第一章--矩阵的运算与初等变换.ppt

线性代数线性代数 第一章第一章第一章第一章 矩阵的运算与初等变换矩阵的运算与初等变换 本章教学内容本章教学内容1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念2 矩阵的运算矩阵的运算3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第一章第一章 矩阵的运算与初等变换矩阵的运算与初等变换矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数学许多分支研究及应学研究的主要对象，也是数学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。在很多领域中的一些数量关系都可以用矩阵来描在很多领域中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。述。本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的理论基础。理论基础。1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念 本节教学内容本节教学内容1.1.矩阵的概念矩阵的概念2.2.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念3.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵4.矩阵的应用矩阵的应用5.向量的概念向量的概念1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念1.1.矩阵的概念矩阵的概念 考察线性方程组考察线性方程组隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数，得隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数，得 一般地，我们有如下的定义一般地，我们有如下的定义称为称为矩阵矩阵1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念定义定义1.1由由mn个数排成个数排成m个行个行n个列的数表个列的数表叫做叫做m行行n列的矩阵列的矩阵，或称，或称mn矩阵矩阵.通常用大写通常用大写字母字母A或或Amn表示法表示法.有时也记为有时也记为 是第是第i行第行第j列元素，列元素，简称简称(i,j)元元1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵例如例如是一个是一个2424实矩阵实矩阵，是一个是一个3333复矩阵复矩阵，1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念2.2.同型矩阵与矩阵相等的定义同型矩阵与矩阵相等的定义两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同型同型矩阵矩阵.例如例如两个矩阵两个矩阵A=(aij)与与B=(bij)为同型矩阵为同型矩阵,并且对并且对应元素相等应元素相等,即即则称则称矩阵矩阵A A与与B B相等相等,记作记作A=BA=B.为同型矩阵为同型矩阵.1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念3.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵只与只与0有关的：有关的：元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，mn零矩阵记零矩阵记作作O或或Omn注意注意不同型的零矩阵是不相等的不同型的零矩阵是不相等的.例如例如1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念只与行列相关的只与行列相关的:1n矩阵矩阵也称也称行矩阵，行矩阵，或称或称n维行向量维行向量，ai也称为第也称为第i个个分量分量.注意注意分量间用逗号分开。分量间用逗号分开。m1矩阵矩阵也称也称列矩阵，列矩阵，或称或称m维列向量维列向量，ai也称为第也称为第i个个分量分量.1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念 nn矩阵矩阵也称也称n阶方阵阶方阵(或或n级方阵级方阵)，Ann表可简记为表可简记为An；其中其中aii称为称为主对角线元素主对角线元素；而而aij(i+j=n+1)称为称为副对角线元素副对角线元素.主对角线主对角线副对角线副对角线1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念例例 主对角线元素均为主对角线元素均为1，其它元素均为，其它元素均为0的的 n阶方阵阶方阵称称n阶单位矩阵，阶单位矩阵，记为记为En或或E.1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念4.矩阵的应用矩阵的应用例例1 某公司对四名应聘人员进行三项素质考评某公司对四名应聘人员进行三项素质考评的百分制成绩可用矩阵的百分制成绩可用矩阵表示，其中表示，其中aij为第为第i名应聘者的第名应聘者的第j种素质考评的种素质考评的成绩。成绩。1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念例例2 公司中甲、乙两类岗位对三项素质要求的公司中甲、乙两类岗位对三项素质要求的权重系数也可用矩阵权重系数也可用矩阵表示，其中表示，其中bij为第为第j类岗位对第类岗位对第i种素质要求的权重种素质要求的权重系数。系数。注注：这里：这里1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念例例3 第第i村到第村到第j村有村有aij条道路相通，四个村的通条道路相通，四个村的通路信息可用矩阵路信息可用矩阵表示。表示。注注：这里：这里aii=0，即同一个村不考虑，即同一个村不考虑相通的道路。相通的道路。1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念5.向量的概念向量的概念定义定义1.2 1n矩阵矩阵称称n维行向量维行向量，n1矩阵矩阵称称n维列向量维列向量，n维行向量与维行向量与n维列向量统称维列向量统称n维向量维向量，简称简称向量。向量。向量常用黑体字母向量常用黑体字母,或或x,y,z,表示（或加箭头表示（或加箭头 ）。）。两向量两向量相等相等当且仅当维数相同且对应的分量相等当且仅当维数相同且对应的分量相等.分量全为零的向量称分量全为零的向量称零向量零向量，记为，记为0.11 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念n个个n维列向量维列向量称为称为n维基本列向量维基本列向量。n个个n维行向量维行向量称为称为n维基本行向量维基本行向量。1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念本节学习要求本节学习要求 熟悉矩阵、熟悉矩阵、同型矩阵、矩阵相等、列矩阵、同型矩阵、矩阵相等、列矩阵、行矩阵、方阵、单位方阵与向量行矩阵、方阵、单位方阵与向量的概念，懂得的概念，懂得矩矩阵的应用。阵的应用。作业作业：习题：习题1.1(A)第第2题题2 矩阵的运算矩阵的运算 本节教学内容本节教学内容1.1.矩阵加、减法矩阵加、减法2.2.数乘矩阵数乘矩阵3.矩阵乘法矩阵乘法4.方阵的幂方阵的幂5.矩阵的矩阵的转置转置2 矩阵的运算矩阵的运算1.矩阵加、减法矩阵加、减法定义定义2.1 两个两个mn矩阵矩阵A=(aij),B=(bij)的的和和记为记为A+B，规定，规定注注：只有同型矩阵才能相加：只有同型矩阵才能相加.2 矩阵的运算矩阵的运算定义定义 mn矩阵矩阵-A=(-aij)称为矩阵称为矩阵A=(aij)的的负矩阵负矩阵.两个两个mn矩阵矩阵A=(aij),B=(bij)的的差差记为记为A-B，规定，规定A-B=A+(-B)，即，即注注：只有同型矩阵才能相减：只有同型矩阵才能相减.2 矩阵的运算矩阵的运算运算规律运算规律 设矩阵设矩阵A,B,C均为均为mn矩阵，矩阵，O为为 mn零矩阵零矩阵,则则 A+(-A)=O；A+O=A；A+B=B+A；(A+B)+C=A+(B+C).2 矩阵的运算矩阵的运算例例1 设矩阵设矩阵且且A+B=C，求，求x,y.解解 由由A+B=C，得，得2 矩阵的运算矩阵的运算2.数乘矩阵数乘矩阵定义定义2.2 数数 与与mn矩阵矩阵A=(aij)的的乘积乘积记为记为 A或或A，规定规定2 矩阵的运算矩阵的运算运算规律运算规律 设矩阵设矩阵A,B均为均为个个mn矩阵，矩阵，,为为 数，数，则则 (A)=()A；(+)A=A+A；(A+B)=A+B；(-1)A=-A.通常把通常把矩阵的加法运算和数乘运算统称矩阵的矩阵的加法运算和数乘运算统称矩阵的线线性运算性运算。2 矩阵的运算矩阵的运算例例2 设矩阵设矩阵求求3A-2B.解解 2 矩阵的运算矩阵的运算3.矩阵乘法矩阵乘法定义定义2.3 矩阵矩阵A=(aij)ms,B=(bij)sn的的乘积乘积记为记为AB，规定规定AB=(cij)mn，其中其中 i=1,2,m，j=1,2,n.注注：只有：只有A的列数与的列数与B的行数相同的行数相同,AB才有定义才有定义.例例3 设矩阵设矩阵求求AB.解解 322 矩阵的运算矩阵的运算33322 矩阵的运算矩阵的运算例例4 设矩阵设矩阵求求AB及及BA.解解注注：一般的一般的 AO且且BO ABO；AB=O A=O或或B=O；ABBA.2222222 矩阵的运算矩阵的运算性质性质 设设A=(aij)mn，fi为第为第i个分量为个分量为1的的m维维基本行向量，则基本行向量，则2 矩阵的运算矩阵的运算(2)设设A=(aij)mn，ej为第为第j个分量为个分量为1的的n维维基本列向量，则基本列向量，则2 矩阵的运算矩阵的运算可见当可见当 A=(aij)mn，则，则EmA=AEn=A.2 矩阵的运算矩阵的运算运算规律运算规律(1)设设A=(aij)ms，B=(bij)sk，C=(Cij)kn，则则A(BC)=(AB)C；(2)设设A=(aij)ms，B=(bij)sn，数数,则则(AB)=(A)B=A(B)；(3)设设A=(aij)ms，B=(bij)sn，C=(Cij)sn，则则A(B+C)=AB+AC;(4)设设A=(aij)sn，B=(bij)ms，C=(Cij)ms，则则(B+C)A=BA+CA;2 矩阵的运算矩阵的运算4.方阵的幂方阵的幂定义定义 若若AB=BA，则称，则称A,B是是可换可换的的.注注：若：若A,B是可换的，则是可换的，则A,B是同阶方阵，反之是同阶方阵，反之不一定成立。不一定成立。定义定义 方阵方阵A的幂：的幂：Ak=AAA,A0=E，运算规律运算规律：设：设A为方阵，为方阵，k,l为自然数，则为自然数，则 AkAl=Ak+l，(Ak)l=Akl；一般地，一般地，(AB)k AkBk，但，但若若A,B是可换的，是可换的，则则(AB)k=AkBk.k个个2 矩阵的运算矩阵的运算例例5 设设A=，求，求An.分析分析 2 矩阵的运算矩阵的运算解解 An=()()()=()()()=(3)n-1 n个个n-1个个2 矩阵的运算矩阵的运算注意注意 一阶方阵与向量的乘法一阶方阵与向量的乘法 2 矩阵的运算矩阵的运算定义定义 设设A为方阵为方阵规定规定称为称为A的的矩阵多项式矩阵多项式。2 矩阵的运算矩阵的运算例例6 6 设设求求f(A).).解解 2 矩阵的运算矩阵的运算 .2 矩阵的运算矩阵的运算5.矩阵的转置矩阵的转置定义定义2.4 矩阵矩阵A的的转置矩阵转置矩阵记为记为AT，规定规定2 矩阵的运算矩阵的运算运算规律运算规律(AT)T=A；(A+B)T=AT+BT；(A)T=AT；(AB)T=BTAT，(注意注意ATBT)2 矩阵的运算矩阵的运算例例7 设设求求(AB)T.解解 2 矩阵的运算矩阵的运算例例7 设设求求(AB)T.又解又解 2 矩阵的运算矩阵的运算本节学习要求本节学习要求 熟练掌握熟练掌握矩阵的加法、减法矩阵的加法、减法、数乘数乘、矩阵乘矩阵乘法和法和矩阵的矩阵的转置运算；熟悉各种运算的性质；会转置运算；熟悉各种运算的性质；会求方阵的幂。求方阵的幂。作业作业：习题：习题1.2(A)第第1(2)(5),2,3题题3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算 本节教学内容本节教学内容1.1.分块矩阵的概念分块矩阵的概念2.2.矩阵的分块加法运算矩阵的分块加法运算3.矩阵的分块数乘运算矩阵的分块数乘运算4.矩阵的分块乘法运算矩阵的分块乘法运算5.分块矩阵的转置分块矩阵的转置3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算1.分块矩阵的概念分块矩阵的概念把一个阶数较高的矩阵，用若干条横线和竖线分把一个阶数较高的矩阵，用若干条横线和竖线分开成若干小块，每一小块都叫做矩阵的开成若干小块，每一小块都叫做矩阵的子块子块，以，以子块为元素的矩阵称为子块为元素的矩阵称为分块矩阵分块矩阵。例例子块子块3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算一个矩阵一个矩阵,根据需要有不同的分块法根据需要有不同的分块法例例注注：一行的分块矩阵，各子块间用逗号分开：一行的分块矩阵，各子块间用逗号分开。3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算2.矩阵的分块加法运算矩阵的分块加法运算例例记记3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算若两个若两个矩阵矩阵A，B同型且有相同的分块法，同型且有相同的分块法，3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算3.3.矩阵的分块数乘运算矩阵的分块数乘运算例例可见可见3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算数数 与分块与分块矩阵的乘积矩阵的乘积3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算4.矩阵的分块乘法运算矩阵的分块乘法运算设设矩阵矩阵A=(Aij)ms,B=(Bij)sn，Aik的列数等于的列数等于Bkj的行数的行数(k=1,2,s)，则，则AB=(Cij)mn，其中其中 i=1,2,m，j=1,2,n.例例1 设设求求AB.3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算解解 设设则则3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算而而于是于是3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算如果直接计算，有如果直接计算，有两种计算结果一样。两种计算结果一样。3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算5.分块矩阵的转置分块矩阵的转置可见可见3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵的各种运算的结果与不分块的矩阵的分块矩阵的各种运算的结果与不分块的矩阵的各种运算的结果一致，两种运算有相同的运算性各种运算的结果一致，两种运算有相同的运算性质。质。3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算本节学习要求本节学习要求 理解理解分块矩阵的概念，分块矩阵的概念，了解了解分块矩阵的加法分块矩阵的加法、数乘分块矩阵、分块矩阵乘法数乘分块矩阵、分块矩阵乘法和和分块矩阵的转置分块矩阵的转置运算。运算。作业作业：习题：习题1.3(A)第第2题题4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵 本节教学内容本节教学内容1.1.对角矩阵对角矩阵2.2.标量矩阵标量矩阵3.上三角形矩阵上三角形矩阵4.下三角形矩阵下三角形矩阵5.对称矩阵对称矩阵6.反称矩阵反称矩阵7.分块对角矩阵分块对角矩阵4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵1.对角矩阵对角矩阵主对角线元素外，其它元素均为主对角线元素外，其它元素均为0的方阵的方阵称称对角矩阵对角矩阵，简记为，简记为A=diag(1,2,n).下面来讨论对角矩阵的性质下面来讨论对角矩阵的性质 OO4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设设则则性质性质任两个对角矩阵的和也是对角矩阵任两个对角矩阵的和也是对角矩阵.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设设则则性质性质数乘对角矩阵也是对角矩阵数乘对角矩阵也是对角矩阵.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设设则则性质性质任两个对角矩阵的积也是对角矩阵任两个对角矩阵的积也是对角矩阵.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设设则则性质性质对角矩阵幂也是对角矩阵对角矩阵幂也是对角矩阵.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设设则则性质性质对角矩阵的转置矩阵是自身对角矩阵的转置矩阵是自身,即对角矩阵即对角矩阵.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵定义定义 设设S是一个集合，若是一个集合，若S中的元素经某种运算，中的元素经某种运算，结果仍然是结果仍然是S的元素，则称的元素，则称S对这种对这种运算封闭运算封闭。由上述对角矩阵的性质知由上述对角矩阵的性质知对角矩阵对矩阵的对角矩阵对矩阵的加法与数乘加法与数乘运算封闭，即运算封闭，即对角矩阵对矩阵的对角矩阵对矩阵的线性运算线性运算封闭。封闭。对角矩阵对矩阵的减法运算封闭。对角矩阵对矩阵的减法运算封闭。对角矩阵对矩阵的乘法运算封闭。对角矩阵对矩阵的乘法运算封闭。对角矩阵对矩阵的幂运算封闭。对角矩阵对矩阵的幂运算封闭。注注：，.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵2.标量矩阵（数量矩阵）标量矩阵（数量矩阵）主对角线元素为数主对角线元素为数a的对角矩阵的对角矩阵称称标量矩阵标量矩阵，简记为，简记为A=aE.性质性质 标量矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封标量矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭；标量矩阵的转置矩阵是自身。闭；标量矩阵的转置矩阵是自身。4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵3.上三角形矩阵上三角形矩阵主对角线下方元素均为主对角线下方元素均为0的方阵的方阵称称上三角形矩阵上三角形矩阵。性质性质 上三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运上三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭。算封闭。O4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵4.下三角形矩阵下三角形矩阵主对角线上方元素均为主对角线上方元素均为0的方阵的方阵称称下三角形矩阵下三角形矩阵。性质性质 下三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运下三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭算封闭；下三角形矩阵的转置矩阵是上三角形矩下三角形矩阵的转置矩阵是上三角形矩阵，上三角形矩阵的转置矩阵是下三角形矩阵。阵，上三角形矩阵的转置矩阵是下三角形矩阵。O4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵例例1 设矩阵设矩阵则则4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵例例1 设矩阵设矩阵则则4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵例例 设设A,B 均为均为n阶下三角形矩阵，证明阶下三角形矩阵，证明AB 亦为亦为下三角形矩阵。下三角形矩阵。证证 设设A=(aij)nn,B=(bij)nn均为下三角形矩阵均为下三角形矩阵,则当则当1ij n时，时，aij=0，bij=0 .设设AB=(cij)nn，则则当当1ijn时时，cij=ai1b1j+ai2b2j+aiibij+aii+1bi+1j+ainbnj =ai1 0+ai2 0+aii 0+0 bi+1j+0 bnj=0.所以所以AB为下三角形矩阵为下三角形矩阵.#4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵5.对称矩阵对称矩阵方阵方阵定义定义 设设A=(aij)nn，若，若aij=aji (i,j=1,2,n)，则，则称称A为为对称矩阵对称矩阵。特征特征 A是对称矩阵是对称矩阵 AT=A.元素关于主对角线对称元素关于主对角线对称 叫做叫做对称矩阵对称矩阵4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵性质性质 对称矩阵对矩阵的线性运算封闭对称矩阵对矩阵的线性运算封闭.证证 设设A,B是对称矩阵，是对称矩阵，是数，则是数，则 (A+B)T=AT+BT=A+B;(A)T=AT=A，结论成立。，结论成立。4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵例例 设设A,B是对称矩阵，则是对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要是对称矩阵的充要条件是条件是A,B可换，可换，证证 必要性必要性)设设AB是对称矩阵是对称矩阵，则，则(AB)T=AB,又又(AB)T=BTAT=BA,AB=BA,即即A,B可换可换.充分性充分性)设设A,B可换可换,即即AB=BA，则，则 (AB)T=BTAT=BA=AB,AB是对称矩阵是对称矩阵.#可见可见对称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭对称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵6.反称矩阵反称矩阵方阵方阵定义定义 设设A=(aij)nn，若，若aij=-aji (i,j=1,2,n)，则，则称称A为为反称矩阵反称矩阵。特征特征 A是反称矩阵是反称矩阵 AT=-A.元素关于主对角线对称互反元素关于主对角线对称互反 叫做叫做反称矩阵反称矩阵4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵性质性质 反称矩阵对矩阵的线性运算封闭反称矩阵对矩阵的线性运算封闭.证证 设设A,B是反称矩阵，是反称矩阵，是数，则是数，则 (A+B)T=AT+BT=-A-B=-(A+B);(A)T=AT=(-A)=-(A)，结论成立。，结论成立。例例 设设A,B是反称矩阵，则是反称矩阵，则AB是对称矩阵的充要是对称矩阵的充要条件是条件是A,B可换，可换，证证 (AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA.AB是对称矩阵是对称矩阵 (AB)T=AB AB=BA,即即A,B可换可换.#可见可见反称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭反称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵例例2 证明任一方阵证明任一方阵A均可表示为一个对称矩阵与均可表示为一个对称矩阵与一个反称矩阵之和一个反称矩阵之和.证证 4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵例例3 设设A是是n阶反称矩阵，阶反称矩阵，B是是n阶对称矩阵，阶对称矩阵，证明证明AB+BA是一个是一个n阶反称矩阵阶反称矩阵.证证 因此因此AB+BA是一个是一个n阶反称矩阵阶反称矩阵.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵7.分块对角矩阵分块对角矩阵设设n阶方阵阶方阵A是一个分块矩阵，其主对角线上的是一个分块矩阵，其主对角线上的子块全是方阵，其余子块均为零矩阵，则称子块全是方阵，其余子块均为零矩阵，则称A为为分块对角矩阵分块对角矩阵。性质性质分块对角矩阵对分块矩阵的线性运算，乘分块对角矩阵对分块矩阵的线性运算，乘法运算封闭法运算封闭.4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设两个分块对角矩阵设两个分块对角矩阵4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设分块对角矩阵设分块对角矩阵4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设两个分块对角矩阵设两个分块对角矩阵4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵设分块对角矩阵设分块对角矩阵4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵例例4 设矩阵设矩阵求求A4.解解4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵故故4 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵本节学习要求本节学习要求 熟悉熟悉对角矩阵、标量矩阵、上三角形矩阵、下对角矩阵、标量矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和分块对角三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和分块对角矩阵的概念及其性质，会验证一个矩阵是对称矩矩阵的概念及其性质，会验证一个矩阵是对称矩阵阵(或反称矩阵或反称矩阵)。作业作业：习题：习题1.4(A)第第3题题5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 本节教学内容本节教学内容1.1.矩阵的初等变换矩阵的初等变换2.2.初等矩阵初等矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义5.1 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换倍法变换倍法变换:非零数非零数k乘矩阵的第乘矩阵的第i行行注注：倍法行变换记号：倍法行变换记号rik写在写在上方上方(或下方或下方)5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换消法变换消法变换:非零数非零数k乘矩阵的第乘矩阵的第i行，然后加到行，然后加到矩阵的第矩阵的第j行上行上注注：消法行变换记号：消法行变换记号kri+rj写在写在上方上方(或下方或下方)5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换换法变换换法变换:矩阵的第矩阵的第i行与矩阵的第行与矩阵的第j行互换行互换注注：换法行变换记号：换法行变换记号rirj写在写在上方上方(或下方或下方)5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等列变换初等列变换倍法变换倍法变换:非零数非零数k乘矩阵的第乘矩阵的第j列列注注：倍法列变换记号：倍法列变换记号cjk写在写在上方上方(或下方或下方)倍法倍法列列变换记号变换记号cjk，倍法倍法行行变换记号变换记号rik消法变换消法变换:非零数非零数k乘矩阵的第乘矩阵的第i列，然后加到列，然后加到矩阵的第矩阵的第j列上列上注注：消法列变换记号：消法列变换记号kci+cj写在写在上方上方(或下方或下方)消法消法列列变换记号变换记号kci+cj，消法消法行行变换记号变换记号kri+rj5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换换法变换换法变换:矩阵的第矩阵的第i列与矩阵的第列与矩阵的第j列互换列互换注注：换法列变换记号：换法列变换记号cicj写在写在上方上方(或下方或下方)换法换法列列变换记号变换记号cicj，换法换法行行变换记号变换记号rirj5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初初等变换等变换.性质性质 初等变换可逆，且变换与其逆变换同类型初等变换可逆，且变换与其逆变换同类型.注注：上述将：上述将“r”换成换成“c”即是列变换的情形。即是列变换的情形。5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义 若若矩阵矩阵A经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵则称矩阵A与与B 等价等价，记作，记作A B.性质性质 反身性反身性 A A；对称性对称性 若若A B，则，则B A；传递性传递性 若若A B，B C，则，则A C.定理定理5.1 设设A为为mn矩阵，则矩阵，则标准形矩阵标准形矩阵.5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换例例1解解 5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换左边的矩阵称为左边的矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，它的特点是，它的特点是零行零行(存在的话存在的话)在非零行下方；在非零行下方；每行每行首非零元首非零元(即左起第一个非零元素即左起第一个非零元素)的下方的下方元素全为零。元素全为零。定理定理5.2 矩阵经初等矩阵经初等行行变换可化为变换可化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵零行零行非零行非零行标准形矩阵标准形矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换左边的矩阵称为左边的矩阵称为行最简形矩阵行最简形矩阵，它的特点，它的特点零行零行(存在的话存在的话)在非零行下方；在非零行下方；每行每行首非零元为首非零元为1，其的，其的上上、下方元素全为零、下方元素全为零.定理定理5.2 矩阵经初等矩阵经初等行行变换可化为变换可化为行行最简最简形矩阵形矩阵.行行最简最简形矩阵形矩阵零行零行非零行非零行5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换下列变换结果是否一样下列变换结果是否一样前者前者后者后者可见可见变换顺序不同，结果不同变换顺序不同，结果不同。5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换2.初等矩阵初等矩阵定义定义5.2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的施以一次初等变换得到的矩阵称为矩阵称为初等矩阵初等矩阵，即，即称称倍法矩阵倍法矩阵.5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 称称消法矩阵消法矩阵.5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 称称换法矩阵换法矩阵.5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换初等变换与初等矩阵有如下关系：初等变换与初等矩阵有如下关系：行变换行变换列变换列变换定理定理5.3左乘左乘初等矩阵初等矩阵作初等作初等行行变换变换 右乘右乘初等矩阵初等矩阵作初等作初等列列变换变换注注：初等矩阵初等矩阵 与与 初等变换同类型初等变换同类型5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换初等矩阵的初等矩阵的性质性质：5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换本节学习要求本节学习要求 掌握掌握矩阵的初等变换方法，熟悉标准形矩阵、行矩阵的初等变换方法，熟悉标准形矩阵、行阶梯形矩阵概念，会将一个矩阵化为标准形；理阶梯形矩阵概念，会将一个矩阵化为标准形；理解初等解初等矩阵概念，知道其性质；理解三个定理。矩阵概念，知道其性质；理解三个定理。作业作业：习题：习题1.5(A)第第1(2)(3)题题