五-直线、平面垂直判定及其性质.doc

第五节　直线、平面垂直的判定及其性质
【最新考纲】　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
(4)直线和平面垂直的性质：
①垂直于同一个平面的两条直线平行．
②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任意直线．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
2．直线和平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°．
3．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
4．平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　)
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．下列命题中不正确的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.
解析：根据面面垂直的性质定理，A项中l⊂β，l∥β或l⊥β.
答案：A
3．(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.(　　)
A．若l⊥β，则α⊥β　　　　　　B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
答案：A
4．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

解析：∵PA⊥平面ABC
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC
则△PAB，△PAC为Rt△
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A
∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC
因此△ABC，△PBC也是Rt△.
答案：4
5．如果正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4，则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________．
解析：如图，O为底面正方形的中心，据题意易得，该正四棱锥的一个侧面三角形PBC的高PE的长为，因此正四棱锥的高PO＝＝1.

∵∠PEO的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小，∴侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45°.
答案：45°

一种关系
垂直问题的转化关系．

三类证法
1．证明线线垂直的方法．
(1)定义：两条直线所成的角为90°；
(2)平面几何中证明线线垂直的方法；
(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；
(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
2．证明线面垂直的方法．
(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；
(2)判定定理1：⇒l⊥α；
(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；
(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
3．证明面面垂直的方法．
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

A级　基础巩固
一、选择题
1．(2016·佛山一中期中)设α、β、γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为(　　)
A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l　　　　B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
解析：A中，缺少条件m⊂α，不满足面面垂直的性质定理，不正确．在选项B，C中，平面α与β可能平行或相交，推不出m⊥β.在D中，n⊥α，n⊥β，则α∥β，根据m⊥α，得m⊥β，D正确．
答案：D
2．(经典再现)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，因此选项D正确．

答案：D
3．如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)

A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故选项A正确．
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，
∴BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确．
答案：D
4．(2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．(　　)
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．
答案：C
5．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．MN∥AB
B．MN与BC所成的角为45°
C．OC⊥平面VAC
D．平面VAC⊥平面VBC
解析：由圆的性质，BC⊥AC.
又VA⊥平面ABC，则VA⊥BC.
从而BC⊥平面VAC，平面VAC⊥平面VBC.
因此C不正确，D正确．
由于MN∥AC，BC⊥AC，所以A，B不正确．
答案：D
二、填空题
6．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析：由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.
又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
7．(2016·石家庄调研)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．

解析：取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.

所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．
设三棱柱的所有棱长为a，
在Rt△AED中，
AE＝a，DE＝.
所以tan∠ADE＝＝，则∠ADE＝.
故AD与平面BB1C1C所成的角为.
答案：
8．如图所示，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________(填序号)．

①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABC⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
解析：由AB＝CB，AD＝CD，E为AC中点，
则AC⊥DE，AC⊥BE，
又DE∩BE＝E，从而AC⊥平面BDE.
所以平面ABC⊥平面BDE，平面ACD⊥平面BDE，③正确．
答案：③
三、解答题
9．(2016·西安质检)如图所示，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
10．(2014·湖南卷)如图所示，已知二面角αMNβ的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.

(1)证明：AB⊥平面ODE；
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.连结BD，由题设知，△ABD是正三角形．又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.

(2)解：因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角(或其补角)．
由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.
又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角αMNβ的平面角，从而∠DEO＝60°.
不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝.
在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝.
连结AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝＝.
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.
B级　能力提升
1．如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC中恒成立的为(　　)

A．①③　　　B．③④　　　C．①②　　　D．②③④
解析：∵E，M，N是BC，CD，SC的中点，
∴EN∥SB，EM∥BD，
从而可得EN∥平面SBD，EM∥平面SBD.
又EN与EM是平面EMN内的两条相交直线，
∴平面EMN∥平面SBD，故EP∥平面SBD，
因此③正确，当点P与M不重合时，②不正确．
在正四棱锥SABCD中，AC⊥平面SBD.
从而AC⊥平面EMN，
由EP⊂平面EMN，得AC⊥EP，①正确．
又易知EM⊥平面SAC，因此④不恒成立．
答案：A
2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

解析：∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.
为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．
设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，
∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.
答案：a或2a
3．(2015·天津卷)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.

又因为EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.
又因BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1.
由于AE⊂平面AEA1，
所以平面AEA1⊥平面BCB1.
(3)解：取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，
所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.
又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，
从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB.
又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，
因此∠A1B1N＝30°.
所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.