集合与简易逻辑专题训练.doc

集合与简易逻辑
专题训练
(限时60分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)
1．(精选考题·北京宣武质检)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)的元素个数为(　　)
A．1个　 　　B．2个 C．3个 D．4个
2．(精选考题·广东高考)“x＞0”是“＞0”成立的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题与逆否命题中结论成立的是(　　)
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
4．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(　　)
A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n
5．若集合A＝{x|x2－x<0}，B＝{x|(x－a)(x＋1)<0}，则“a>1”是“A∩B≠∅”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．给出以下四个命题：①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；②若2≤x＜3，则(x－2)(x－3)≤0；③已知x，y∈R，若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；④若x，y∈N，x＋y为奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．其中正确的是(　　)
A．①的否命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆命题为假 D．④的逆命题为假
二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)
7．(精选考题·江苏高考)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
8．(精选考题·苏州六校联考)已知全集U＝R，集合M＝{x|lgx<0}，N＝{x|()x≥}，则
(∁UM)∩N＝________.

9．下列命题中为真命题的是________．
①“A∩B＝A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
三、解答题(本大题共3个小题，共46分)
10．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x3－x2－10x，且集合A＝{x|f′(x)≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若A∪B＝A，求p的取值范围．

11．(本小题满分15分)已知命题p：2x2－9x＋a<0，命题q：且非p是非q的充分条件，求实数a的取值范围．

12．(本小题满分16分)设命题p：函数f(x)＝(a－)x是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域为[－1,3]，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

1．(精选考题·北京高考)集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝(　　)
A．{1,2}　　　　　　　　B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{0,1,2,3}
2．给定集合A、B，定义A※B＝{x|x＝m－n，m∈A，n∈B}．若A＝{4,5,6}，B＝{1,2,3}，则集合A※B中的所有元素之和为(　　)
A．15 B．14 C．27 D．－14
3．(精选考题·皖南八校联考(二))下列有关命题的说法正确的是(　　)
A．f(x)＝ax－2(a＞0且a≠1)的图象恒过点(0，－2)
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是“若一个数是正数，则
它的平方不是正数”
D．“a＞1”是“f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件
4．A＝{x|(x－1)2<3x－7}，则A∩Z的元素的个数为________．
5．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的值．

6．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

参考答案:
1. 解析：A∩B＝{3,4}，U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，∁U(A∩B)＝{1,2,5}，∁U(A∩B)的元素个数有3个．
答案：C
2. 解析：当x＞0时，＞0成立，但当＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0.
答案：A
3. 解析：对于原命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c＜0}
≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题．但其逆命题“若{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c＜0的解集非空时，可以有a＞0，即抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口可以向上，因此否命题也是假命题．
答案：D
4. 解析：如图，U＝A∪B中有m个元素，
∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，
∴A∩B中有m－n个元素．

答案：D
5. 解析：A＝{x|0<x<1}．若a>1，则B＝{x|－1<x<a}，则A∩B＝(0,1)，故“a>1”能推出“A∩B≠∅”；若A∩B≠∅，可得a>0.因此“a>1”是“A∩B≠∅”的充分不必要条件．
答案：A
6. 解析：因为②的逆命题为假，故②的否命题为假，③④的逆命题可判断为真．
答案：A
7. 解析：由题意知a2＋4>3，故a＋2＝3，即a＝1，
经验证，a＝1符合题意，
∴a＝1.
答案：1
8. 解析：∵M＝{x|lgx<0}＝{x|0<x<1}，
N＝{x|()x≥＝}＝{x|x≤}，
(∁UM)＝{x|x≥1或x≤0}，(∁UM)∩N＝{x|x≤0}．
答案：(－∞，0]
9. 解析：①A∩B＝A⇒A⊆B但不能得出AB，∴①不正确；
②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，
∴逆否命题也为真命题．
答案：②④
10. 解：由f(x)＝x3－x2－10x，
得f′(x)＝x2－3x－10.
由f′(x)≤0，得－2≤x≤5.
由A∪B＝A，可知B⊆A，
故(1)当B≠∅时，得
解得2≤p≤3.
(2)当B＝∅时，得p＋1>2p－1，解得p<2.
由(1)(2)可得p≤3，所以p的取值范围是p≤3.
11. 解：解q得：Q＝{x|2<x<3}，
∵非p是非q的充分条件，
∴非p⇒非q即q⇒p.
设函数f(x)＝2x2－9x＋a，则命题p为“f(x)<0”．
∴q⇒p，利用数形结合，
应有即解得
∴a≤9.
故实数a的取值范围是{a|a≤9}．
12. 解：由0<a－<1得<a<，
∵f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1,3]，
则2≤a≤4，
∵p且q为假，p或q为真，
∴p、q为一真一假，
若p真q假，得<a<2，
若p假q真，得≤a≤4，
综上可知：a的取值范围是<a<2或≤a≤4.

参考答案
1. 解析：集合P＝{0,1,2}，集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以P∩M＝{0,1,2}．
答案：B
2. 解析：A※B＝{1,2,3,4,5}，其元素之和为15.
答案：A
3. 解析：函数f(x)＝ax－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－1)，所以A错．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B错．C选项中命题的否定是：“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”．
答案：D
4. 解析：由(x－1)2<3x－7，得x2－5x＋8<0，
∵Δ<0，∴集合A为∅，
因此A∩Z＝∅.
答案：0
5. 解：A＝{x|2<x<4}，
(1)∵A∪B＝B，∴A⊆B，a>0时，B＝{x|a<x<3a}，
∴应满足⇒≤a≤2.
a<0时，B＝{x|3a<x<a}，显然AB.
a＝0时，B＝∅，显然不符合条件．
∴≤a≤2时，A⊆B，即A∪B＝B时，a∈[，2]．
(2)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，
显然a>0，a＝3时成立．
∵此时B＝{x|3<x<9}，A∩B＝{x|3<x<4}，
故所求的a值为3.
6解：由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，
显然a≠0，∴x＝－或x＝.
∵x∈[－1,1]，故||≤1或||≤1，∴|a|≥1.
“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或2，
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a＝0.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．

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