数理统计在生产制造中的应用2.doc

数理统计在生产制造中的应用
(2007—11—28，现代电器制造技术培训）

河北工业大学 孟庆龙
第一:问题的提出
一:为什么要提出现代数学方法，其中包括数理统计在电器工程中的应用问题?
1:现代制造技术日新月异，千变万化,没有现成的工艺技术和方法可以借鉴!
因此，必须在实践的基础之上,自行开发自己的工艺技术和方法.
2:现在我国电器企业都流行一种说法,国外工艺技术保密,因此我国工艺落后是理所当然的!
这样大大束缚了我们的思想。即使是传统的工艺技术,也必须在自己实践的基础之上形成具有我国电器工业特色的工艺规程和方法.不能迷信外国的.况且工艺必须企业自己制定,因为每个企业都有自己传统方法,如材料来源不同，使用设备有好有坏，经验不同等.
3：现代数学方法和计算机技术有了很大的发展（不论硬件和软件)，自行开发有了可能.。计算机软硬件功能和现代数学方法结合,可以处理许多问题。
如有限元分析、最优化、正交试验法、回归分析法等各种数理统计方法都可应用。
二:数理统计在制造工艺中的应用
电器理论和制造工艺技术有许多不确定的因素,需要经过统计分析,建立自己的经验公式、经验曲线和经验数据库等.并利用计算机技术获得解决。
其内容很多如我在《电器制造工艺学》（高等学校教材，第二版,1992年）中介绍了统计法在质量控制中的应用（利用正态分布曲线的3)、正交试验法在热处理中的应用、在断路器校验过载特性时得到一条应用了回归分析法得到一条校验特性曲线。其实在化学腐蚀和电镀中也可以应用回归分析法（在1982年机械部委托河北工学院举办新技术培训班的讲义《数理统计在电器中的应用》)
例如，如接触电阻的经验公式。
由于影响接触电阻的因素很多,因此精确计算接触电阻的数值是很困难的，通常只能用经验公式来估算，即
＝（） (1）
式中，—接触压力（㎏）;
—与接触形式有关的系数， 分别是0.5（点）、0。7（线）、1。0（面）;
—与接触材料、表面情况、接触方式有关的系数，如表11。
又如牛顿散热公式和综合散热系数：
根据热传递物理过程的不同,我们介绍了传导、对流和辐射三种散热形式。为了分析计算方便，常采用牛顿公式进行热计算：
＝ （2)
式中,—总散热功率,包括传导、对流和辐射功率;
—综合散热系数(，或)，它包含了所有散热形式，根据实验数据。
-有效散热面积；
—发热体的温升，＝－,其中、分别代表发热体和周围介质温度。
牛顿公式在形式上非常简单,便于计算。显然，它把一系列极其复杂的因素全部考虑在散热系数之中了.因此，值并不是常数，而是和一系列因素有关。要精确确定其值，只能通过实验的方法.

第二:正交试验法应用列举
最优化的方法有很多种，本书只介绍其中的一种-正交设计（试验)法.
正交设计法是一种多因素优选法,在我国它已为许多生产部门及工程设计机构所普遍应用。 我们知道单因素优选法有黄金分割法或0。618法（在我主编的《电器计算机辅助设计》中作了介绍)
单因素优选法：采用黄金分割法更为有效，它与Fibonacci法主要区别在于每次缩短的比率是相同的，且等于0.618，即每次缩短搜索区间时。应用黄金分割法时，不用事先求出计算点数n。
可以导出黄金分割法的一般迭代公式为：
(3)
黄金分割法的迭代步骤类似于Fibonacci法。
黄金分割法比Fibonacci法稍慢，但前者以固定比率缩短搜索长度，方法比较简单。实践结果证明，分数法(Fibonacci法）比0.618法收敛速度快。
(一）：正交试验法优点
正交试验法是研究处理多因素优选法的一种科学方法，它是在实际经验与理论分析的基础上，利用排列整齐的规格化表格－正交表来安排试验。由于正交表安排试验具有分散均衡和整齐可比的特点。
当工艺因素较多时,它能在观察范围内，选出代表性强的少次数的试验方案，做到均衡抽样。这样,可以用较少的试验次数达到预期的目的,即找到最优或较优的工艺方案（或设计方案）。
现在，通过一个热处理退火工艺的例题介绍一下“正交设计”的基本方法和步骤。
例如，电工纯铁退火工艺中的工艺规范为例。一般电工钢退火参数:退火温度、升温时间、保温时间、降温速度；如图1所示
t/h
T/℃
0
800℃
≯50℃/h
900±20℃
≯50℃/h
700℃
500℃

图1 磁导体电工纯铁退火工艺

退火参数可以作为四个选择的因素:升温速度、保温温度、保温时间和降温速度,对于磁性材料的退火,这四个因素很重要。我们要根据经验，设定几种退火的方案(任意），或者取两种或三种方案，三种方案也就是三个水平，即每个因素有三个水平，因素与水平的关系如下表1所示:

表1 因素与水平的关系
因 素
升温速度A
保温温度B
保温时间C
降温速度D
水平1
水平2
水平3
50℃/h
80℃/h
100℃/h
800℃
850℃
900℃
6h
2h
4h
50℃/h
70℃/h
80℃/h
退火工艺的4个因素，3个水平,,如果全面排列组合需要进行次试验，从时间上和成本都无法接受,一般工厂企业不可能作这样多的试验。若按照正交试验法搭配均衡的原则排列组合成9种方案.即可以完成，这样工厂就有可能进行实验。而且这样搭配均衡的原则排列组合成9种方案，是最优的方案。数学工作者已经给我们制定了适合各种情况的排列组合方案的表格，供大家使用。这种表格称为正交表。
这样的方法，对于处理生产中的工艺参数，是一种很好而有效的方法。
（二）：正交表
在正交试验方法中，它制定了一系列的正交表,供选择.这里介绍两种常用的正交表。
1：第一种：表2为7个因素,两个水平,8种试验方案。
表2 正交表
列号
试验
1

2

3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
正交表 有8个横行7个直列，由数字1和2组成.也就是7个因素，两个水平，可以排列组合成8个比较好的试验方案（排列组合＝128次试验）。从中再比较分析得到最优方案..正交表有两个特点：
(1）：每直列恰有四个1和四个2
（2)：任意两个直列，其横方向形成的八个数字对中，恰好（1,1），（1，2)(2，1)和
（2,2）各出现两次。这说明对于任意两个直列，数字1和2 之间的搭配是均衡的。
2：第二种：4个因素,3个水平,9种方案
再看下面的正交表: :可以应用于4个因素,3个水平,按照搭配均衡的原则排列组合成9种方案。如果全面排列组合需要次试验。

表3 正交表
列号
试验号
1
2
3
4
1
1
1
3
2
2
2
1
1
1
3
3
1
2
3
4
1
2
2
1
5
2
2
3
3
6
3
2
1
2
7
1
3
1
3
8
2
3
2
2
9
3
3
3
1
正交表有九行,4列由数字1，2和3组成，它也具有两个特点：
① 每列中,1，2和3出现的次数相同，都是三次。
② 任意两列，其横方向形成的九个数字对中，（1，1)、（1，2）、（1，3）、（2,1)、（2，2）（2，3）、（3,1）、(3，2）和（3，3)出现的次数的次数相同，都是一次，即任意两列的数字1，2和3的搭配是均衡的。
其它常用的正交表也都有搭配均衡的特性，这也是正交表所谓正交性的含义.
还有许多表供我们选择，根据自己研究问题的性质确定几个因素（参数）几个水平，而选择不同的正交试验表。确定实验的最少次数.获得最佳的技术经济效益。
因此,我们利用计算机技术,将它编成计算机通用程序，使设计人员在上机计算之后就能获得优选所必需的、经过处理的全部数据,设计人员完成对这些数据的分析之后，就可获得较优的设计方案.在电器技术中既可应用于产品优化设计和工艺最优方案选择.

第三：： 正交试验法在制造工艺中的应用
(应用正交试验法优化热处理工艺参数）

现在通过正交试验，得到一个改善材料的最佳工艺方案的实例.但可惜这个例子不是电器工艺的，选择晶体退火的试验.
考核的指标是达到规定的应力。
（一)：确定试验方案，分析试验结果
1：:首先选择四个因素：升温速度、保温温度、保温时间和降温速度。每个因素选取三个水平，因素与水平的关系如下表4所示：
表4 因素与水平的关系
因 素
升温速度A
保温温度B
保温时间C
降温速度D
水平1
水平2
水平3
30℃/h
50℃/h
100℃/h
600℃
450℃
500℃
6h
2h
4h
1。5A/h
1。7A/h
15℃/h
过去都是下降到250℃后，自然冷却.
以上是根据过去退火存在问题，以确定以上的试验方案。
2：：利用正交表，确定试验方案
因素和水平选好后，如果用全面搭配试验的方法（一般排列组合需要次试验），如果利用正交表来安排试验，是最好的选择。本例正好四个因素三个水平（位级)试验，选用表来安排试验最为合适，这意味着从81次试验中选择9次先作试验。
因素A、B、C、D分别对应表上的列号：1、2、3、4；水平分别对应表中数字:1、2、3；这样可以列出综合表5.
表5是一张列好的试验方案表，表中每一行代表每种试验的条件,共要进行9次试验。现举两个例子说明每次试验的具体条件。
第一号试验:A1B1C3D2,具体内容是:
升温速度：30 ℃/h；保温温度:600℃;保温时间：4h;降温速度：1。7A/h。
第六号试验：A3B2C1D2:具体内容是：
升温速度：100 ℃/h；保温温度：450℃；保温时间：6h;降温速度：1.5A/h。
在安排好试验后，就可以按表列条件进行9次试验，这9次试验对总体有较好的代表性。

表5 按安排试验

升温速度A
保温温度B
保温时间C
降温速度D
应力
（度）
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1（30）
2(50）
3(100）
1
2
1（600）
1
1
2（450）
2
3（4）
1（6）
2（2）
2
3
2（1.7A/h）
1（1。5A/h）
3（15 ℃/h）
1
3
6
7
15
8
0。5
6
7
8
9
3
1
2
3
2
3（500）
3
3
1
1
2
3
2
3
2
1
7
1
6
13
I
II
III
6＋8＋1＝15
13。5（A2）
35
28
15。5（B2）
20
15（C3）
29
19.5
28
19
16.5（D3）
9次试验应力和
I+II+III=65.5
级差R
35－13.5＝21。5
28－15.5＝12。5
29－15＝14
28－16。5＝11。5
R之和59。5

3：试验结果分析
每次试验结果的应力测定（优选目标）列于表5中.从测定的硬度情况分析，第五号试验A2B2C3D3应力为0.5最好；第七号试验A1B3C1D3的应力为1度次之。
第五号:升温速度：50 ℃/h；保温温度：450℃;保温时间：4h；降温速度：15℃/h 。
第七号:升温速度:30 ℃/h；保温温度：500℃；保温时间：6h；降温速度：15℃/h .
而后对试验结果做一些分析计算:
（1)：首先，对于因素列,计算出各个水平，相应的三次应力之和。如第三列保温时间：
I=水平1三次应力之和=7+7+1=15;
II=水平2， 三次应力之和=15+8+6=29;
III=水平3三次应力之和=6+0。5+13=19.5。
;同样，计算出另外三列之I,II和III.
对于每列，比较各自I，II和III的大小，因为应力越小越好，所以应力之和小的水平（位级）较好。
(2）再就计算各列的极差R。。
R=相应列的I、II、III中的最大数减去相应列的I、II、III中的最小数。
例如第3列保温时间,它的I=15，II=29,III=19.5,它们最大的数是29，最小的数是15，因此按公式计算得到：
R=29—15=14
极差的因素通常意味着该因素三个位级(水平）相应的应力差别大，是最重要的因素;极差小的因素是不重要的因素.

（二):分析试验结果，画趋势图
计算极差后对于数量性位级三位级因素,应该画出用量与试验结果之和的关系图.以便从图上直接看出试验结果随各因素值的大小变化的大体关系，如图2所示。
35

30

25

20

15

10
30 50 100 ℃/h
升温速度A
450 500 600 ℃
保温温度 B
2 4 6 h
保温时间C

图2 应力趋势图

(三）:选择尽可能好的匹配方案
1:通过分析计算,得到可能好的方案:A2B2C1D3;为81个可能好的方案.
2：在较优的水平中与大范围可能优的方案中搭配
如保温温度，三个水平（位级）的温度选取的高。最低的450℃也偏高.而应取B4＝400℃，更为合适。
保温时间的三个水平是逐步下降,说明保温时间长，应力低,因此取C4＝4小时较好。
升温速度好水平是A2=50℃。
降温速度好水平是D3＝15℃/h。
分析结果，看出的搭配（组合）方案是：升温速度:50 ℃/h；保温温度：400℃；保温时间：4h；降温速度:15℃/h 。
而后,可以按上述方案（搭配）进行试验。
(四）：选择较优方案，进一步做试验
从上述分析中看出升温速度快应力（3、6、9号试验）都高，温度低时间长,效率低，也不合适，，所有在试验中均取50℃/h。
根据上述分析第5豪和第7号方案中选取下列两种方案:
表6 两个较优方案
因 素
保温温度
保温时间
降温速度
水平1
水平2
450℃
400℃
3 h
5 h
15℃/h
25℃/h
这时其正交表用，如表7。
表7正交表搭配试验
因素序列

水平序列
保温温度
(℃）
保温时间
(h）
降温速度
（℃/h)
应力
（度）
1
2
3
1
1（450）
1（3 h）
1（15℃/h）
0
2
2（400）
1
2(℃/h）
0.2
3
4
1
2
2（5 h)
2
2
1
0.4
0
I
II
0。4
0.2
0。2
0。4
0
0。6
I+II=0.6
级差：R
0.2
0.2
0。2
从上述四个结果看基本消除了应力。

通过上面的例子，在电器制造工艺种有许多工艺方案可以应用正交试验法。
例如：触头的钎焊工艺规程:电极压力、电流值大小、焊接时间;优选目标是焊接强度。
又如：电镀工艺：镀层厚度、电流密度、通电时间等;优选目标是镀层结合强度.
而正交试验法正好可以解决这类几个工艺参数最优搭配问题。

｛参考：《电器制造工艺学》（高等学校教材）第二版,第八章§8-4，1992年，机械工业出版社｝

第四:应用回归分析法确定经验公式系数
2005—10—6
回归分析,是数据处理中常用的方法之一.变量与变量之间大致可分为两类,一类是确定性的,例如电压等于电流和电阻乘积等等,这类关系称为函数关系；另一类变量间的关系则不是确定性的,例如，接触电阻和触头压力的关系,当触头压力相同时，同一触头所测得接触电阻不一定相等.象这类至少有一个是随机应变的变量间关系称为相关关系。而回归分析就是要研究这种关系.
相关关系虽不是确定性的,但是,也是有规律性的.将两个变量相关一组数据点在直角坐标上，就称为观察值的散点图，从散点图上就可以看出变量之间关系的统计规律性.
回归分析法是处理变量之间相关关系的有力工具。它不仅提供了建立变量间关系的数学表达式-通常称为经验公式的一种方法，而且利用概率统计知识进行分析讨论，从而判断所建公式的有效性.
一:线性回归分析
关于一元线性回归，有以下几个问题：：回归直线方程的建立；线性关系的显著性检验;预测与控制；非线性问题的线性化。
。例如：在生产过程中,对某产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间X对应的一组数据:
表8 腐蚀深度与时间关系的数据
X（s）
5 ,10, 15, 20， 30， 40, 50,60，。. 70, 90, 120
Y（μ）
6 ，10, 10, 13, 16， 17, 19， 23,。 25， 29， 46

（1）：根据表中数据画出散点图。
这组数据表明，总趋势是随着腐蚀时间的增加，腐蚀的深度也在增加，这是一种相关关系，如散点图如图3所示。
Y
X
60

40

20

0
20 40 60 80 100 120

图3 腐蚀深度与时间关系散点图

（2）：根据散点图的走向,判断X与Y的相关关系是线性关系（是一条直线）
但是，它可以画出许多条直线,问题是要找出一条能反映散点散布状态的最佳直线.
所谓 “最佳”的标准是符合最小二乘原理。
一条直线的一般表达式:
（4)
假设对于(X,Y）的一组观察值(）,=1，2，3，…,n。
则,当取值（=1，2，3,…,n）时,的观察值为；如果,其中，是确定的，由此可以得到该直线的近似表达式,即
（ 5)
这样和有差值,称为离差R,即
R=-=-- (6)
以后的问题就是如何求得,，那么这条直线就是确定的.这时,可以利用最小二乘法原理求得和。这样得到了所需要的经验直线（或曲线）.
可由离差平方和得到:
（7)
根据微分学,回归系数，由下列方程组求得:
（8)
由上式得到：
（9）
式中：
（10)
最后经过计算,得到=5。36，=0。304。由此求得腐蚀深度Y对腐蚀时间X的回归直线为：
(11）

表9腐蚀时间与深度相关数据表
序号

2
2

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
25
100
225
400

14400
36
100
100
169
256
289

841
2116
30
100
150
260
480
680
950

5520
∑
510
214
36750
5422
13910

（3）:线性关系的显著性检验
从上述求解回归直线的过程中，对任何一组试验数据（),=1,2，3，…,n;不管它是否有线性相关关系，都可以用最小二乘法形式上求得X对Y的回归直线,这就是一个问题。就需要进一步验证(X，Y）是否具有线性相关关系？或者说其线性相关程度如何？因此,需要建立一个检验法,它称为线性关系的显著性检验。（此处不作进一步介绍，需要时，查阅相关资料)。

二：非线性问题的线性化
当变量存在着非线性关系时，直接求回归曲线往往比较困难。不过对于一些特殊情况，可以通过变量置换,化为线性回归问题来处理。例如：
1:幂函数:,
例如:气体流量与压力之间的关系,可由下列经验公式表示:
（12）
其中，M－是压力为P时每分钟流过某一流量的空气克分子数，C和b为常数，进行试验得到一批数据如下：
表10 有关数据
P
2.01, 1。78， 1.75, …1.40…，………0.55
M
0。763， 0.715, 0。710，…0。630…，……0.371

为了确定常数C和b，方可建立M与P的经验方程,这是一个曲线回归问题.若将式（12）两边界取对数，得
（13)
再令：=，= ,=，则和转变成具有线性关系:
（14）
这样就转换为确定常数,的一元线性回归问题了。

2:指数曲线，
如温升和电流等过渡过程,都用此表达式：
（15）
式中，－线圈温升,℃;
－线圈稳定温升， ℃;
T－线圈发热时间常数，s；
T－时间， s；
上式可以置换成线性方程：
(16)
可以用一般线性表达式表示:
(17)
式中，，,
进一步可以采用线性回归法求得回归系数,。
（参考第八章 线圈结构与工艺，第五节,363页）

3:接触电阻表达式：
（18)
以前都是从传统 国外书上抄来抄去，如表11所示。没有建立我国的经验数据。
表11 各种材料（未氧化）的
接触材料

Ag-Ag
Cu—Cu
镀锡铜—镀锡铜
黄铜-黄铜
铝-铜
铝—黄铜
60
80～140
100
670
980
1900
上表数据资料来源差别很大，要分析具体情况和条件。计算结果有很大误差。
为了根据国情建立我们自己的经验数据库，可以利用数理统计方法。当变量存在着非线性关系时，直接求回归曲线往往比较困难. 可以通过变量置换,化为线性回归问题来处理。因此,可以将式（18）两边界取对数，得

（19)
= (20)
式中,,，，
也可以进一步转换成确定常数（）,(）的一元回归问题了。
其解法如上所述.不再赘述。

第五:：正交试验（假设检验）在产品设计中的应用
—直流电磁铁优化设计—
在产品设计和特性分析中都可应用正交试验法,有时比非线性规划(数学规划）更好使用，因为电器中有许多非线性问题，无法建立准确的数学模型，有许多是近似的。如磁路计算、电弧、电接触、双金属片等等,很难用准确的数学模型表达。
磁系统的结构形式、尺寸比例、参数选择、材料特性以及工艺方案等种种因素，都对其技术经济指标产生不同程度影响。设计人员往往需要在这些因素的可能变动范围内做适当的选择,使产品在一定的条件下能获得最优的技术经济效果.。
。例如，某一产品有十三个可变因素，即使每个因素只取三个数据（或特性方案）,则产品可能的设计方案将有313=1,594，323个！这就是说，设计人员需要从近一百六十万个可能的方案中选择最优者。显然,无论是用试验方法或者一般计算方法,完成此项任务都是不现实的。
L+δ
δ/2
1
2
3
4
5

图4 磁系统简图
1－衔铁;2－极靴;3－铁心;4－线圈;5－轭铁

设有一直流电磁铁(如图4),已知其磁导体截面积为S(处处相等）、平均长度为L，非工作气隙磁阻（二者之和）为 R ，我们希望在结构尺寸基本不变的情况下借改变参数而使
或 （21）
为最大。
式中 —电磁铁吸力;
-输入功率；
——有效行程， =δ－；
—衔铁吸合后的剩余气隙值.
用正交设计法解决这一任务的步骤如下：
1：明确设计目的，确定设计指标
本例题的目的非常明确,即要使 为最大。，.但为了计算方便，我们把指标定为 (式中IN为线圈安匝数)。因为在本例题中C正比于Co,而在磁系统线圈窗口尺寸不变的情况下,又正比于（IN）.，所以允许这样定指标。
2：挑因素、选水平
据分析,对指标有影响、而且又有可能变动的参数有四个： 衔铁有效行程 、极靴面积与铁心截面积的比值m 、铁心磁通密度和铁心材料［我们用磁化曲线H=f（B)来表示它］.这样，就确定因素数为四个: 、m、、.
再根据结构工艺所允许的变动范围，定出这四个因素的取值范围.每个因素取三个数据（即三个水平)。于是得到所需的第一张表—_因素水平表（表12）我们就是要从这些数据的组合中寻找出最佳方案。

表12 因素水平表
因素
水平
(1） （㎝）
（2）m
（3）(T）
（4）.
（1）
0.02
1.4
0.40
1
(2）
0.04
1。2
0。70
2
(3）

0。06
1。0
1.00
3

3:选用正交表
根据因素数和水平数便可查出应用那一张正交表.例如，上述例题应选用正交表见表13,即四因素、三水平、方案数为九。
表13 正交表
因素号
水平 x
方案号
（1）
（2）
(3)
（4)
（1）
（2)
(3）
(4）
（5）
(6）
（7）
（8）
（9）
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1

正交表中的数据代表水平数的序号，也即在所安排的每一方案中,每一因素应取那一水平的数据。或者说,它代表水平号Y随方案号i和因素号x变化的函数关系Y=T(i,x）。
4:表头设计
把各因素分别放到所选用正交表表头适当的列上。在不考虑各因素间的交互作用且各因素的水平数相等时,因素在表头上的位置可任意排列。如果考虑某些因素之间的交互作用，表头就应按交互作用列表的规定排列。本例题不考虑交互作用,故表头是按表12中因素号的顺序排列.即第(1）因素- 、第（2）因素— m、第（3）因素—、第（4)因素—。

5：列设计方案表
将正交表中各列的水平号,换成该因素该水平的实际数据，即形成实际方案表.例如正交表中第（1）列第一行的数字为1，就说明因素(1)（即 ）在第(1）方案中应取水平(1）的数据（即0。02厘米）。我们就应将0。02厘米这个数据放在设计方案表第（1)列第（1）行的位置上.将全部数据替换之后，就得到表14。

表14 设计方案表
因素号

方案号
（1） （㎝）
(2）m
（3）（GS)
（4)
（1)
（2)
（3)
（4）
（5)
(6)
（7）
（8）
（9）
0。02
0。02
0.02
0.04
0。04
0.04
0.06
0。06
0。06
1。4
1。2
1.0
1。4
1。2
1。0
1.4
1.2
1.0
4000
7000
10000
7000
10000
4000
10000
4000
7000
f
f
f
f
f
f
f
f
f

6:计算指标
按表3-4排出的数据逐个方案地计算它的指标值。
计算指标的公式，自然因计算对象和要求之不同而异.。本例使用下列简化公式以计算指标C值：
（=1,2，3）

每个问题可能有若干个指标,而每个指标又各有各的计算公式.为使本例具有普遍意义，特将指标取为两个： 取两个不同数值，C就有两个不同值。。这样做多少有些牵强,但也有一定的实际意义。因为 的大小取决于生产工艺(加工与装配质量以及电镀层的性质与厚度）,它可能在一定范围内波动，从而影响指标C的大小。。我们取两个 值以代表 波动的上、下限,对应这两个 值，自然也有两个指标C.
通常,如果每一方案要计算Kn个指标，而正交表中又共有In个方案,则需要计算Kn×In个指标,这样,计算出的C是一组数,C的大小随方案i与指标号k变化..我们用Ci,k表示第i个方案中的第k个指标。
本例题计算所得的指标值Ci,k列于表15中.
表15 计算所得的指标值
方案号
指标值
（㎝）

（1)
（2）
（3）
（4)
（5）
（6）
（7)
（8）
(1）
(2)
0。02
0.06
0。394582
0。351342

0。408516
0.359719
0。408903
0。355849
0.448360
0.410550
0。469955
0。426425
0.453459
0。408505
0.459011
0.426672
0。432502
400637

7:计算K与Xk值?
对于某一指标,将某因素在同一水平值下的指标值累加在一起，便是此指标对应于该因素在该水平的K值,而将K除以累加次数Zn便是Xr值.因此,某因素在某一水平值下的Xr值，可看成是该因素对应于此水平值的平均指标值.例如例题中用第(2）因素第（3）水平值计算方案有三个,即Zn=3（见表3—4)方案(3）、（6)、（9），也就是说i=3，6,9。将这三个方案中计算出的第一指标加在一起，便是第一指标在第（2）因素第（3)水平下的K值
Kr,x，y=K1，2，3=C3,1+C6,1+C9,1
=0。4089+0。4535+0。4297=1。2921
Xr（1,2,3）=K1,2,3/Zn=0。4307
将本例题中所有的Xr值计算出来后列于表16中

表16 计算所得的X值
K=1
因素号X
水平号Y
（1）
（2）
（3）
（4）
(1）
（2）
（3)

0。40.4000
0。457258
0。430684
0.433984
0。436989
0.445958
0.426846
0。428852
0。445958
0。431407
0。440327
0.429923
K=2
因素号X
水平号Y
（1)
（2）
（3)
（4）
(1）
（2）
（3）
0.355638
0.415160
0。457535
0。396189
0.395594
0。386550
0。386829
0。388522
0.402982
0.391022
0。398299
0。389012

8:计算极差（R)
对应每一个指标，在每一因素中找出最大的Xr值---Xrmax和最小的Xr值-——-Xrmino极差就是
R=Xrmax—Xrmin
它代表各因素对指标值影响的强弱程度。本例题的极差数据列于表17中

表17 极差R值
因素号x
指标号r x
（1)
（2）
（3）
(4）
（1）
（2）
0。053257
0.059522
0.006305
0。009639
0。019110
0.016153
0。010403
0.009287

9:按极差值大小给因素排队
将极差值较大的因素排在前面，较小者排在后面。这种排列顺序代表了各因素重要性的主次顺序，如表18所示

表18 因素的主次顺序
顺序
因素号x
指标号k
（1)
(2）
(3)
（4）
(1）
（2）
1
1
3
3
4
2
2
4

10：确定最佳方案
确定最佳方案时,主要是根据表16中的Xr值.在理想情况下，每一因素都应选取Xr值最大（当要求指标值最大时）或最小（当要求指标值最小时）的那一最优水平的数据。但是在一般情况下,往往不可能让全部因素都取Xr值最大（或最小)的理想数据。这时就要按表18的主次顺序和表3-7的极差值，保证起主要作用的因素（R值较大的因素）取得最优或较优的水平值.
由本例可见，因素1与3对两个指标的影响较为主要,且极差也是较大（见表17，）约占指标值的4％~14％。因此，这两个因素应取Xr为最大的水平值，即 取0。04厘米（因素1取2水平）、B取10000高斯（因素3取3水平）.因素2与4极差都很小,对指标的影响甚小,可按其它条件来确定它们应采用那一水平.譬如，从经济角度考虑因素4应选水平3，即采用较便宜的材料与较一般的热处理工艺.
（参考：文献8）

参考文献
1：孟庆龙主编：《电器制造技术手册》北京：机械工业出版社，2000
2：孟庆龙主编：《电器制造工艺学》北京：机械工业出版社，1992
3：孟庆龙、金克逵主编，《电器结构、工艺及计算机辅助工艺规程设计》。北京:机械工业出 版社，1994
4：孟庆龙，王赞明主编:《电器计算机辅助设计》，北京：机械工业出版社，1998
5：孟庆龙主编：《简明电器工艺手册》北京:机械工业出版社,2006
6：陈家鼎，刘婉如等：《概率统计讲义》北京，人民教育出版社，1980
7：孟庆龙编，《数理统计在电器中的应用》讲义，天津，河北工学院电器教研室，1982年8月
8：孙雨施主编：《直流磁系统的计算与分析》(模型、算法、程序）,北京，国防工业出版社，1987年1月

（2007—12-13，完成）