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第十六章 分式教材分析

一．教材内容和课程学习目标
　　（一)教科书内容
　　本章的主要内容包括:分式的概念，分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。
　　全章共包括三节：
　　16．1  分式
　　16．2  分式的运算
　　16．3  分式方程
　　其中,16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。
11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数,这给运算带来便利.
11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程,是本章教学中的另一个难点,克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
　　分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
　　借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法,这在本章学习中经常使用.解分式方程时,化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解,并且要注意检验是必不可少的步骤。
　　(二）本章知识结构框图

　　（三）课程学习目标
　　本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：
　　1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。
　　2．类比分数的基本性质,了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。
　　3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则.
　　4．结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系.
　　5．结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。
　　（四）课时安排
　　本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：
　　16．1  分式                                                2课时
　　16．2  分式的运算                                          6课时
　　16．3  分式方程                                            3课时
　　数学活动
　　小结                                                         2课时

　　二．本章的特点
　　(一）反映分式和分式方程等概念的实际背景，体现数学概念来自实际、服务于实际
　　本章在引出分式的概念之前，安排了“思考"如何用式子表示实际问题中的数量关系；在讨论分式的乘除和加减的过程中，前后安排了涉及容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题；在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。可以看出，本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。这样编写的目的主要是反映两重意思:
　　1．客观世界中有大量的问题需要用数学进行研究，许多数学概念正是在客观实际的需求中产生的；
　　2．掌握数学知识和方法后，可以能动地运用它们分析和解决大量的实际问题。
　　上述两方面是符合辩证唯物主义关于理论与实际的关系的观点的，在本套教科书的其他部分也有这样的反映。
　　人们接受正确的哲学观点需要经历不断加深认识的过程，结合学习的不同阶段渗透辩证唯物主义和历史唯物主义，帮助学生逐步形成正确的世界观和方法论,是数学教育的任务之一。本套教科书力求体现的一个特点，就是使它成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，使学生通过这面镜子的照射更清楚地认识数学的本来面目、更清楚地认识世界。
　　本章中安排大量实际问题，也是为更好地体现本套教科书非常重视的一点，即通过分析与解决实际问题，提高学生联系实际地应用数学知识的意识、兴趣和能力,更好地培养他们的创新精神。
　　（二）通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式
　　人们认识事物往往经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的过程,本章教科书对几个内容的安排正是按照这样的过程展现的。
　　分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系。分数等表示具体的数值，或者说每个分数表示两个特殊的整数的除法；分式则具有一般的、抽象的意义，例如表示的是一般的倒数，表示的是任意两个数的除法（）.分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则,是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的。在学习本章之前,学生已经对分数有较多的了解,因此本章教科书的另一个编写特点是:在学生对分数已有认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。在16．1节讨论分式的基本性质、约分、通分和11．2节讨论分式的四则运算时，教科书通过多次的“观察”“思考”，进行上述类比，温故而知新，完成知识的深化.希望老师们能细心体会这样安排的良苦用心，教学中充分发挥知识之间正向迁移的积极作用。
　　(三)分析分式方程的特点，明确指出解分式方程的基本思路
　　在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组),他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中,它的解法比以前学过的方程复杂,随着问题复杂性的增加，人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。
　　本章最后的第16．3节“分式方程"，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数.教科书注意在这里要体现出解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的,是在原来已经认识的解方程的基本思路──使方程逐步化为 的形式的想法基础上发展而得到的。这样处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了分式方程与整式方程在解法上的内在联系。
　　在强调解分式方程必须检验时，考虑到学生的知识基础和接受能力，教科书没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象,并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出检验增根的方法，这样处理是想以典型例子简明地说明检验增根方法的依据。教科书的编者对如何把握这个问题的深度作了认真思考，力求做到既说明做法的合理性,又适可而止，不超越学生的实际水平。
　　在本章小结中，教科书通过本章知识结构图和思考题，再次强调了解分式方程的基本思路以及检验的问题，这又一次反映出编者对分式方程不仅关注使学生会解，而且还重视使学生认识解法后面的道理,即使学生能知其然也知所以然。
　　    三．几个值得关注的问题
　　（一）重视分数与分式的联系，注意通过分数认识分式
　　数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程。人们首先从计算具体物体个数的活动中抽象出整数的概念，又从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念，这是一种从实物到数的抽象.人们在研究整数和分数的过程中，为了更好地反映一般规律,又抽象出整式和分式的概念，这是一种从数到式的抽象。
　　正如前面所述，分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数就是具体的、特殊的基础对象.分式是把具体的分数一般化后的抽象代表，根据这种关系,分式的基本性质、约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应,即两者具有一致性，这也可以说是数式通性。“从具体到抽象，从特殊到一般"，是人们认识事物往往经历的过程，本章教科书对分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等内容的展开，充分地考虑了这样的认识过程。因此，教学中应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式,这将有助于理解和记忆所学的分式内容。同时，这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用。
　　（二)重视分式与实际的联系，体现数学建模思想
　　由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言,分式不如分数更直接。但是，如果我们不仅考虑实际问题中的具体数值，而且考虑其中的运算或对应规律，那么仍然有与分式存在密切联系的实际问题情景。
　　如前所述，本章教科书中从引言开始安排了大量实际问题，一方面要体现与研究分数类似研究分式同样也是实际需要，另一方面也是为通过运用分式为工具分析与解决实际问题,提高学生把实际问题转化为数学形式的能力，即结合本章内容体现数学建模思想,进一步加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生的创新精神.
　　在本章的教学和学习中，应重视分式与实际的联系，选择一些适合分式内容而又接近学生生活的实际问题，结合这些问题展开分式的内容.要注意避免脱离任何实际问题地讲述分式的内容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出分式来自实际又服务于实际,加强对代数式（包含分式）也是解决现实问题的一种数学模型的认识。
　　对于把实际问题转化为有关代数式的问题，分析和解决它们的关键是找出问题中相关数量之间的运算关系，并把这样的关系 “翻译”为数学形式，而正确地理解问题情境是基础.在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考实际问题,例如借助图象、表格、式子等进行分析,发现其中的数量关系,并检验所建立的式子的合理性。
　　（三）重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤
　　本章所讨论的主要对象是分式，分式方程与分式有直接的关系。本章之前，已经出现过整式方程，对于解方程就是使方程逐步化为 的形式这一基本思路,学生已经比较熟悉.与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。正因如此分式方程的解法与整式方程的解法有两个明显的区别：
　　1．一般说,解分式方程时要通过去分母使它先转化为整式方程，也就是使未知数从分母的位置移上来。注意这里的去分母是在方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，因此这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。
　　2．通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时,它才是分式方程的解。
　　由于解一元一次方程已不是新问题，所以上述两点就成为本章中解分式的关键步骤。
　　在本章的教学和学习中,应重视分析分式方程的特殊性，并根据它认识解分式方程的基本思路(先化分式方程为整式方程,再解出未知数,再检验确认），明白这样做的道理,再次体会化归思想在解方程时的指导作用.如果抓住分式方程的特殊性，那么就能感到解分式方程的基本思路是非常很自然、合理的，而不会去死记硬背解法步骤了。这也就是说，抓住分式方程的特殊性就能突出解分式方程的关键步骤及其算理，在已有的对解方程的认识的基础上再认识分式方程的解法。
　　此外，需要强调：本章的主要内容包括分式的基本概念、基本性质、基本运算，分式方程的基本解法等，这些都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要,因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实掌握它们。

四．教学建议
（一）关于分式的概念和性质
分式概念
教学目标
1．使学生理解并掌握分式的概念,了解有理式的概念；
2．使学生能够求出分式有意义的条件;
3．通过类比分数研究分式的教学,培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力;
4．通过类比方法的教学,培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点的再认识。
重点 难点
1.分式的概念，对于今后学习分式方程和函数等知识都有重要的作用，所以,本节的重点是分式的概念。讲解分式的概念时，一定要和分数的概念类比着讲,抓住分式的实质,讲解时应注意以下两点：
（1）分式是两个整式相除的商,其中分母是除式，分子是被除式,而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用。
(2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母，后者是整式与分式的根本区别.
2。本节的难点是理解和掌握分式的分母不为零.在分式中，作为分母的代数式的值是随着式子中字母取值的不同而变化的，字母所取的值有可能使分母的值为零，分母的值为零时分式就没有意义了。这与分数不同，分数的分母是一个具体的数，是否为零,一目了然 。而分式要明确是否有意义,就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的代数式的值为零，这对于学生来说，是一个难点。
教法建议：
1．新课引入要自然、合理，可以设计从学生熟悉的实际问题引入。
2．引入新课后，要先复习分数的概念，要给学生强调，分数的分母不能为零，如果分母为零,分数就没有意义了，为讲解分式的概念打好基础。
3．因为本节主要是概念,要想让学生区别好这些概念，可以举出各种类型的例子，其中包括整式的、分式的,让学生理解概念，在此基础上，让学生通过分析、比较，进一步弄清分式的概念，特别是分式与整式的主要区别。

分式的值为零的条件是：分子的值为零而分母的值不为零．
由于零除以任何非零的数时，商都为零．所以,一般地说，分子的值为零时,分式的值为零．但是，这时分式必须有意义，也就是分式的分母必须不为零．如式子

中，当和都能使分子的值为零，但却不能使式子的值为零，因为当时分母的值为零,这个式子无意义，所以只有才使这个式子的值为零．
于是，我们要牢记:分式为零的条件是且．

分式可以看作值不确定的分数{函数思想}
分式说到底，仍表示的是分数（我们把整数看作以1为分母的分数），只是表示的是哪一个分数，则要由字母取哪一个字母来确定，如下图所示:

X
3
2
0
－1
… … …
－3
所以,分式和分数应用很多相同之处或类似之处，分式的基本性质就有和分数类似的基本性:

的基本的性质: 的分子与分母都乘以(或除以）一个不等于零的

的值不变．

分式的运算法则和分数的运算法则也没有本质的区别，它们都有类似的运算步骤．
所以,学习分式，就要把它和学习分数加以类比，把关于分数的知识迁移到分式的学习中来，这将是最好的学习方法．
怎样正确理解分式概念？
　　 由于分式的概念是在与分数类比引入分式概念的基础上，通过实际问题建立起来的,所以对比分式与分数概念的异同，可以加深对分式概念的正确理解．
　　（1)两个整数相除可以表示成分数的形式．如

　　两个整式相除可以表示成分式的形式,如

个整式相除的商，其中分母是除式,分子是被除式，而分数线可以理解为除号，且

　　（2）分数的分子和分母都是具体数值(不含字母）．

　　（3）因为“零不能作除数”,所以无论是分数还是分式，分母都不能是零．
　　由于分数的分母是具体数值,其值是否为零一目了然，而分式的分母中含有字母，其值是否为零就必须分析、讨论分母中所含字母的取值范围,以避免因分母的代数式的值为零而使分式失去意义．如

去±1以外的任意数值．

分式的基本性质
教学目标：
1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形；
2．通过对比分数和分式基本性质的异同点,使学生学习类比的思想方法,培养学生类比转化的思维能力；
2．通过分式的恒等变形，提高学生的运算能力；
4．通过分数与分式基本性质的类比、归纳，渗透事物是联系及变化发展的辨证关系.
知识结构：
分数的基本性质(引入)
分式的基本
性质
分式的符号变号法则

类比 归纳

教学重点：理解并掌握分式的基本性质.
教学难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形.
1．掌握好分式的基本性质是学好本章的关键，因此，本节的教学重点是理解并掌握分式的基本性质。从形式上看，分式的基本性质和分数的基本性质几乎一样,学生接受起来不会困难，但要使学生真正理解和掌握这个性质,打好分式恒等变形的基础，讲解时应注意两点：（1）分式基本性质式子中的A，B,M表示的是整式，随着知识的扩充，A,B,M还可以表示任何代数式.
（2）分式基本性质式子中的.是一个含有字母的代数式，由于字母的取值可以是任意的，所以就有等于零的可能性，因此每当我们应用分式的基本性质时，要重点考查这个代数式的值是否为零.
2．本节的难点是灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形,这是学生最容易出错的地方，在分式的恒等变形中一定要强调分数线的作用.分式的分数线具有括号的作用，当分子或分母是多项式时,要把它看成一个整体，变号时要将多项式的每一项都改变符号，为避免错误，可以将分子或分母分别括在括号内。分式的分数线具有相除的作用,两个整式相除所得的分式的符号法则与有理数除法的符号法则相类似,也遵循“同号得正,异号得负"。

教法建议:
1．引入要自然、合理
新课开始前，应通过具体例子引导学生回忆小学数学中分数通分、约分的根据——分数的基本性质,再用类比的方法得出分式的基本性质.
2．要善于利用多媒体
3。 对于本节的难点老师们如何来突破,要突破这节课的难点，要做好三个环节：第一,这一章的内容与前面的分数有点相似，所以，本章的有些节都是类比分数的知识来讲的，这一节也不例外，类比分数的基本性质来讲解分式的基本性质,讲清楚分式与分数的最大区别是什么，并加以强调.第二，分式的基本性质讲完后，老师就讲例题，教科书中的几个例题，都是性质的运用，要研究每一例题的特点，加强分析,有针对性地讲解。第三，要强化训练,老师讲完例题后，要让学生自己做题，在做题过程中体会分式的基本性质，以加深理解，到后面才会运用自如.
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）;
解：∵
∴．
（2）；
解：∵
∴．
（3）
解：∵ ，
∴ ．
例2 填空:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
（1）；
解：．
(2）．
解：．
例4 判断取何值时,等式成立？
解:根据题意得， ∴．
（二）随堂练习
1．当为何值时，与的值相等（ )
A． B． C． D．
2．若分式有意义，则,满足条件为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
3．下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若把分式的和都扩大两倍，则分式的值
A．扩大两倍 B．不变
C．缩小两倍 D．缩小四倍

分式乘除法
教学目标:
1．使学生理解分式约分的意义，会把分式化成最简分式；
2．使学生理解并掌握分式的乘除法则,并能熟练地进行分式的乘除法运算；
3．通过本节的学习,复习因式分解、分数约分、分式的符号变号法则，培养学生的运算能力；
4．通过掌握分式的乘方法则，培养学生运用化归思想的解题能力；
5．通过分式的除法转化为乘法的教学，渗透事物是普遍联系和变化发展的辨证唯物主义观点。
知识结构:

教学重点：分式的乘除运算。
教学难点:分式的乘除、乘方混合运算.
1.分式的乘除、乘方运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一，也是学习后继知识的必备内容，所以,分式的乘除运算是本节的重点。分式的乘除运算的实质是分式的约分，因此，讲清楚约分是本节的关键，不但要介绍单项式和多项式的约分方法，而且要着重分析在约分中,是如何应用分式的基本性质的,仔细分析约分的根据，逐步总结出约分的方法.
2。分式的乘除、乘方混合运算是本节的难点,也是学生最容易出错的地方.分式的乘除运算，当分子和分母是多项式时，把分子和分母中含有同一字母的多项式按降幂（或升幂）排列，容易看出分子和分母的公因式，然后进行因式分解，最后再约分。在讲解过程中还应向学生讲清两点：（1)在分式除法运算中，除式（或被除式)是整式时，可以看作分母是1的式子，然后依照分式乘除法的法则计算。（2)要注意运算顺序.对于分式乘除、乘方混合运算，应先乘方运算后乘除运算。

分式的加减
1、知识目标
（1）掌握分式的通分法则，熟练掌握通分运算;
（2）理解掌握分式加减法运算法则,熟练掌握分式加减法的运算.
2、能力目标
(1）通过分式加减法的运算，培养学生的综合运算能力;
（2）通过分式的综合运算培养学生的分析问题和解决问题的能力。
3、情感目标
（1）理解通过化异分母为同分母从而进行分式的加减法运算，渗透化归的对立统一的辩证观点.
(2）通过分式的加减法运算，体验数学的化繁为简的数学美。

知识结构

重点分析：
分式的通分,分式的加减法运算。
分式的通分是分数通分的延伸,也是前面所学的：整式的四则运算、因式分解、符号变换法则等知识的综合应用。通分是分式加减运算的关键一步，分式加减法的运算与分数加减法的运算法则相同，学生理解没有问题，但要给学生强调“分子整体相加减”和“结果要最简形式”等细节问题，减少错误出现的可能.分式加减法的运算是数学后继知识的重要基础，基础扎实与否决定分式知识的能否正确运用,要求学生熟练掌握分式四则运算。
难点分析:
通分运算中的最简公分母,异分母的加减运算。
分式的通分关键是找分式的最简公分母,尤其当分母含有整式时，确定最简公分母所含的因子，因此需要对整式因式分解，学习中要求学生及时复习相关内容。由分式的四则运算综合性较强，计算过程较繁，学生很容易出错,熟练掌握有一定难度。因此要在讲解过程中要安排好顺序,循序渐进逐步深入，严格要求做题的格式和步骤,注意及时总结，纠正错误.

分式方程
1、知识目标
（1）了解分式方程的概念；
（2）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
(3）了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握分式方程验根的方法.
（4）会列出可化为一元一次方程的分式方程解简单的应用题。
2、能力目标
（1）通过分式方程的求解,培养学生的解题技巧，提高解题能力；
（2)通过对分式方程的应用，培养学生分析、解决实际问题的能力.
3、情感教育
通过将分式方程转化为整式方程求解，把未知问题转化为成已知问题，从而渗透数学的
转化思想。

知识结构：
分式方程
一元一次方程
求解
验根
审题
设未知数
找等量关系系
解方程，并验根
写出答案

教学重点与难点分析：
重点分析：
本节重点是可化为一元一次方程的分式方程求解中的转化，列方程解应用题.解分式方程的基本思想是:设法去掉分式方程的分母，把分式方程转化为整式方程,这是分式方程求解的关键，因此转化过程中首先要找方程两边的最简公分母,找最简公分母的方法和分式通分时相同.求解分式方程的具体步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
（2）解所得到的整式方程。
(3）验根，把解得的整式方程的根代入最简公分母，若结果不等于零,这个根就是原分式方程的根；若结果等于零,这个根是原分式方程的增根，应舍去。验根是解分式方程的必要步骤，在此打好基础减少学生以后的出错率.
应用题是中学的重点内容之一，注意引导学生思考问题、分析问题，启发学生把方程列出的思路，使学生逐步掌握解应用题的方法。
难点分析：
本节难点是理解解分式方程是产生增根的原因，列方程解应用题。
解分式方程学生容易出错，关键不能理解在方程变形的过程中产生增根的原因，对于初二学生理解有一定的困难，可以结合实例让学生了解方程两边同乘的是整式，整式可能为零不能满足方程同解变换的原则，因此求解分式方程一定要验根。列方程解应用题学生对于如何思考、分析题目中量及量间的关系有一定的困难,题目中的量哪些是已知量、哪些是未知量，这些量之间存在哪些等量关系，在讲解时注意引导学生如何去思考分析，尤其是关键量间关系的寻找。
教法建议:
1、对于分式方程的概念可以结合分式和方程概念引入,对比分式方程与整式方程间联系和区别。
2、分式方程的求解可让学生思考分析，转化思想在前面已经接触到，学生可以讨论得出分式方程的转化思路.分式方程求解的关键是将其去分母化为一元一次方程求解，在转化的过程中首先要找最简公分母，避免找错找繁。教学时注意题目难度的层次，逐步深入。方程产生增根的原因让学生结合实例了解，如课本上P32页例子:，要转化为一元一次方程，首先要找最简公分母，方程两边同乘可得：解得。 以前讲方程时两边要变换同乘或同除一个数一定要保证不为0，但此处同乘的是整式，不能保证一定非零,因此须检验所求的解即分式方程一定要验根。 验根的方法有：代入原方程检验法和代入最简公分母检验法。(1）代入原方程检验,看方程左，右两边的值是否相等，如果值相等,则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根。（2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的值是否为零,若值为零,则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根。前一种方法虽然计算量大,但能检查解方程的过程中有无计算错误，后一种方法，虽然计算简单,但不能检查解方程的过程中有无计算错误,所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。学生解题过程格式一定要完整. 对于出现的错误应及时纠正强调,养成良好的习惯. 文档为个人收集整理，来源于网络
3、列方程解应用题一直是学生的难点，讲解的过程中注意渗透思考分析问题的思路。 列分式方程解应用题与列一元一次方程时应用题的基本思路和方法是一致的，不同的是,因为学习了分式后，表示量与量的关系的代数式就可以不受整式限制,也可以用分式表示。对于应用题要讲清以下步骤:
（1）审清题意：弄清题中涉及哪些量？已知数和未知量各几个？量与量之间的基本关系是什么？
（2）设未知数,找出尽可能多的等量关系，用含未知数的代数式表示其它未知量，注意所设未知量的单位要明确.
（3)列方程，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含有未知数的等式,这就是方程.
（4）解方程，并验根，验根时应注意：
①检验解得的根是否是原分式方程的根;
②检验这个根是否符合实际。
（5）写出答案。

典型例题一

例1．下列各式中不是分式的是（ ）
A． B． C． D．

解答
说明 ①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母； ②是一个常数，不是一个字母
典型例题二

例2．分式有意义,则应满足条件（）
A． B． C．且 D．或

分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义,分母必不为0,即
，所以且
解
说明 当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要特别注意的一点

典型例题三

例3．当取何值时,下列分式的值为零？
（1）； （2）
分析 要使分式的值为零，不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不等于零
解 （1）由分子，得。又当时,分母。 所以当时，分式的值为零。
（2）由分式，得。当时，分母；当时,分母。所以当时，分式的值为零.
典型例题四

例4．与是同一个分式吗？
分析 分式有意义的条件是，即和。而有意义的条件是,而当时,是有意义的.
解 由于与有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式.
说明 在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，然后再考虑其他问题。
典型例题五

例5．若分式的值为非负数,求的取值范围
分析 可转化为,或，；
可转化为，或，

解 根据题意,得，可转化为
（Ⅰ)和(Ⅱ)
由(Ⅰ）得，由（Ⅱ）得无解.
综上，取值范围是：