地面静止，因此它受到的合力为零。f=mg 对直杆受力分析：Mg+f=Ma, (M+m)g=Ma , 直杆的加速度 a=M+mMg

21. 设f1、f2为摩擦力,沿斜面方向A和B一起运动, a对A和B分别作受力分析：f1=μ1N1=μ1m1gcosθ , f2=μ2N2=μ2m2gcosθ
f+m1gsinθ-μ1m1gcosθ=m1a (1) m2gsinθ-f-μ2m2gcosθ=m2a (2)
(1)+(2) m1+m2gsinθ-μ1m1+μ2m2gcosθ=m1+m2a (3)
对两物体A+B总体考虑，设摩擦力 F，摩擦系数μ， F=μN=μμ1m1+μ2m2gcosθ , m1+m2gsinθ-F=m1+m2a ，对比式(3) 得到摩擦系数 μ=μ1m1+μ2m2m1+m2
22. Tsinθ+Ncosθ=mg , Tcosθ-Nsinθ=ma , N=0, Tsinθ=mg , Tcosθ=ma , tgθ=ga , a=gtgθ

B-23-2
B-22

B-23-1

23. F-N =m1a ， N=m2a F=m1+m2a , N=m2a=m2Fm1+m2
24. F-f=Ma, f=ma F=(M+m)a, f ≤ μsmg , ma ≤ μsmg , a ≤ μsg , F=(M+m)a ≤ (m+M) μsg

25. 移开时A受力为零，弹簧长度不变。A的加速度aA=0，静止。 弹力f=k∆x=mAg=mg ; 而对B受力分析: f+mBg=f+mg=maB , 2mg=maB , aB=2g
26. F-T=m1a (1) T-m2g=m2a (2) (1)+(2): F-m2g=(m1+m2)a , a=F-m2gm1+m2 , T=m2g+m2F-m2gm1+m2=m2m1g+Fm1+m2

27. N=mBa , f=mBg ≤ μN , mBg ≤ μmBa , g ≤ μa , a≥gμ

B-27
B-28
28. 滑轮质量为零得到2T=f , T= m1a1 , m2g-f=m2a2 , a2=a12 , m2g-2T= m2g-2 m1a1=m2a2= m2 a1/2 , a1=2m2g4m1+m2
29. m=M2 , 按相对加速度关系 a人-地=a人-绳+a绳-地 ， 以向上为正 a人-地=a=a0+a1 , Mg-T=Ma (1), T-mg=ma=m(a0+a1) (2) ; (1)+(2) : (M-m)g=(M+m)a1+ma0
绳相对地面的加速度 a1=M-mg-ma0M+m=M2g-M2a032M=g-a03
人相对地面的加速度 a=a0+a1=a0+g-a03=g+2a03

30. v=kx， F=ma=mdvdt=mkdxdt=mkv=mk2x , a=dvdt=kdxdt=kv , v=dxdt=kx , t1t2dt=x0xdxkx , ∆t=t2-t1=1klnxx0
31. F=F0cosωt=ma=mdvdt , 0tF0cosωtdt=0vmdv , F0ωsinωtt0=mv-mv0 F0ωsinωt=mv , v=F0sinωtmω , 继续求导v=dx/dt, x0xdx=0tvdt=0tF0sinωtmωdt , x-x0=-F0mω2(1-cosωt)
32. 设质点运动方向向上，静摩擦力f 方向如图所示，θ=45° 。质点作匀速率圆周运动，将质点受力在切线和法线方向分解。切线受力为零，而法向力提供质点做圆周运动。
切线方向：Nsinθ-fcosθ-mgsinθ=0
法线方向：mgcosθ-Ncosθ-fsinθ=mv2/R
θ=45° , sinθ=cosθ , N=f+mg ,
mg-N-f=mv222R=2mv2R ,
-2f=2mv2R ,
得到静摩擦力f=-0.28((N) ，支持力N=f+mg=1.68 (N)。“-”表示f方向与假设相反，它与质点运动方向一致。
33. vx=5 , vy=t , v2=52+t2 ; t=4, v22=41 ; t=2 , v12=29 , 外力做功 A外=12mv22-12mv12=3 J
34. 按题意质点的速度可视为零。k∆x=mg, 200∆x=2×9.8, ∆x=0.098m. 外力F向下移动9.8cm时，M 脱离地面. 取g=10 m/s2, ∆x=0.1m. 物体离地0.1m, h=0.1 m. 在这个系统中，重力、弹力做功, 运用质点系功能原理: A外=E2-E1=mgh+12k(∆x)2-0 , E2= mgh+12k(∆x)2 , E1=0 ; 外力做功 A外=3 J , F所做的功等于3 J .
35. 在重力方向上小球无位移，因此重力做功为零；绳子的张力可拆分成垂直和水平方向，垂直方向不做功； 水平方向绳子提供小球作匀速率圆周运动所需的向心力，向心力与小球运动方向自始自终垂直，所以也不做功；
36. F=F0(xi+yj) , dr=dxi+dyj , abF∙dr=00F0xdx+02RF0ydy , A=F0y222R0=F04R22=2F0R2
37. N-mg=mv2/R (1) , 摩擦力做负功A=12mv2-mgR (2), A < 0 ; 由(1)得到12mv2=R2(N-mg), 代入式(2)中得到 A=R2N-32mgR
38. 根据动量定理mv-0=F∆t ，F 为平均冲力，∆t=60/900, F=mv/∆t=240 N (C)
39. mv-mv0=0tF-fdt=I1+I2，摩擦力 f=μN=μmg=20 N ，在t=0至 t=4 s时，F的冲量 I1=04Fdt=4×30=120 N·s , 摩擦力的冲量 I2=04fdt=20×4=80 N·s , mv-0=120-80=40, v=4 m/s ; t=0至t=7 s， F的冲量I1=07Fdt=120+12×3×30=165 Ns, 摩擦力的冲量 I2=07fdt=f·∆t=20×7=140 N·s , mv-0=165-140=25 , v=2.5 m/s
40. 设小球落到地面时的垂直方向上的速度 v1y=gt=2gy0 , 方向向下； 反弹时小球的速度v2y， 方向向上，按题意这不是弹性碰撞，机械能不守恒。设反弹后小球在垂直方向上的速度为 vy=v2y-gt 。在最高点，vy=0 , v2y=gt1 , t1=v2y/g , 球的高度h=v2yt1-12gt12=y02 , v2y2g-12g(v2yg)2=v2y22g=12y0 , v2y=gy0
(1) 地面对小球的垂直方向上的冲量： Iy=mv2y-mv1y=mgy0--2gy0 =mgy0(1+2)
(2) 地面对小球的水平方向上的冲量Ix=mv2x-mv1x=mv02-mv0=-mv02
41. (Δv)2=v2+v2-2v2cos120°=3v2 , Δv=3v , I=mΔv=3mv
42. (1) 当F=0 时, t=3×10-3 (s)
(2) 冲量 I=0tFdt=0t400-43×105tdt=400tt0-43×105t22t0 , 将t=3×10-3 s 代入得到I=0.6 N·s
(3) 按动量定理I=mv , v=300 m/s , 子弹质量m=I/v=0.6/300=2×10-3 kg
43. (1) 转动一周，回到初态，动量增量等于零
(2) 重力的冲量等于重力乘以时间：mgT=mg2πω
(3) 小球转动一周动量的增量为零，它受到的合力的冲量等于零。按水平和垂直方向分解：水平方向向心力的冲量等于零Ix=0 ；垂直方向的合力的冲量也为零，即绳子与重力的冲量之和等于零，因此绳子给小球的冲量 Iy=mg2πω
44. (1)水平方向速度增量为零; 垂直方向v2y-v1y=v0sinα-(- v0sinα)=2v0sinα= v0, α=30°, 动量的增量为mv0
(2) 向下， 和冲量方向一致。I=mv2y-mv1y
45. 引力的功A=R1R2-GMmr2dr=12mv22-12mv12 , 注意这里的负号“-” ，物体沿引力方向移动R1>R2, 引力做正功 （用势能表示 A=GMmR2-GMmR1＞0 ）
46. 运用功能原理。做功的力：F、弹力、摩擦力。
AF+A摩=E2-E1=12kx2-0 , Fx-μmgx=12kx2 , x=2(F-μmg)K , 势能 Ep=12kx2=2(F-μmg)2K
47. 做功的力：外力F、弹力、摩擦力。A外=E2-E1=12kx2 , kx=mg, x=mg/k , A外=12m2g2K
48. A引=R3R-GMmr2dr=GMmr3RR=GMm3R-GMmR=-23GMmR , 引力做负功。
49. 系统的势能等于重力势能加上弹性势能。
b点：mgx2sinα+12 k (x2-x1)2
a点：12kx12
ΔEp=mgx2sinα+12 k (x2-x1)2-12kx12
50. 作用力等于反作用力：kAxA = kBxB , xAXB=kBKA ， 弹性势能之比： 12kAxA2:12kBxB2=KBKA
51. W=mgR-12mv02=2×9.8×4-12×2×62=42.4 J

52. θ=10°, mgl1-cos45°=12mv2+mgl(1-cosθ) , v2=2gl(cos10°-cos45°)2
53. A=12mv02-v12=12m(v11-v22) , v2= 100 m/s , v0=700 m/s , v1=500 m/s , v02-v12=v11-v22 , v22=2v11-v02 , v2=100 m/s
54.
55. 整个过程外力、重力和弹力做功。A外=E2-E1
A点：E1=12kx02
B点：E2=12kx02+mg2x0sinα
A外=mg2x0sinα
56. 加速度为零时，电梯作匀速直线运动，为惯性系。物体在平衡位置速度有最大值。当物体相对电梯静止时（电梯作匀加速直线运动）： kx0-Mg=Ma , 弹簧伸长量x0=M(g+a)/K
电梯加速度等于零后， Mg=kd , d对应新的平衡位置时弹簧的伸长量。机械能守恒：12kx02=12kd2+12Mv2+Mg(x0-d) , v2=Mka2 , v=Mka
57. 动量守恒：PA+PB=常
(1) t=0 PA+PB=PA=P0
t PA+PB= P0-bt+PB= P0 , PB=bt
(2) t=0 PA+PB=0, PB=-P0+bt
58. 第一次：mAv0=mAv1+mBv2 , mA×0.5=mA×-0.1+mB×0.3 , 2mA=mB
第二次：(mA+1)×0.5=0+mB×0.5 , mA+1=mB , mA=1 kg , mB=2 kg
59. 水平方向无外力系统动量守恒，垂直方向上有地面的支持力不可忽视。
60. mA3i+4j+mB2i-7j=mA7i-4j+mB(vxi+vy)j , mB=4mA , vx=1 m/s , vy=-5 m/s , (A)
61. 合外力等于零，合外力的功不一定为零，则机械能不一定守恒；合外力为零时，合外力矩也不一定等于零，角动量不能守恒；动量守恒成立， (C)
62. 按题意桌面上无摩擦力，因此两小球组成的质点系的合外力为零，但合外力的功不一定等于零，机械能守恒不能成立，动量守恒成立。(B)
63.没有摩擦力时，车和小球组成的质点系在水平方向上无外力存在，因此动量守恒。质点系开始是静止状态，总动量等于零。任意时刻t , 0=mv1+Mv2
质点系在整个过程中只有重力做功，因此机械能守恒, 在小球运动到最低点时，球的速度方向在水平方向上，与车的速度方向相反: mgl=12mv12+12Mv22 ，v1=2gl1+mM 。动量守恒定律是在惯性系里成立的，v1和v2 都是相对于地面的速度。(C)
64. 光滑桌面表示无摩擦力，系统水平方向上无外力，动量守恒成立；
如果摩擦力做功，动能将转化为热能，机械能不守恒。
65. (A) 由初态到弹簧恢复原长时，墙对A有作用力，系统的外力不为零，动量守恒不成立。
(B) 墙对A的作用力不做功，整个过程中只有弹力做功，机械能守恒。正确。
(C) A离开墙后，墙对A的作用力不存在，水平方向上系统无外力，动量守恒成立，因为只有弹力做功，机械能守恒。
(D) A离开墙后总动量守恒，不等于零，因为B在A离开墙时是有速度的。总机械能自始自终保持不变为 12kx02 。
66. 质点作匀速率圆周运动，受到的合力为向心力，向心力对转轴的力矩等于零。当C下移，圆周运动的半径减少，但角动量守恒。设开始两小球的速率v1 圆周运动半径r1 角速度ω, C下移后，半径r2，速率v2，角速度ω2 :2mv1r1=2mv2r2 ,2mr12ω1=2mr22ω2 , ω2=r12r22ω1=36 rad/s
67. 质点受到的是向心力作用，向心力对圆心的力矩始终为零，质点对圆心的角动量守恒：mv1r1=mr12ω1=mr22ω2 ， ω2=r12r22ω1=12 rad/s
68. 地球和太阳之间的力为万有引力，力矩为零，地球m对太阳M的角动量守恒。角动量L=mvR , 万有引力F=GMmR2=mv2R , v2=GMR , L=mRGMR=mGMR (A)
69. 小球在碰撞前是作抛体运动，在垂直方向上的速度是向下的。当球和平板作完全弹性碰撞，机械能是守恒的。水平方向无摩擦力存在，因此小球的水平速度碰撞后保持不变，依旧为v。垂直方向上碰撞后两物体质量相等，两者交换速度，即平板碰撞前静止，碰撞后获得一个向下的速度，而小球碰撞后垂直方向上速度变为零。小球的运动方向应是水平方向A2方向，(C)。大家可以自己证明一下，在弹性碰撞过程中当两物体质量相等时，碰撞前后，它们的速度是相互交换的。
70. 子弹射中滑块A后，两者一起运动。在射中滑块A后，弹簧还没有发生形变，这时弹力为零。子弹射中滑块A前后，水平方向无外力存在，子弹和滑块A组成的系统动量守恒：m2v0=(m2+m2)vA , vA=v02 , vB=0 ; 随后子弹、滑块A和滑块B组成的系统机械能守恒、动量守恒。动量守恒得到：m2+m2vA+0=m2+m2v02=mv02=m2+m2v1+mBv2=mv1+mv2 , v1=0 , v2 有最大值为 v02
71. 按题意把夯打击桩的过程看成是动量守恒过程，
碰撞前系统的总能量E0=m1gh
碰撞前后动量守恒 m12gh=m1+m2v
总能量E=12m1+m2v2=m12ghm1+m2
72. (A) 不受外力时系统的动量守恒成立；但机械能不一定守恒（非保守内力做功的话，如摩擦力）
(B) 合外力为零，但外力做功之和不一定为零，机械能不一定守恒。
(C) 正确
(D) 外力做功为零，如果系统的非保守内力做功之和不为零，系统的机械能不守恒。机械能守恒条件是外力和系统的非保守内力做功之和为零：A外+A非保守内力=ΔE=0 ；动量守恒条件是合外力等于零。
73. 角动量 L=mvr , 动能 Ek=12mv2=L22mr2 , 引力势能 Ep=-GMmr , 引力为向心力：GMmr2=mv2r , v2=GMr , Ep=-mv2=-L2mr2 , 总能量 E=Ek+Ep=L22mr2-L2mr2=-L22mr2 ，可注意到总能量为负值。
74. 从B到C, 质点没有受到摩擦力作用，机械能守恒。先求C点的速度， 然后根据机械能守恒算出B点的速度。按题意在C点质点只受重力作用作圆周运动，其速度是沿水平方向的：mg=mvC2R , vc=Rg .
机械能守恒: 12mvB2=mg2R+12mvC2 , vB2=4gR+vC2=5gR , vB=5gR
从A运动到B，设路程S=AB，加速度a, vB2=2aS , 质点从C点落下作抛体运动，水平方向 S=vct=Rg t , 垂直方向上 2R=12gt2 , 落到A点 所需时间 t=4Rg , S=Rg 4Rg=2R , a=vB22S=5gR4R=1.25g=12.25 m/s2 。

75. 设圆周运动半径R=l-d ， 转动到最高点, 按题意质点的速度v 的最小值应满足条件：mv2R=mg , v2=gR=g(l-d) 。摆球由水平位置静止释放到绕B作圆周运动到最高点，机械能守恒：mgl=12mv2+mg2R , 将R、v的值代入得到 12gl-d+g2l-d=gl , d=0.6 l
76. 对A、B、C的受力情况作隔离分析，写成相应的牛顿力学方程：
A: mg-T1=ma (1)
B: T1=ma , (2)
由(1)和(2)式得到加速度a=g/2 , 当B走过路程s=0.4（绳长）后，绳子张紧了，C受到绳子的作用力后开始运动， s=0.4=12at2, 所需时间t=0.4 s
C开始运动时A和B的速度v=at=g2×0.4=1.96 m/s , 受绳子的张力，C和A、B一起运动，C的速度与A和B的速度大小相等。
77. 这两个物体组成的系统。水平方向上无外力（桌面光滑）。小物体沿半圆槽滑下，以半圆槽为参照系，小物体做圆周运动。由动量守恒：
0=mv1+Mv2 (1)
这两个物体的速度v1，v2是未知数，因此还要建立一个等式。设小物体相对滑槽速度u , 小物体的速度v1沿水平和垂直方向分解：
v1x=-usinθ+v2 , 以v2 （向右）为正方向
v1y=usinθ 向下为正方向
水平方向上动量守恒：m(-usinθ+v2)+Mv2=0 ,
musinθ=(m+M)v2 (2)
机械能守恒： mgRsinθ=12mv12+12Mv22
=12m(-usinθ+v2)2+12Mv22
将 v2=musinθm+M 代入上式得到 u=m+M2gRsinθm+M-msin2θ ,
滑槽对地的速度v2=msinθm+Mm+M2gRsinθm+M-msin2θ ,
将v2 代入(1)式，得到小物体对地的速度 v1=-Mmv2=-Msinθm+Mm+M2gRsinθm+M-msin2θ 。

对式(2) musinθ=(m+M)v2 两边对时间t 积分：
m0tusinθdt=(m+M)0tv2dt
0tusinθdt 是小物体相对于半圆槽在垂直方向上移动的距离，0tv2dt是半圆槽对地移动的距离。当小物体滑倒最低点B时，0tusinθdt=R , R为半径 . 滑槽相对地移动的距离 0tv2dt=mRm+M .
78. 这是相对速度的题目。相对速度：v船-地=v船-水+v水-地 。船驶向对岸时，
将船对地的速度v船-地在x-y方向上分解：vx=v02yl , 0≤y≤l2 ;
vy=v ,
以出发点为坐标原点，船相对地走过的距离：
x=0tvxdt=0tv02yldt ,
y=vt , x=0tv02vtldt=v0vlt2
写成的x-y表达式：x=v0y2vl
船驶向对岸

船离开岸边l/4处时，y0=l4 , x0=v0l16v
当船回头时，vx=v02yl , 0≤y≤l2
vy=-v2 ，

船调头驶向原岸
从船调头是开始计时：x-x0=0tvxdt=0tv02yldt ，
y=y0-v2t=l4-v2t , x-x0=0tv02l(l4-v2t)dt=v0t2-v0v2lt2
y=0 , t=l2v , x-v0l16v=v0l4v-v0l8v=v0l8v ,
船回到原岸时离出发点距离为 x=3v0l16v
79. 滑块受到的正压力：N=mv2R
摩擦力：f=μN=μmv2R
切向加速度 at :
f=mat=mdvdt=-μmv2R
dvdt=-μv2R
vv3-dvv2=0tμRdt
1vv3v=μRt , 3v-1v=μRt , t=2Rμv

80. 对绳子微分，对质量元dm作受力分析:
dT=Tx+dx-Tx=dmxω2
T=rLdT=MLω2x22Lr=Mω22L(L2-r2)
用质心方法可得到同样结果。
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