线性代数-向量组的线性相关性习题课.pdf

可观薛件线性代数向量组线性相关性习题讲解可我薛件第四章向量组的线性相关性一、要点复习二、作业讲解三、典型例题介绍可我薛件线性表示一、哭点复习 一个向量可由一组向量线性表示 一组向量可由另一组向量线性表示、两组向量可相互线性表示（等价）向量组的线性相关性 八1线性无关可我薛件向量组的极大线性无关组向量组的秩齐次线性方程组线性方程组解的结构YI非齐次线性方程组 基础解系线性方程组的解的各种情形的判断 利用基础解系表示线性方程组的通解可我薛件1.向量的基本定义和运算定义：由个数为出，M组成的有序数组称沏维向量记为“=（%，2,，耳）或 a=“=夕=（4也，也），keR“+/=（%+配在+优，氏+）负向量 G=（一/，一出，一 J /=+（fi）=（%-4，2-8，氏一）=（左，左，kan）o可观薛件2.线性表示定义：设维向副,4，如果存在一组巍J左2,人，使 p=kg+k2a2+ksas,则称向邺可由向量组,砥线性表示。定义：设维向量组4：%,“2,B：储邛2，,邛若5中每个向量都可由向量 组/线性表示，则称向量郅可由向量组4线性表示。若向量组4与向量超可相互线性表示，则说这两个向量组等价。判断向郢可否由向量组内,%，4线性表示的方法：矩阵4=(册。2,a声矩阵a=(“7，”2,，%/)的秩是否相等。将向量按列组成矩的7,的/,&*)用初等行变换化为行阶梯形，(1)若R(A)wR(5),贝1以不可由向量组Z/,电，,4线性表示。(2)若R G4)=R(5),贝B可由向量组外,电，,鬼线性表示。同时可用一个相应线性方程组求出表次口可观薛件3.线性相关、线性无关定义：对于维向量组”1，。2，一，4，如果存在一组不全关零的数3左2,，左使ka +k2a 2+,+ks（x,s=0,则称向量组Z,“2,s线性相关；否则，称向量组小的，4线性无关（即只薇=左2=七=0才能使得上式成立）判断维向量组即%,4线性相关性的方法:1、比较矩阵4=（即“2,a）秩与向量个麴。求出（，的，4）的秩，（1）若ys，则向量组的，。2,a线性相关。（2）若人=，则向量组Z，的，a线性无关。可观薛件2、当s=时，矩阵4日.即必握方阵，可用4的行列式进行判断,(1)若m=0,则向量组力,以2,小线性相关。(此时R(/)S)若|/卜0，则向量组Z,%，Ms线性无关。(此时?(/)=s)3、当SH时，向量组7,。2,“S线性相关。(此时A(/)K0 0 10 0-2 0所以，P +电+2%2a4.1 10 11110；3 (110-1：5-0-1；-6)10-1：51;-9,所以，6=一11%+14“2+9%.可我薛件4郑=（7,-2,初,%=（2,3,5），2=（3,7,8），%=（1,-6,1）,，问“为何值时，可经久,电，小 线性表示？为何值时，/不能经久,%，%线性表示？解，23A3781617、-2a,31-21-361-3 07、5a 15,，20”2=5（夕2+夕3“3=5(4+63)。(A 5 P1,人)=(1,2”3)11111-P1,11(“1，的，/3)=邛2邛)-1I111-1Y11二(01邛 2 邛 3)ON)y 1-20 1-1 2 O 1-2 1-1 2 1-21-2 O6,判断下列向量组的线性相关性：(1)%=(0,2,2)7,%=(2,0,2)。%=(2,2,0尸%=(3-5厂2,1)。的=。，1，0，-5)。%=(T，3J3尸0 2 2解 2 0 2=16。0,所以，向量组线性无关.2 2 031-1A 15-21 3-50 1-21-5-3J 135101-3、1-5-3、1-530-24-120 210-10-50 0-b(0 16 8,、0 0-3、10向量组线性信。R=23,所以,可我薛件7,问取何值时向量组以 1 以2=（1，-1，1，-1）,，“3=（1，2,4,8）1以4=（1必。2,43y线性无关解1 1 11-1 21 1 41-1 81a a1 a36(+1)(一 l)(a 2),所以，当a w w 1且a w 2时，向量组线性无关。可我薛件8,已知名=（1,2,3）二“2=（3,-1,2）二“3=（2,3）。问X取何值时，%,电，“3线性相关，并把“3表示为”1，a2的线性组合解2=5时,所以,向量组线性相关C11 1=a、+,“2。可我薛件9.已知向量组线性无关，证明：向量组”+线性无关.证明 设有一组数3七使得 h(+)+k2(a-fl)=0,即(%+左2)+(左一左2)/=，由向量组见夕线性无关可知 6+左2=0,左-左2=。，则 h=0,4 2=。，故向量组a+p,a-1线性无关o可我薛件10.已知向量组a,一，7线性无关，证明：向量组6+4+26-37线性无关.证明 设有一组数3左2,左3使得 kxa+左2(+A)+左3(a+2A 3 7)=0,即(k+左2+后3)+(后2+2 左3)A 3k37=0,由向量组a1,7线性无关可知 左1+左2+左3=0,左2+2左3=0厂3左3=0，贝 ij k=0,左2=。,后3=故向量组/以+4。+2a-37线性无关。可我薛件例3已知向量组线性无关,4=%+。2，力2=%+%也=%+4,试证4也也线性无关证设有占户2户3使x+x2b2+x3b3=0即 巧(%+%)+x2(a2+cif3)+x3(a3+%)=0,亦即(占 十 七)%+(巧+x2)a2+(x2+x3)a3=0,因%,av%线性无关，故有2 03 J I。-2、70所以，向量组的撷=2,111J1 21 20 10 1-30q0)010-1010一个极大线性无关组为M2。向量组的槛=3,一个极大线性无关组为19254可我薛件12,设向量组，=(1,1,1,3尸,%=(-1，-3,5,1尸,%二(32Lp+2)，%=(-2,-6,10,夕尸(1)当口为何值时，该向量组缆生无关？(2)当夕为何值时，该向量组线生相关？此时，求出锁秩和一个极大线性寐组。解2、-2、-2、(-310-212-2-713131311521600614014400010412+2P 7P)P+6J100P-2)所以，当夕。2时，该向量组线性无关(2)当夕=2时，该向量组线性相关秩为灭=3,一个极大线性无关组为aJa2，以3。设，见是一k个几维向量组,已知2维单位向量绷，*2,，J能由，怎线性表示，证明：囚，”2,线性无关解 由于任f 维向量都可西维单位向量继“J，,：线性表示，故向量组内,“2,，。可由g四，述线性表示；又已知1述2,述能由“1必2,凡线性表示,故向量组,电，,%与向量组1/2,为等价。而维单位向量组句,J，J线性无关，故尺（外，”2,，%）=&（G泮2，:邑）=，从而四,“2,线性无关。可我薛件14.设是小x矩阵，且形，证明:力,力=0.证明 NZ是 x 矩阵，而取力,)rrrin7?(y4r),7?(y4)mn,所以4Z=Q.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系 表示方程组的通解:+3x2-4x3+2x4=0,(1)xx-x2+2x3+x4=0,解 a系数矩卜韧=1+%=0；3-4 2、-1 2 1-1 0 1?3匹+5x2+6%-4x4=0,匹+2x2+4x3-3x4=0,4匹+5x2-2x3+3x4=0,3匹+8x2+24x3-19x4=0.匚 3-4 2、0 日 6-1,o E2 o)%+3x2-4x3+2x4=0,原方程组同解于-4x2+6x3-乙=，_ 2工3=。，=1,得到一组基础解数=工、4 0 1?所以，原方程组的通解为 x=kWk g Ro可观薛件xx+2x2+4x3-3x4=0,(2)356-4124-3)rr24-3)系数矩阵4=124-30-1650-16545-230-318150000，(3824J(0212-10)(000oj-%2 6/+5%4=，原方程组同解小(x、取自由未知量3 kX4 J0M得到一组基础解蔻1二8、61(1500 J所以，原方程组的通解为*=k4i+卜2自21&eR。16.求下列非齐次线性方程组的通解（用其导出组的基础解系表示）：(1)3毛 一 X 3匹+4匹=4,再+5x1-9x1-8再=0；(2)2xx-x2+3x3-x4=L 3匹-2x2-2x3-3x4=3,x1x2 5x3-4x4=2,7%1-5x2-9x3+10 x4=8.件(1-3-1h1-31增广矩阵(力I b)=3-1-3 4；40467115-9-80J00000J原方程组同解“再：/79;4 1,14%2+6X3+7x4=1,(5(x 取自由未知量3VX4 J=，得到一个特购对应的齐次线性方程组司解于毛 13/二%二?14%2+6/+7%4=0，取自由未知量3=,U,得到一组基础解希=不呈组的通解为X=+后盾1+后242 R。司氯锦件增广矩阵（4）=23171-215n-i000i003-2595 13 0 01:-3:4；io:49F01、328J j 2 一3:0:01000ixx-x2-5x3-4x4=2,x2+13x3+9 乙=-3,-2x4=0,取自由未知量3=0，得到一个特解=11125131326497382、-3-3 一6,-1-3007可我薛件一 12 5匕-4x4=0,对应的齐次线性方程组同解于 x2+13x3+9 x4=0,2乙二0,取自由未知量3=1，得到一组基础解黄=-8-131 0、7原方程组的通解为X=+低左 R。的是方程组4r-。的一个基础解系，“3,%是方程组公=的两个解向量.问：（1）以1+%，a1-42；（2）以1，以2，a3-a4是不是方程组=。的基础解系?如果设4为6义5矩阵，求R（z）.解(1)（2）不是是（%+%，。1-4都是小：=。的解，且线性无关。）C4x=o的基础解系包像个向量,而名,口2,“3-%是3个向量）(3)尺(4)=5 2=3（有非零解时，4r=。的基础解系包含/-K（Z）个向量,即 2=5 K（Z）可观薛件18.设4元非齐次线性方程组代=6的系数矩阵的秩为，是它的三个 解向量,即1=(234,5)。机+隹=(123,4)7,求该方程组的通解。由已知可得，对应的齐 次线性方程组的 基础解系中包含4-3=1个解向量，(珞-2)+(%-%)而。=2 一(2+3)=(345,6)=o的一个解，故方程组=6的通解可表示为x=tjl+健次 R。可我薛件三、典型例题介绍1.判断向量组Z1=（1厂2,3），“2=（02-5），%=（-1。2）丁的线性相关性（法一：利用矩阵的秩解 以外电，电为列构造的矩阵(1A=-2、3027 P 0-0一5 2J 10020-P2，秩R（4）=23,所以即由，“3线性相关。（法二：利用方阵的行歹此）以以1，的，的为列构造的行列式1 0A=-2 2 3-510=0,所以“1，以2，以3线性相关。2可我薛件2.设向量组即如，口3线性无关，试证：+“2，”2+”3，“3+”1也线性无关明（法-：利用定义）设有一组数尢，左2水3，使得kx（G+“2）+左2（“2+G3）+左3（“3+1）=，即（左+左3）。1+（左1+左2）02+（左2+左3）03=，由于已知“1，以2，“3线性无关，所以41+左3=，左1+左2=0，左2+左3=0，J10由于系数行列外1 I 0卜0,所以方程组只有零解 b 1即41=0#2=0,左3=0，+%,”2+“3，“3+。1 也线性无关。可我薛件（法二：利用矩阵的秩）令4-ax+a2.p2-a2-a3+av1 0则（夕1，夕2，夕3）=（多M2，%）1 110 11由于10=2 w 0,所以i1“0,b0 1、1 0可逆,1 b0110i i所以火（4，%/?3）二氏（四间2 M3）又名,a2 g线性无关，故g，的）=3,所以MAMM）=3,故+a2g+“3，“3+%也线性无关。习我镖伴:利用向量组供的等价）令Bi=ax+a2 M=2+3 M=%+0u10 1、则（九夕2，63）=（1，”2，”3）1 1 0o i J1由于1010=2 w 0,1所以1100 P1 0可逆,1 J0111 0(M)i i10 11Y1（a”2，以3），0所以向量绅1，/2，63与向量组等价，又“1，”2”3线性无关，A，4，A）=穴（即2，3）=3匚阚k/气，“2+”3，“3+。1也线性无关。可我薛件3.证明设向量组%,%,%线性相关，密,“3,a4线性无关，问：(1)名能否由电，“3线性表示？证明此结论(2)%能否由。2M3线性表示？证明此结论(1)因为电，“3,“4线性无关，所以电，“3线性无关，又%,%，“3线性相关，故名可由以2,“3线性表示。(2)假设能由“1，%，”3线性表示，即存在一组数配左2,&使得%+k2a2+k3a3,由可知名可由电,内线性表示，即存在一组数714使得佝=1悭2+，2。3，代入上式，得“4-(左1+k2)a2+(左A+左3)“3，即电，“3,%线性相关，与已知矛盾。故应不能由外,电，“3线性表示。可我薛件名,“2,“3,“4线性无关？止匕即可否由外,电，“3,“4线性表示？若能，写正威表达式4.设内=1、11，“2=所以少可由“1，”2，”3，”4线性表示，3 p 4 p2“H-a?+&-%。p-2 p 25.求向量%，%，%的一个极大线性无关组 指出该向量组的秩,并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合，其中（1 2 5解-2 1 0（“1，”2，%，4）=3 2 7-1-2-5、2-3-4-15-3-Lo告002 51 20 00 00 03、100 oj尺（1，口2，13，%）=2，“3,应是一个极大线性无关组。可观薛件0继续化简，得00,021000520003、(11 00-0030可我薛件再由,=ax+a2+03+”4=(1，02，03为非齐次线性方程组4x=的一个解;故线性方程组4x=/的通解为其中左为任意常数。可观薛件9 Ajc1+x2+x3=A2,4取何值时，非齐次线性方程组V玉+疝2+%3=九x1+x2+2x3=1V.有唯一解、无解、有物多解？并在无穷多角附求出通解。解 2 1 11 2 1=(2-1)2(2+2)51 1 2当;Iwl且;lw2时，有唯一解;1；4)(2 1当;1=2时，1 2U 1无解;1 2-0-2：J I。1-2；P1-11,0 01可我薛件1当2=1时，1 1U 1i i；r o o：o,0 09方程组同解“1+X2+X3=0,得到一组基础解数=1，(x 取自由未知量2=,X3 7 I。八3=0，1111 T 0V0通解为X=k&+k2G2,其中342为任意常数。