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(完整word)间接平差原理

§4—1  间接平差原理
2学时

间接平差法(参数平差法)是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值,从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数 、 ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式
（4—1-1）
可得
（4—1-2）
为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 ,则(4—1—2）式可写成如下形式：
(4-1—3）
式(4-1-2）叫做误差方程,也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾, 、 、 可有多组解,为此引入最小二乘原则: 可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系,按最小二乘原则,求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系,求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： ,设观测值为等精度独立观测，则有：

按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得

代入误差方程式，得到观测值的最或然值

此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致,说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关.
一般地，间接平差的函数模型为
（4—1-4)
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数 都取近似值 ，令
(4-1—5)
代入(4-1—4）式，并令
(4-1-6)
由此可得误差方程
（4-1-7）
式中 为误差方程的自由项，对于经典间接平差,将未知参数 视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（4—1-5）式,可得平差后 ，由（4-1—6）式可得 。
间接平差的随机模型为
（4—1-8）
平差准则为
（4—1—9）
间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数 ，在数学中是求多元函数的自由极值问题。

一、间接平差一般原理
设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵 ，必要观测数为t，选定t个独立参数 ，其近似值为 ，观测值L与改正数V之和 ，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为
（i=1，2,3,…，n） （4—1—10）
令

则平差值方程的矩阵形式为
(4-1—11）
令
（4—1-12）
式中 为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为
（4—1-13）
按最小二乘原理，上式的 必须满足 的要求，因为t个参数为独立量,故可按数学上求函数自由极值的方法，得

转置后得
（4—1—14)
以上所得的（4—1—13）和（4-1-14）式中的待求量是 个 和 个 ，而方程个数也是 个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。
解此基础方程，一般是将(4—1-13)式代入（4-1-14）式，以便先消去 ，得
（4-1-15)
令

上式可简写成
(4-1—16)
式中系数阵 为满秩矩阵,即 , 有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之,得
（4—1-17)
或
（4-1—18)
将求出的 代入误差方程(4—1-13),即可求得改正数V，从而平差结果为
(4-1—19）
特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4-1—16)的纯量形式为
（4—1-20)
二、按间接平差法求平差值的计算步骤
1．根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数;
2。 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程（4-1—13）；
3．由误差方程系数B和自由项 组成法方程(4-1—16），法方程个数等于参数的个数t ；
4。 解算法方程，求出参数 ，计算参数的平差值 ；
5．由误差方程计算V,求出观测量平差值 ；
6。评定精度.

例[4-1] 在图4-1所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下: = +1.003m， = +0.501m, = +0。503m， = +0。505m; =1km， =2km， =2km， =1km。已知 =11.000m， =11.500m, =12。008m，试用间接平差法求 及 点的高程平差值.

图4—1
解:1。按题意知必要观测数 =2，选取 、 两点高程 、 为参数，取未知参数的近似值为 、 ，令2km观测为单位权观测，则 。
2．根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下

代入具体数值，并将改正数以（mm)为单位，则有

可得 、 和 矩阵如下
、 、
3．由误差方程系数 和自由项 组成法方程 得

解得
4. 解算法方程,求出参数 ，计算参数的平差值 ;

5．由误差方程计算 ,求出观测量平差值 ；