换元法求不定积分.ppt

寄寄 语语也不属于有钱人也不属于有钱人,而是属于有心人而是属于有心人.这个世界这个世界,不属于有权人不属于有权人,1 1.第一节、不定积分概念与基本积分公式第一节、不定积分概念与基本积分公式 第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分本章内容：本章内容：第二节、第二节、换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法第八章 不定积分2 2.二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法与分部积分法 第8章 三、分部积分法三、分部积分法3 3.第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 设可导,则有4 4.一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法)5 5.例例例例1.1.求求解解:令则故原式原式=注注:当时6 6.例例例例2.2.求求解解:令则想到公式7 7.例例例例3.3.求求想到解解:(直接配元)8 8.例例例例4.4.求求解解:类似9 9.例例例例5.5.求求解解:原式原式=1010.常用的几种配元形式常用的几种配元形式常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万万能能凑凑幂幂法法1111.例例例例6.6.求求解解:原式=1212.例例例例7.7.求求解解:原式=例例8.求解解:原式=1313.例例例例9.9.求求解法解法1解法解法2 两法结果一样1414.例例例例10.10.求求解法解法1 1515.解法解法解法解法 2 2 同样可证或1616.例例例例11.11.求求解解:原式=1717.例例例例12.12.求求解解:1818.例例例例13.13.求求解解:原式=1919.例例例例14.14.求求解解:原式=分析分析:2020.例例例例15.15.求求解解:原式原式2121.小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如2222.思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2323.2.2.求求提示提示:法法1法法2法法32424.二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，2525.定理定理定理定理2.2.设设是可导函数,且具有原函数,证证:令则则有换元公式2626.例例例例16.16.求求解解:令则 原式2727.例例例例17.17.求求解解:令则 原式2828.例例例例18.18.求求解解:令则 原式2929.令于是3030.原式例例例例19.19.求求解解:令则原式当 x 0 时,类似可得同样结果.3131.小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令令3232.2.2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 (7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令3333.3434.解解:原式例例例例20.20.求求例例21.求解解:3535.例例例例22.22.求求解解:原式=例例23.求解解:原式3636.例例例例24.24.求求解解:令得原式3737.例例例例25.25.求求解解:原式令例例163838.思考与练习思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令3939.2.2.已知已知求解解:两边求导,得则(代回原变量代回原变量)4040.3.求下列积分求下列积分:4141.4.4.求不定积分解：解：利用凑微分法,原式=令得4242.分子分母同除以5.求不定积分解解:令原式4343.由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.三、三、分部积分法分部积分法4444.例例例例1.1.求求解解:令则 原式思考思考:如何求提示提示:令则原式4545.例例例例2.2.求求解解:令则原式=4646.例例例例3.3.求求解解:令则 原式4747.例例例例4.4.求求解解:令,则 原式再令,则故 原式=说明说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.4848.解题技巧解题技巧解题技巧解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为例例5.求解解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数4949.例例例例6.6.求求解解:令,则原式=5050.例例例例7.7.求求解解:令则 原式=5151.例例例例8.8.求求解解:令则得递推公式5252.说明说明说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,5353.例例例例9.9.证明递推公式证明递推公式证证:注注:或5454.说明说明说明说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)例例43)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.5555.例例例例10.10.已知已知的一个原函数是求解解:说明说明:此题若先求出再求积分反而复杂.5656.例例例例11.11.求求解解:令则原式令5757.例例例例12.12.求求解法解法1 先换元后分部令即则故5858.解法解法解法解法2 2 用分部积分法用分部积分法5959.小结小结 分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前 u 后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:6060.例例例例13.13.求求解解:令则可用表格法求多次分部积分6161.例例例例14.14.求求解解:令则原式原式原式原式=6262.思考与练习思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.6363.2.2.求求提示提示:6464.3.求不定积分解解：方法1(先分部,再换元)令则6565.方法方法2(先换元,再分部)令则故6666.作业作业 P189 6767.