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练习5 刚体的定轴转动
刚体定轴转动的概念
5。1 正误判断,如是错误的，指出错在哪里。
（1） 在传统建筑中关门开窗，门窗是平动；
（2） 火车在拐弯时的运动是转动;
(3） 地球自西向东自转,其自转角速度矢量指向地球北极；
(4） 刚体绕定轴作匀速转动时,其线速度不变;
（5） 刚体绕z轴作逆时针减速定轴转动时，其所受力矩M，角速度ω和角速度β均指向z轴正方向；
(6） 处理定轴转动问题时，总要取一个转动平面S，只有S面上的分力对轴产生的力矩才能对定轴转动有贡献;
（7） 力对轴的力矩M的方向与轴平行;
（8） 质量固定的一个刚体，可能有许多个转动惯量。
［分析与解答]
（1）错误。建筑物中，推拉门窗是手动，凡用铰链连接的门窗,开关门窗时,门窗是转动。
(2）（3)正确。
（4）错误。刚体作定轴转动时，各质元的线速度=是不等的。整个刚体没有统一的线速度.
(5)错误.按题意，的方向为方向。因减速转动，故的方向指向。由M=I，的方向与的方向一致。
（6）(7)（8)正确.
5。2 为什么要用角量来描述刚体定轴转动规律?
某刚体绕z轴转动，设以逆时针转向为正,则下列情况下说明刚体的转向以及它作加速还是减速转动。
（1） ω〉 0 ,β< 0; （2 ) ω〉 0 ，β> 0 ;
(3) ω< 0 ,β〈 0; （4 ） ω< 0 ，β> 0。
［分析与解答］
由于刚体定轴转动时，刚体上各点均绕转轴作圆周运动，因此各点的角量是相同的（如角位移,角速度，角加速度），而线量则是不同的（如位移,速度,加速度),所以要用角量来描述刚体的定轴转动。
（1） >0,β〈0时,刚体作逆时针减速转动；
（2） ω〉0，β>0时,刚体作逆时针加速转动；
（3） ω<0，β〈0时，刚体作顺时针加速转动;
（4） ω〈0，β>0时，刚体作顺时针减速转动;
关于转动惯量
5.3 试讨论分析：
（1） 转动惯量I的意义。
（2） 列出I的表达式，说明I取决于哪些因素?
(3） 转动惯量I与质量m的相似点与区别。
（4） 质点作圆周运动时，有转动惯量吗？ 若有，等于多少？
[分析与解答]
(1)I是刚体转动惯量大小的量度。
（2）I=，说明不仅与刚体的总质量有关，还取决于转轴的位置和质量的分布。
（3）I与m均表示运动惯性大小.但对同一刚体而言，只有一个m,但可能有许多个I，因为I与转轴有关，同一刚体沿不同的转轴转动，就有不同的I。
(4)有。且。
5。4 从转动惯量I 的概念来分析判断:
（1） 设想有一根异质杆子,一半是铁，一半是木头（见图),长度、截面均相同， 可分别绕a,b，c轴转动, 试问对哪个轴的转动惯量I 最大？
(2） 两个质量、直径相同的飞轮,以相同的ω绕中心轴转动，一个是圆盘形A,一个圆环状B,在相同阻力矩作用下，谁先停下来? 题5.4图
(3) 将质量相同的一个生鸡蛋和一个熟鸡蛋放在桌面上并使它们旋转， 如何判定哪个是生的，哪个是熟的？
[分析与解答]
（1)由转动惯量表达式I=可知,转动惯量不仅与物体的密度有关,还与回转半径有关,因此密度大的部分其回转半径也大，其转动惯量较大,所以对c轴的转动惯量最大，对a轴次之，对b轴最小.
(2)圆环状B物体的转动惯量较大,由转动定律M=Iβ，在阻力矩M相同的情况下,A物体的减速角加速度较大，两者角速度w相同，因而A物体应先停下来。
（3)生鸡蛋在旋转时,由于惯性蛋清会被甩向蛋壳集聚，使转动惯量增大，由动矩量矩守恒，增大减小.而熟鸡蛋的I不变。则在同样的阻力矩作用下,生鸡蛋先停下来.
5。5 在弄清概念的基础上, 要求能正确查表并填空:
(1) 半径为R、质量为m的球体， 对过球心轴的转动惯量I = ；
(2) 质量为m、长度为l 的均匀细棒， 对过中心、且垂直于棒的c(质心） 轴的转动惯量I = ；
(3) 利用平行轴定理可知, 在( 2) 中对过棒的任一位置且平行于c 轴的转动惯量I = ;
(4） 在(2 ）中棒的两端各连一个质量均为m 的小球， 根据叠加原理， 系统对c 轴的转动惯量I = 。
［分析与解答]查阅《工科物理教程》表5。1.1，得
(1)m (2）
（3） （式中,d为转轴到c的距离)
(4)棒对c轴的转动惯量;两小球对c轴的转动惯量。则系统对c轴的转动惯量为
定轴转动定律
5.6 下列各种叙述中, 哪些是正确的？
(1） 刚体受力作用必有力矩；
(2） 刚体受力越大, 此力对刚体定轴的力矩也越大;
（3） 如果刚体绕定轴转动, 则一定受到力矩的作用;
（4） 刚体绕定轴的转动定律表述了对轴的合外力矩与角加速度间的瞬时关系；
（5） 在M= Iβ中， M, I ，β必须对同一转轴而言， 否则此式不成立。
［分析与解答]
（1）（2）错误。因为力矩M=rF，若F，r=0时,M =0.同样F越大,M也不一定越大。
(3)错误。刚体绕定轴匀速转动时，合外力矩M =0.
（4）（5)正确。
5.7 如图所示， 两条质量和长度相同的细棒A 和B， 可分别绕通过中点O和左端O′的水平轴转动, 设它们在右端都受到一个铅直力F 作用, 试比较它们绕各自转轴的角加速度βA 与βB 的大小.
［分析与解答]
因为
代入转动定律 M=Iβ
得 ； 可见。

题5。7图 题5.8图 题5。9图
5.8 如图所示，长为l的均质细杆左端与墙用铰链A连接,右端用一铅直细绳B悬挂,杆处于水平静止状态，若绳B被突然烧断，则杆右端的加速度为多少?
［分析与解答] 烧断绳时，杆将在重力矩的作用下,绕A轴转动.由转动定律有
则右端的加速度为 。
5。9 一均质细杆AB 长为l ，质量为m.两端用细线吊起并保持水平（如图）。现将B 端的细线剪断， 试求剪断瞬间A 端细线中的张力.
［分析与解答]
B端细线被剪断后，细杆将在重力矩作用下，绕A轴转动,其角加速度为β，同时其质心的加速度为.
根据转动定律,有 ①
又根据质心运动定律，有 ②
由于 ③
联立式①，式②，式③求解得,此时A端细绳的张力为

5.10 一细绳绕在半径为r 的定滑轮边缘， 滑轮对转轴O的转动惯量为I,滑轮与轴承间的摩擦不计，今用恒力F拉绳的下端(见图(a))或悬挂一重量P = F 的物体（见图（b)） ,使滑轮自静止开始转动。分别求滑轮在这两种情况下的角加速度。
[分析与解答］如图（a）情况下,绳子的张力。按转动定律有
故
在图（b)情况下,有
解得

题5.10 图 题5.11 图
5。11 一个组合轮轴由两个同轴的圆柱体固结而成，可绕光滑的水平对称轴OO′转动。设大小圆柱体的半径分别为R 和r ， 质量分别为M和m， 绕在两圆柱体的上细绳分别与质量为m1和m2 (m1〉 m2）的物体A、B 相连(如图) 。试求:
( 1） 两物体的加速度；
（ 2) 绳子的张力；
( 3) 轮轴的角加速度。
［分析与解答］分别对物体A,B和轮轴作受力分析（见图b）,根据牛顿运动定律和转动定律，有
对A： ①
对B： ②
对轮轴： ③
I= ④
⑤
⑥
解式① ～ ⑥方程组得

，
，
5。12 两皮带轮A和B， 质量和半径分别为mA、RA和mB、RB,并都视为均质圆盘。轮A 用电动机拖动,并施以力矩M，轮B上有负载力矩M’如图所示。皮带与轮间无滑动， 且不计皮带质量和轴的摩擦,
试求:
（ 1) 两轮的角加速度βA 和βB ； 题5.12 图
（ 2) 若将同一力矩M作用在B 轮上, A 轮的负载力矩为M’, 再求两轮的角加速度βA’ 和βB’ 。
［分析与解答］（1）A，B两轮的受力情况如图(b）所示，分别绕各自的轴转动，由转动定律有
对A： ①
对B: ②
由于皮带和轮间不打滑，故两轮与轮缘各点的 题5.12 图
线速度和切向加速度应相等，故有：
③
④
联立求解式①，式②,式③,式④，并考虑到，得：

（2）按题意，两轮受力情况如图（c）所示，则转动方程有
对A： ⑤
对B： ⑥
且 ⑦
联立式⑤，式⑥，式⑦，解得

力矩的时间累积效应
5。13 填空：
刚体绕定轴转动， 对该定轴的动量矩表达式为 ；作用在刚体的外力的冲量矩为 ； 动量矩定理的表达式为 .
［分析与解答］（略）
5。14 动量矩守恒的条件是什么? 下列说法中， 哪些是错误的？ 错在哪里？
( 1) 始末两状态的动量矩相同， 表明动量矩守恒；
（ 2） 动量矩守恒时， 始末状态的角速度ω必相同；
( 3） 要使刚体的动量矩守恒， 其转动惯量I 必然保持恒定;
( 4） 刚体的动量矩守恒, 其动量也守恒。
[分析与解答］
动量矩守恒的条件是:合外力矩为零。
(1）错误。动量矩守恒是动量矩时时刻刻都保持不变，不仅仅是始末状态的动量矩相同。
（2)错误。动量矩是转动惯量与角速度的乘积，即L=，在动量矩守恒的情况下，若转动惯量发生变化，其角速度也随之改变，故始末状态的角速度w不一定相同.
（3)错误。原因同上。
（4）错误。因为合外力矩为零时，其合外力不一定为零，如质点作匀速圆周运动时，其动量矩守恒，但动量却不守恒。
5。15 卫星绕地球沿椭圆轨道运动的过程中， 下述说法哪种是正确的？
(A） 卫星的动量矩守恒；
（B) 卫星的动量矩不守恒；
（C） 卫星的动量守恒;
（D) 卫星的机械能不守恒。
[分析与解答]
卫星在运动过程中，只受万有引力作用，由于万有引力是保守力,且恒指向、与地球的连线方向，力矩为零，因此，机械能和动量矩守恒。故（A)是正确的。
5.16 如图所示， 有一半径为R 的水平圆转台, 可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动， 转动惯量为I , 开始时转台以匀角速度ω0 转动, 此时有一质量为m 的人站在转台中心， 随后人沿半径向外跑去, 当人到达转台边缘时转台的角速度为多少?
［分析与解答］ 取人和转台为研究对象，在人从中心走向边缘的过程中，系统所受合外力矩为零，则系统的动量矩守恒。有

则

题5。16图 题5.17图 题5。18图
5.17 在杂技节目跷板中， 演员甲从h高的跳台上自由下落到跷板的一端A， 并把跷板另一端的演员乙弹了起来。设跷板是匀质的, 长度为l， 质量为m′,支撑点在板的中部C点, 跷板可绕点C 在竖直平面内转动( 如图）.演员甲、乙的质量均为m。假定演员甲落到跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。试求： （1 ) 碰后跷板的角速度ω（ 也是甲、乙的角速度) ； ( 2） 演员乙被弹起的高度h′。
［分析与解答］
（1)甲由h高处自由下落，至与板碰撞前的速度为

得
碰撞前后,取甲，乙和板为系统,满足动量矩守恒条件，即

得
(2)碰后，乙被向上弹起的初速度为

则乙被弹起的高度可由求出
即
5.18 在一项微型技术中， 用一根质量很小、长度为l的均匀细杆作为微型机器人的输送通道, 细杆可绕通过其中心点O并与纸面垂直的轴转动（如图) , 当杆静止于水平位置时， 微型机器人以速率v0 垂直落在距O点为1l/4 处, 并向细杆端点A 运动。设杆与机器人的质量均为m.试求: ( 1)机器人刚落到杆上时，细杆的角速度ω； ( 2）欲使细杆以此恒定的角速度转动，求微型机器人向A 端运动的速率随时间变化的规律.
［分析与解答］
（1） 取机器人与杆为系统,机器人落到杆上前后，满足动量矩守恒的条件。即
（2） 设机器人运动到P点，OP=r，此时对杆和机器人系统而言，只受到地球对机器人的重力矩作用,即

此时系统对O轴的转动惯量为

根据动量矩定理，并考虑保持不变，有
即
以代入,得

力矩的空间累积效应
5。19 刚体定轴转动时, 对该定轴而言
（ 1） 外力矩的功A= ;
( 2) 刚体的转动动能Ek = ；
( 3） 动能定理的表达式为 。
［分析与解答]
（1) （2） （3）A=
5.20 如图所示,一长为l = 0.40m, 质量为M = 1kg 的均质杆， 铅直悬挂。试求: 当质量为m= 8×10—3kg 的子弹以水平速度v = 200m·s—1，在距转轴O为3l/4处射入杆内时, 此杆的角速度和最大摆角。
[分析与解答] 求解此题可按两个过程分别处理：
(1）由子弹射入杆到两者一起开始摆动。此过程可视为完全非弹性碰撞过程。取子弹和杆为系统，满足动量矩守恒,有 ①
由式①可求得子弹与杆开始一起摆动时的角速度

（2)由系统开始摆动到摆至最大α角。此过程中，由子弹,杆和地球构成的系统满足机械能守恒的条件，取杆直悬时的质心位置C为重力势能零点,则
②
由②式可求得最大摆角为

题5.20图 题5.21图 题5。22图
5。21 质量为m’，半径为R 的圆盘,可绕一垂直通过盘心的光滑水平轴转动, 盘上绕有轻绳， 一端悬挂质量为m 的物体(如图)。试问: ( 1)物体由静止下落高度h 时，其速度v 的大小是多少? （2 ）若物体自由下落h 高,其速度v’为多少？ 说明两种速度有差异的原因。
［分析与解答]
（1）物体受重力和绳子张力，有 ①
滑轮变张力矩，有 ②
③
联立① ② ③解得
（2）由自由落体规律
5。22 长为l、质量为m′的杆可绕支点O 自由转动， 一质量为m、速率为v 0的子弹射入杆内距支点为a 处, 使杆的偏转角为θ= 30°(如图）。试求： ( 1 ） 子弹的速率v0 ; ( 2 ） 欲子弹以此v0 穿过此杆, 此时杆的偏转角θ′= ？（3 ) 在求解过程中， 怎样分析动量矩和机械能守恒的条件及如何考虑杆的重力势能？
[分析与解答]
（1） 取子弹和杆为系统,子弹射入前后，满足动量矩守恒条件，有：
①
在子弹射入杆中两者摆至θ=30°的过程中，取子弹，杆和地球为系统,并取O点为重力势能零点,系统满足机械能守恒条件，有
②
由式②求出ω，代入式①，得

（2)（略）
应用研究
5.23 你在完成题3.18 时， 想已设计过测定摩擦因数的方案, 但当时你并没有考虑滑轮转动的影响.学完这一章后，请对原方案作一些补充修改, 设计一个完整的测量方案。
5.24 宇航员在航天器内处于失重状态, 试想像一下， 在此状态下, 宇航员的每一个动作会产生怎样的影响? 例如， 假定宇航员面向上平躺在空中， 他想站回到航天器的地板上, 或者想让身体水平旋转90°, 该怎么操作？
[分析与解答](略)