高考数学 新教材 课件 第2章 不等式.pdf

2.1相等关系与不等关系一核心素养概说（教师独具内容）1.通过具体情境，能从现实世界和日常生活中的实例抽象出不等式的 概念，能从等式的性质类比出不等式的性质.理解实数比较大小的基本事实,会比较两个实数的大小，掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式 的性质解决问题.2.感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.3.不等式是刻画现实世界，日常生产、生活，科学研究不等关系的数 学模型，其核心内容是解不等式与证明不等式.4.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.鲤考试要求（教师独具内容）1.用不等式表示不等关系，是研究不等关系的必备基础，要结合实际问题，找出描述不等关系的关键词，不等式的性质是不等式变形的依据，要 记牢性质，尤其是使用条件.2.掌握不等式的性质及成立的条件，灵活运用不等式的基本性质解决 求范围的问题或判断、证明不等式.3.不等式的性质多与常用逻辑用语知识相结合；与集合基本运算相结 合；该部分常与其他模块知识相结合，命题的关注点在于作为其他模块知识 的基础，与函数、集合等问题相结合较多.修核心知识导图（教师独具内容）比较数（式）的大小作差法 作商法 函数的单调性法不等式的性质法特殊值排除法比较大小，不等式的性质，不等式解决实际问题求某些代数式的取值范围-不等式的基本性质不等式的有关概念不等关系与不等式罐上修（教师独具内容）考点5年考情题型分值难度核心 素养考题示例考向关联考点比较大小2021新高考11卷，72019全国I卷，理3,文3比较大小指数函数、对数 函数的性质5选择题中数学 运算不等式 的性质2018全国山卷，理12不等式的性质、比较大小对数运算5选择题难数学 运算基础知识过关G知识梳理i.比较两个实数大小的方法关系方法作差法作商法aba-Z?0l(a05 Z?0)或余 l(aO,Z?0)a-ba-b=OR1 SW0)aba-b0 5 Z?0)或号l(vO,Z?b=ba.(2)传递性：db 5 Z?c=ac.(3)可加，性：ab=a+c b+c,ab,cda+c l b+d.(4)可乘性：ab,c 0=ac 国 be；ab,cOacbQ,cd0=ac 圆 bd.点击核对(5)可乘方：abQ=an bn(ne N5 n2).(6)可开方：ab0=a 画 2).注：在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负 数，不等号方向改变.点击核对4.倒数性质的几个必备结论T,1 1(l)aZ?5 abg1 1(2)0。=,bQ,Oc d=D、1 1 1(4)0axb 或 4zxZ?7_b05 m0,则m b b-m一；(Z?-m0).m a a-mm a a-m-.0).m（理解小技巧借用糖水模型：如果用kg白糖制出人kg糖溶液，则其浓 a a+m度为方.若在上述溶液中再添加加kg白糖，此时溶液浓度增加到/京显然,出 b,机是正数，且。仇生活经验告诉我们，在已有的糖溶液中加糖，在没 有达到饱和的情况下，糖的质量分数将增大，糖水将变甜.）S课前自我鉴定1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“义”)(1)abac2bc2.(X)(2)=b=ac=bc.(X)(3)若41,M ab.(X)(4)两个实数a,b之间，有且只有ab,a=b,abQ 5 cd0bb+cC.acbc D.Wa a+c答案B解析 由a,b,c R,且得一0,又所以（-）（？0.故选B.4.比较两数的大小：a/7+a/10解析,（3+加2=17+2而 V10）2（a/3+a/14）25/,7+A/lb3+-（市+的）2=17+2声.（S+1 4.s析知,5.已知实数。(3,1),be,4解析当3qW0时，方(一24,0：的取值范围是(-2 4,8).则和勺取值范围是(一2 4二.当0al时，fe(0,8).综上可S析真题赏析1.（2021.新高考n卷）已知的是（）A cba B,bacC.acb D,abc答案C解析 a=log52 log5A/5=1=log52,Z?=log83,c=1,贝【J下列判断正确=log82/2 log83=b,即“vc vZ?.故选 C.2.（2018全国 III卷）设 a=logo.2 0.3,b=log20.35 则（）A.a+bab0 B.aba+b0C.a+b0ab D.ab0a+b答案B解析a=logo,2 0.3,Z?=log2 0.3,.=logo.3（）.2,t=log0.32,logojO.4,1-7+1-41 1 a+b.。+办，,二ab0,.aba+b0.故选B.2PART TWO核心素养例析一、基础知识巩固考点1 比较数（式）的大小什 In 3,In 4例1 右=二77,In 55,贝U()A.abcC.cabB.cbaD.bac答案Bb 31 n4解析 解法一：易知，b,。都是正数，=而3=1。88164b =log62 51 02 4 1,所以c,gp cba.In x 1 Inx解法二：构造函数加)二.,贝,易知当工,e时，函数/(X)单调递减.因为e v 3 V4V5,所以3)人4)人5),cba.b2 a2例2若avO,b0,贝1夕=+方A.pqq=a 的大小关系为（）D.pq答案B）2 a2 b-cr cr-b 9解析解法一（作差法）：p-q=+-r-a-b=一1+一厂=3 2a121-7P2a-217177+2a+b0.a-b,贝IJ一q=O,故=若 贝IJp-qvO,故pq.综上，夕故选B.解法二（特殊值排除法）：a=b=-l,则夕=q=-2,排除A,C；令 a=-1,b=-2,则夕排除D.故选B.，追踪练习，1 .设 a,Z?05+)3 A=a+Jb,B=yja+b,贝 1J A,B的大小关系是（）A.ABC.AB答案B解析 VAO,B0,A2-B2=a+2ab+b-(a+b)=2abQ,/.A B.x2 4(x-y)2.已知0,y0,=丁，N=-5-，则”和N的大小关系x zy j为()A.MN B.M0,y0,所以 M-N二不百一一5 一二 5(i y)二(%-2 y)2+4y之0,即 M N.5(x+2 y)3.若。=18%b=16i则。与的大小关系为解析_ 1 8_ 1 8kvX b16ls16)X1 629，1），1 60,16180,.18161618,gp a0*二MN-1 1 1.1 (ex+1+1)+1-1 1-x e+1 e e 1 e _解法二：令危)二尸”=-=e+ETT，显然大工)是C r 1 U 十J.匕 十】R上的减函数，/2020)次2021),即MN.s析&方法点拨比较大小的五种常用方法作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论.其中关键是 变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方 式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.(2)作商法：一般步骤:作商；变形;判断商与1的大小;结论.注 意两式的符号.(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数 的单调性比较.(4)不等式的性质法.(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论.考点2 不等式的性质例3已知b,。满足且c acC.cb2ab2答案AB.c（b-a）0解析 由cba且ac0,知c 0.由bc,得abac 一定成立.例4设abl 3 c 1 0gS-C）.其中所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.答案D11 c c解析由不等式的性质及。坊1,知L方又“0，.工滂正确;构 造函数=%，,%=%在(0,+8)上是单调递减的，又abl,acbl,c b-cl,.loga-c)loga(a 一 c)log6Z(Z?-c),正确.5.设公从0,c 05则下列不等式中不成立的是（)，追踪练习，答案B11 c c解析 由题设得所以 又。0,所以,(Z?+c)4B ac2bc2C.1 g b+c|b,a+c与+c为负数时，由0a+c+g 得0 (。+c)-s+c).所以 0(a+c)4+g当a+c,b+c均为负数时，l+c|6+c|,即lg a+c|yz(1)若教师人数为4,则4x8,当x=7时，y取得最大值6.(2)该小组人数的最小值为，_.解析(2)当z=1时，1=zyx2,不满足条件；当z=2时,2=zyx4,不满足条件；当z=3时，3=zyx6,y=4,%=5,满足条件.所以该小 组人数的最值为3+4+5=1 2.例6（1）已知-Ixv4,2勺3,则x y的取值范围是（-4,2）.3%+2 y的取值范围是（1，18）.角翠*1%4,2 Vy3,-3 y 2,.一 4Vx y2.由一lx4,2y3,得 一 33x1 2,42 y6 3/.l3x+2 y1 8.将本例中的条件改为-1 4+y4,2 x-y35求3x+2 y的取值范围5解设 3x+2y=m(x+)+n(x-y),贝小m+n=3,m-n=2,m=2,1 即 3%+2y n=2-51=(%+)+/-y),又_ l%+y4,2x-y3,/.+y)i o53 5 1 2 3 3 2 3，,一(+丁)+5(%丁)2，即一 3%+2 ybc5 2a+b+=0,则;的取值范围是（）A.3 1 aC.25C,2 tz+C=0,所以。o,c bc,所以-2 a-c-c,解得。-3,将5=-2-c 代入c 中，得-2 a-c c,即得5一1，所以一3-1JI 0,Q8.已知0vvg2,贝I。一P的取值范围是一71 兀解 0汽5，.一50,0。乙 乙-ot。,即 0Vo-/71.7C2 5 一，又 B。),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m 0),升级后屏占b+m b+m b ab+am ab bm（a-b）m比为了奇，二 17%一=-a（，+加）=a（+加）即该 手机“屏占比”和升级前比变大.故选C.Y V 7例 2 设QO,y05 z0,证明：+1+Ji I y y I z z I 人X Y证明 由不等式的性质知，；zx+y+zLL 7%y Z x y z所以4+用+节；7万+不二十/由有关分式不等式的性质可知,X X+Z-y x+yz一x+y x+y+z y+z x+y+z z+xy+2x+y+zx y z x+z x+y y+z所以.十:+节；77丁不+小T2.所以1 Vx+y y+z z+xzb,贝lj 及C.若cb,cd,贝lj acbd答案C解析对于A,若泌，则:取=1,6=-1不成立；对于B,若 ab,贝1 J片,，取。=0,二一1不成立；对于C,若c-d,a-cb-d,正确；对于 D,若 cd,贝|取 a=l,b=-1,c=1,d=-2不成立.故选C.2.已知，乩c均为实数，且公则下列不等式一定成立的是()2,2 1 1A.ab B.ln 2b D.ac2bc2答案C解析:a,b,c R,且。泌，不妨令=1,b=-1,则仔=(_1)2,可排除A;-1,可排除B;1 XO2=(-1)XO2=O5可排除D;当。泌 1 1时，由指数函数y=2无单调递增可知，2a2b0,又因为对数函数y=In%在(0,+8)上单调递增，所以InZlnZ8成立.故选C.3.（2021.重庆南开中学月考）已知的是（）A.若 ab,cd,则B.若：,则“vbC.若 cba,且 c 05 贝Iac20，b均为实数，则下列说法一定成立答案D解析 对于A,不妨令a=-1,b=-2,c=4,d=l,显然满足公乩c d,但不满足必c d,故A不成立；对于B,不妨令。=1,b=-1,显然1-7P 1?足 满但不满足。乩故B不成立；对于C,因为所以/0,又因为从氏所以*2 0/,故c不成立；对于D,若同乩贝IJ-|冰0,即 ba,所以。+比0,故D一定成立.故选D.4.(2021.安徽六安省示范高中质量检测)已知实数处乩。满足0c,且 B.a(c-Z?)bc2 D.ab(b 一 a)0答案B解析 因为avbvc,且abvO,所以vO0,a0,可得 a(c-b)0,B 正确；取 a=-l,b=l,c=2,贝哈 2,ac2bc2,ab(b-a)qC.pq答案D解析因为 p-q=a2-4a+5 （a 2）2=10,所以 p/故选 D.6,若-11,则下列各式中恒成立的是（）A.2。0 B.2。B 1C.-la-0 D.-Ka-/31答案A角军 loc vvl,loc vl,1 01,oc 0b 3.2 Voe B0.7.(2022.陕西西安中学月考诺bc,A.|例2cC.lg(c-Z?)c,A错误；对于B,因为Zkc,且 y=2尤在R上单调递增，所以222。，B错误；对于C,当=lO,C错误；对于D,因为从c,所以户。3，即户一/33 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析 由 log3l0gz3,得 或 0albl得泌1，log3vlogN 是333”的必要不充分条件由 3a3b3,故选B.二、多项选择题9.已知 1,0acC log/?logcb b+abD，bTa7+a答案ACD解析 由 0 c Z?1,0 c c c+a cb+ca-be-ba a(c-Z?)c c+aZ?1,可得工一;=rr1;=Tn 1,0cb 1,得 log/v logj?0,则正重$京。，所以 b c1 0gM 1,0 c b 0,所以I-，故 D 正确.故(Z?+a)(c+a)(Z?+a)(c+a)b+a c+a选 ACD.析1 0.已知。，6为正实数，则下列命题正确的是（）A.若2 一/=1,则 _ 6 V 1b.若 n=1,则。-匕 v 1C.若 6。一芭=1,贝D.若 ln-lnb=l,则。一1答案AC解析 对于A,当即3-6)3+3=1时，.。0,b0,.-.0a-ba+b,：.a-bl,.,.e一一11,即“2,-bln2l,故D错误.故选AC.三、填空题1 1.给出下列四个条件：0。；aOA；ab0 3其 中能推得成立的是.1 1 b ci解析工今刀-0时，上式成立，故符合题意；当04时，上式成立，故符合题意；b-a _当0泌时，百0,故不符合题意;当泌0时，上式成立，故符合题意.二能推得:弓成立.12,已知 一 la4,lb2 5 贝lj a一方的取值范围是（-3,3）.解析 因为-14,lb2,则2 V b 1,以1 2a Z?4 1,即。一的取值范围是（一3,3）.s析Y Y 7/1 3.若实数羽y满足3W孙28,4-95则千的最大值是_J J2 4Y X解析 由4W9,得1 6W卡&81.又3W孙2&8,51-321孙X X27.又x=3,y=l满足条件，这时声=27.，声的最大值是2 7.1 4.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农 贸市场管理部门规划建造总面积为2400 n?的新型生鲜销售市场.市场内设 蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间.每间蔬菜水果类店面的面积为28 m2,月租为九万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为2 0 m2,月租为0.8 万元.全部店面的建造面积不低于总面积的80%,又不能超过总面积的85%.市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租 费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%,则%的最大值为 1.解析 设蔬菜水果类店面。间，则肉食水产类店面为(80-)间，由全部 店面的建造面积不低于总面积的80%,又不高于总面积的85%,得 2400X 80%W28+20(80-)W2 400X 85%,解得 4055,又“WN*,所以有16个取值，即共有16种建造方案.根据“任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类ax+0.8(80-6?)64 0.8 4店面月租费的90%”，得-而-三90%-x,即育72 j=5(8)4(8)72品+15乂卜2口5+lJ=l.所以X的最大值为1.四、解答题1 5.实数d b 满足一 3Wa+W2,求实数。，。的取值范围；解：-3a+Z?2,3W+X2,40,求证a+b.wc+dd，证明bd0,二：二去t v LXc a a+b c+d.分+1与书+1，、a u(2)已知c a0,求证：r.c-a c-b证明(2)cab0,.c-a0,c-b0.7 1 1 c c-：ab0,又。，工方，c-a c-b-0,c-b0,/.c-a c-b1 7.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的原票、车型都是一样的，试根据单位去 的人数比较两车队的收费哪家更优惠.解 设该单位职工有人伽N*),全票价为九元，坐甲车需花M元，坐 乙车需花竺元,3 1 3 4贝IJ M=x+1）二甲+衿，二弹./1-I 5j-13 4 11 1所以-一 为二矛+严-snx=F _ 20nx=4X当=5 时，yi=y2;当心5 时，yry2；当n处因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队 更优惠；少于5人时，乙车队更优惠.本课结束2.2二次函数与一元二次方程、不等式念核心素养概说（教师独具内容）1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不 等式的现实意义，了解函数的零点与方程根的关系.了解一元二次不等式的 现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次 不等式的解集.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.2.一元二次不等式的解法中蕴含着数形结合、分类讨论、转化与化归、方程与函数等数学思想方法，学习过程中要认真领会方程、不等式、函数知 识的内在联系和相互转化，为今后研究函数问题奠定理论基础3.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.窿例要求（教师独具内容）1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的 个数.了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等 式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.2.掌握一元二次不等式的解法，会解分式不等式、高次不等式，能解 决一元二次不等式的实际问题.理解一元二次方程、二次函数与一元二次不 等式之间的联系，并能解决相应的问题.3.数形结合思想是高中数学重要的数学思想，掌握三个“二次”之间 的密切联系，在解决一元二次不等式、一元二次方程的相关问题时，转化为 二次函数的相关问题，借助二次函数的图象直观形象地解决问题，使问题处 理更加容易.4.高考中，一元二次不等式会在选择题、填空题中有所考查，与集合 的运算结合，在每年的选择题中常考，属于容易题；在解答题中与恒成立、有解问题联系紧密，有一定的难度.念核心知识导图（教师独具内容）一化T把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式计算对应方程的判别式4面而面而二元三次3罐初花晟痕施的丽氐1-1 1说明方程有没有实根念5年考频统计（教师独具内容）考点5年考情分值题型难度核心 素养考题示例考向关联考点解一元二次 不等式2020全国I卷，文12019全国I卷，理12019全国口卷，理12019全国in卷，理1,文12018全国I卷，理2一元二次不等 式的解法集合的基本运算5选择题易数学运算解不等式2020全国n卷，文1不等式的解法集合的基本运算5选择题易数学 运算根据解集 求参数2。20全国I卷，理2求参数的取值一元二次不等式的解 法、一元一次不等式的 解法、集合的基本运算5选择题易数学运算基础知识过关G知识梳理i.一元二次不等式的定义及一般形式一般地，我们把只含有 回一 个未知数,并且未知数的最高次数是园2 的不等式，称为一元二次不等式.、4小31rla 右几目 画+bx+c0_ 圆or+bx+c0J=0J。）的根有两个不相等的实数根 1，X2（X1030）的解集回XX%2 .b IX xW-c2aRax1+bx+CVO3O）的解集园xXiXQ 或(-a)(x-b)Q 型不等式的解法不等式解集aZba=bq6（I Q）（N。）0 x xb回z z#a物7|z 6,或，（Z一Q）（1-6 X0|03|az6）H0 x|bix0)的解集为(-生a).注：解绝对值不等式的三种方法平方法，主要用于两边均为一次式；公式法，口诀是大于取两边，小于取中间；%.定义法，国=,八根据绝对值内部的式子与0的关系去掉绝-x,xO(WO)5 x R 恒成立=。0 且 J0;不等式 ax1+bx+c vO(aWO)5%R 恒成立=。0 且 J0)零点的分布问题设11,初是实系数一元二次方程。%2+区+c=o(qo)的两个不相等的实 数根，即函数八%)=/+云+c=0(o0)的零点，则函数加)的零点分布等价 不等式组的关系如下：J0,若1 b2a05若冽41（）b 2dm、卬0,若为（加%2,贝Z X/八f（M 05若无1，无2（帆1,加2）,f（如）o5贝力M 0,mi 一b五0.(7)(2)若方程ax1+bx+c=0(“W0)没有实数根，则不等式ax1+bx+c 0的 解集为R.(X)(3)若二次函数y=a/+陵+仁的图象开口向下，则不等式/+法+c 0 的解集一定不是空集.(J)x-a、,(4)二三0 等价于(x)(x 6)三0.(X)X-b2.已知集合人=x|x2-5x+405 B-x|x2-x-60,则 ACB=()A.(-2,3)B.(l,3)C.(3,4)D.(2,4)答案B解析 由题意知A=xlx4,x|-2x0的解集为，%0,即(+2)(-2)0,解得-2%0,即(+1)(尤一3)0,解得Ivx 05(1-m)2-4m2 0,解得6.已知函数八%)二2+依一 1,若对任意实数X,恒有x)W0,则实数的取值范围是匕19解析若1=0,则八%)=-K0恒成立；若则由题意，得a0,/=2+4W0解得综上，得1-4,0真题赏析1.（2020.全国I卷）已知集合Ax|x2-3%-4 0 5 5=-4,15 3,5,则 AA5=()A.-4,1 B.C.3,5 D.答案D解析因为A=xx21,51,33x 4 v 0 x-1 x0 n 口=xx0,B=xx-IvO,贝lj A G B-l0=xx3A xxl2PART TWO核心素养例析一、基础知识巩固考点1 解一元二次不等式例1不等式（Rd_%_2W4的解集为 3-或2 0,解析原不等式等价于W4f x 20,即 j 2 AVCx-1-x2 1解得 V2 故原不等式的解集为R-2 Wxv-2&X&3.一 1或243.例2求不等式ax1 2-(a+l)x+1 0(。R)的解集.1(1 当=1时，片=1,X 芥1)0无解；解 若。=0,原不等式等价于-1+10,解得Q1.、(1)若0,解得XV：或无1.、(n若0,原不等式等价于-1)1 时，-1,解%(11)0 得；;%1；Cr 卜 Cty Ct-1 1 1当 oi5 解工一；7a-1)。得 13 综上所述，当。1；f 1当0VGV1时，不等式的解集为卜11时，不等式的解集为卜：4,N=xy=log3(-6x2+llx-4),贝IMnN=()-、，/3 2 工？Z13-B,D.-4-3-&一 司 5 7 1 1 _ _ zr I|1 A C答案C解析易得集合”二x-3二%|1x01 442x3p 所以 MGN=%lx1,即 av2 时，解得1 Wx W 二;2当尸-1,即。=2时，解得=-1；2 2当尸-1,即-2。时，不等式的解集为4九三;或-1；当一 2 vav0时，不等式的解集为卜；当。=-2时，不等式的解集为-1；当”-2时，不等式的解集为x.根.方法点拨1.解不含参的一元二次不等式的一般步骤化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式.求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将 不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式/与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大 小关系，从而确定解集形式.(4)切记：当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.)考点2 一元二次方程与一元二次不等式例3已知不等式一 5%+0的解集为_ 5%+a0的解集为（1 1A.x-3x2,C.x-3x1-3,则不等式XD.xx2答案c解析由题意知0,且-；是方程ax1-5x+b=0的两根,5 530-一一=万群 角5一屋 S7-1-2 1-2+X 1-3 1-35x+a=一5x?5%+300,艮1+x 60,解得一3Vx0的解集是国。40），则不等式一+次+，Q的解集是贝1J%B是一b q元二次方程办2+以+。=。的实数根，且磔=*不等式q be x2+bx+a05;.邓 一(a+B)x+l0,化为-l)0 x-1)0,又 Ova4,.不等式。尤2+5%+40 的解集是%4或 故选B.追踪练习3.已知不等式ax-bx-lX）的解集是1 1X /%Q,则不等式f 一及一。三。的解集是（）A.%|2 x3B.小2或x三341-3XI或1SX-X.答案B解析不等式 ax-bx-lX)的解集是无11-2x-3-af bx 1=0的解是修=如1 36一5.一一=a 万解1-优=7P-1-3-rlr 1-3 X、-V 1-2 1-2-LI则不等式工2-一 三0,即为x2-5x+60,解得或，3.方法点拨本例的求解充分体现了转化与化归思想，即不等式的解集 与相应方程根的关系：(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也是相应一元二次不等 式解集的端点值；(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数.考点3 一元二次不等式恒成立问题例5已知关于%的不等式区2一6日+上+820对任意R恒成立，则 上的取值范围是()A.0,1 B.(0,1 C.(-8,O)U(1,D.(一8,0 U 1,+)+00)答案A解析 当左=0时，不等式/-6区+左+8,0可化为8,0,恒成立，当左#。时，要满足关于的不等式履2 _ 6履+左+820对任意xR恒成立,人0,只需彳 32 3 z7 Q、vc解得0VkWL综上所述，%的取值范围是0,/=36左-4k（左+8）W0,1.例6 设函数上）=加工2_尔一（加W0）,若对于1,3 3 f（x）-m+6 m 0mycm5恒成立，则加的取值范围是_.解析 要使於）一机+5在1,3上恒成立，mx2-mx+m-6 0,1-2贝nJT9 32+4加一6Vo在工1,3上恒成立.1-2 ZLrv m=g(令 土 1:/算 角9 3+Tm-6,1,3.当机0 时，g(x)在1,6 63上是增函数，所以g(x)max=g(3)=7机-6Vo.所以机力 则0V7WV亍.当加0时，g(%)在1,3上是减函数，所以g(%)max=g(l)=加-6。，所以加6,6所以m0.综上所述，m的取值范围是加0mym 3-4+2 XVI-27-X、以加v m因为函数y=m=7在1，3上的最小值为力 X X-r 1 X X-V L/x2+4 7 1所以只需加V，即可.因为加W0,所以加的取值范围是加0机?或加V0：例7 对任意加-1,15函数於）=f+（加-4）%+4-2加的值恒大于零，求工的取值范围.解大x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令 g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由题意知在加-1,1 上，g(的值恒大于零,Jg(-1)=(x-2)X(-1)+x2-4x+40,所以 g(1)=(x-2)+x2-4x+40,解得x3.故当x（8,i）u（3,+8）时，对任意加-1,1,函数/幻的值恒大于追踪练习4.若不等式（。-2）f+2（-2）x-4 v 0对一切%e R恒成立,则实数，的取值范围是（）A.（8,2 B.-2,2 C.（一2,2 D.（一8,-2）答案C解析 当2=0,即=2时，不等式为-40,对一切恒成立.ci 2 V0,当*2 时，则/=4(-2)2+16(-2)0,a 2 V0,即20,则有4WO或一斤一 2,g(-2)=7-3心0J0,或_ J2,g(2)=7+三0.解，得-解，解集为0,解，得-7Wav 6.综上可得，满足条件的实数的取值范围是-7,2.(3)若当W4,6时，x)三。恒成立，求实数1的取值范围解(3)令 h(a)=xa+x1+3.当。4,6时，力20恒成立.h(4)20,Jf+4x+3三0,只需(6)三0,即+6%+3?0,解得-3-*或-3+a/6.实数1的取值范围是(-8,-3-a/6 U -3+a/6,+8).方法点拨1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略(1)不等式以2+法+C 0对任意实数%恒成立|二=0,|05Qc 0 b2-4ac0.(2)不等式ax1+bx+c0对任意实数x恒成立=Z?=0,|0在集合A中恒成立，即集合A是不等式x)0的解集的子 集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题，即已知函数本)的值域为阿，川，则 恒成立今/即加三“；恒成立即 W .3.一元二次不等式在参数的某区间上恒成立确定变量范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下，知道 谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换 位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.考点4 一元二次方程根的分布例8(1)已知二次方程(2根+l)x2-2/wc+(m-1)二。有一正根和一负根,求实数加的取值范围.解 设/(%)=(2 m+l)x2-2mx+(m-1),由(2机+1/0)0,即(2机+1)(加-1)0,1 1 1 解得-5用05一(m+1)_ 2 X2-=f(0)0(m+1)2-8m0,m-1,m0由m3+2/2,才m0、=0m3+2啦,即实数加的取值范围为(0,3-2也)U(3+2啦，+8).追踪练习6.已知二次函数 f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3 有两个零点，且一个大于1,一个小于1,求实数机的取值范围._ 1解 由题意可得(加+2求l)vO,EP(m+2).(2 m+l)05解得一 2加一.(1 故实数机的取值范围为-2,-共:方法点拨一元二次方程的根即为对应二次函数的图象与1轴交点的 横坐标，因此，一元二次方程的根的分布问题，可以借助二次函数的图象,利用数形结合的方法来研究.往往根据方程根的情况结合对应二次函数的图 象建立不等关系式（组），求得参数的取值范围.二、核心素养提升例 已知x)=-2?+陵+C,不等式/(%)0的解集是(-1,3),贝1 J6二_；若对于任意工-1,0,不等式/(%)+，W4恒成立，则实数，的取值范围是(一8，-2,解析 由不等式x)0的解集是(-1,3),可知-1和3是方程-2?+2-25 8=4,Zzx+c=O的根，即 解得 所以段)=-2?+4x+6.所以不，。二6，3 一 2等式式%)+/W4 可化为/W2?-4x-2,x-1,0,令 g(x)=2 f-4x-2,%e-I,0,由二次函数的性质可知g(%)在-1,0上单调递减，则g(%)的最小值 为 g(0)=-2,则左-2.t例题体现了转化与化归思想在一元二次不等式中的应用.转化与化归思 想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数的性质、图 象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而解决问题的思想.本题 的解法充分体现了转化与化归思想，不等式的解集转化为一元二次方程的 根，可求出dC的值，不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.3PART THREE课时作业一、单项选择题1.已知集合 90,集合 5=-1,0,1,2,3,4,则 AG5A.-1,0,1,2)C.-1,0,1)答案AB.0,1,2,3)D.3,4解析 因为 A=x*9v0=(-3,3),所以 AG5=-1,0,1,2 .故 选A.2.已知某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是丁 二 3000+2 0 x-0.1 x2,x（0,2 40）.若每台产品的售价为25万元，则生产者不 亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）A.100 台 B.1 2 0 台C.150 台 D.1 80 台答案C解析 由题意，产量为X台时，总售价为25%；欲使生产者不亏本，必 须满足总售价大于等于总成本，即2 5x3000+2 0X-0.1 X2,即O.lf+5%一 3000三0,?[phone],解得1三150或 200（舍去）.故欲使生产 者不亏本，最低产量是150台.3.不等式f+办+4三0对一切%15 3恒成立,则a的最小值是()13A.5 B.q C.4 D 3答案C。(4)解析 V%e l,3时，/+以+4三o恒成立，贝IJ 三；恒成立，4 r(41又xl,3时，x+;三2出=4,当且仅当x=2时取等号4,-4.故a的最小值为-4.4.已知集合 A=x|x2+x-6C0 5 B=xl-x2m 5 且 A(B=x-1 WxW2,则加二()3A.5 B.OC.-l D.l答案D解析 因为 A=4?+九一6W0=x|-3WjcW2,B=xxl-2m,且An3=x|lWxW2,所以 1-2加二一1,解得加=1.5.已知 A=x|f+6%+8W0,B=xxa,若 AU 5,则实数。的取值范围是()A.(-4,+)B.-4,+00)C.(2,+)D.2,+00)答案C解析 A=x*+6X+8W0=x|-2,B=xxa,因为 AUB,所以实数，的取值范围是(-2,+8).6.若不等式d一-3元-4对任意2,4成立，则无的取值范围为()A.(一8,-8 U 3,+8)B.(一8,O)U1,+oo)C.-8,6D.(0,3答案A解析 由题意得不等式(x-4)-d 3x+1 6W0对任意引-2,4成立，(x 4)X(2)-X?-3x+160,所以(x-4)X4-x2-3x+160,-?-5x+2 42 je J：=2,当且仅当y=即尤=0时等号成立，故/（尤）=e +JC/C C C-2 2 0恒成立，故x）为R上的增函数，不等式危储）+五1一2）2。对任 意WR恒成立，即加小）三一11一2词对任意尤wr恒成立，即危小启旭-1）对任意x R恒成立,即ax2 2ax-1对任意 R恒成立,即以之_ 2 ax+1 N0对任意xR恒成立，当。=0时，不等式恒成立；当时，则a0,/=(-2 a)2_4wo,解得 v“WL 综上所述，“0,1.8.设函数A%)=c对一切%金氏恒成立,1 A.彳，+00 1)C守+83+bx1+cx(a也 c C R,0).若不等式 xf(x)-af(x)3b-3c M则一的取值范围为()9 B 4,+9 D-4+0答案D解析 f(x)=ax+bjc+ex,所以了(%)=+2 Zzx+g 不等式4-af(x)0,c2 b-3c3W0对一切xR恒成立，则 八或/2 所以三不则c=0 J=4c-1 2&0.3 a9-29 9 9 b-3c 9|-4三-布即一I的取值范围为+81.故选D.析二、多项选择题9.已知集合4二%叫？一3x-180,B=xE R|x2+ax+a2-2 70 3则下列命题中正确的是（）A.若A=5,贝lj=-3B.若贝=-3C.若 3=0,贝lJaW-6 或三6D.若 =3,贝ljAA5=x|3xv6答案ABC解析 由已知，得4=%-3。6,令g(%)=I2+办+227,对于A,a=-3,若A=即一3,6是方程g(%)=0的两个根，贝IJ 2”Q解得。=a-2/=-18,、g(-3)=2一3一18叩-3,故A正确；对于B,若AU8贝I小 2二of 解得。=-3,故 B 正确；对于 C,当 3=0 时，J=2-4(2-2 7)0,解得 aW6或三6,故C正确；对于D,当=3时，有3=xR|f+3x180=0-6x3,所以 AG3=x|-3vxv3,故 D 错误.1 0.在一个限速40 km/h的弯道