资源描述
[学业水平训练]
1．(2014·景德高二检测)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2<r1<0 B．0<r2<r1
C．r2<0<r1 D．r2＝r1
解析：选C.对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，所以有r2<0<r1.
2．(2014·厦门高二检测)观察两个相关变量的如下数据：
x
－1
－2
－3
－4
－5
y
－0.9
－2
－3.1
－3.9
－5.1
x
5
4
3
2
1
y
5
4.1
2.9
2.1
0.9
则两个变量间的回归直线方程为( )
A.＝0.5x－1 B.＝x
C.＝2x＋0.3 D.＝x＋1
解析：选B.＝(－1－2…－5＋5＋4＋…＋2＋1)＝0，
＝(－0.9－2－…－5.1＋5＋…＋0.9)＝0.
由回归直线方程过样本中心点(，)知B正确．
3．工人工资(元)依劳动生产率变化的回归直线方程为＝80x＋50，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1时，工资为80元
B．劳动生产率提高1时，工资提高80元
C．劳动生产率提高1时，工资提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2
解析：选B.回归直线斜率为80，所以x每增加1，增加80，即劳动生产率提高1时，工资提高80元．根据线性回归直线方程，相应于x＝1的估计值y＝130，故A错，应选B.
4．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y与x的回归直线的斜率为b，纵截距为a，则必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
解析：选A.线性回归方程为y＝bx＋a，b>0时，x与y正相关，b<0时，x与y负相关，因此b与r的符号相同，故选A.
5．(2014·宁德高三检测)为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用的表示法为( )
A.(yi－) B.(－yi)
C.(yi－)2 D.(yi－)2
解析：选C.由回归直线方程＝＋x可知，为一个量的估计值，而yi为它的实际值，在最小二乘估计中(yi－a－bxi)2，即(yi－)2.
6．(2014·武汉调研)在＝－ 中，(，)称为________；＝________，被称为________．
答案：样本点的中心 yi－ 残差
7．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
答案：1
8．(2014·青岛高二检测)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q(，)如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.67
0.61
0.48
0.72
Q(＋)
106
115
124
103
则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为________．
解析：丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q(，)最小．此时，A，B两变量线性相关性更强．
答案：丁
9．针对下表中某工厂某种产品产量x(103件)与单位成本y(元/件)的资料进行线性回归分析，并指出产品产量与单位成本之间的变化关系.
月份
产量x(103件)
单位成本y(元/件)
x2
xy
1
2
73
4
146
2
3
72
9
216
3
4
71
16
284
4
3
73
9
219
5
4
69
16
276
6
5
68
25
340
合计
21
426
79
1 481
解：设回归直线方程为＝x＋，
＝3.5，＝＝71，
＝79，iyi＝1 481，代入公式，
得＝＝
＝≈－1.82，
＝71－(－1.82)×3.5＝77.37.
故回归直线方程为＝77.37－1.82x.
由于回归系数为－1.82，由回归系数的意义可知：产量每增加1 000件，单位成本下降1.82元．
10．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
从而＝＋20＝80＋20×8.5＝250，
故＝－20x＋250.
(2)由题意知，工厂获得利润z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1 000＝－202＋361.25，
所以当x＝＝8.25时，zmax＝361.25(元)，
即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．
[高考水平训练]
1．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过( )
A．10亿 B．9亿
C．10.5亿 D．9.5亿
解析：选C.∵x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e.
又∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.
2．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：
＝，＝71，＝79，iyi＝1 481.
则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．
解析：由题意知＝≈－1.818 2，
＝71－(－1.818 2)×≈77.36，＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．
答案：1.818 2
3．假设关于某设备的使用年限x年和支出的维修费用y(万元)，有如下表的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：
(1)线性回归方程＝x＋；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
(3)计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和；
(4)求R2并说明模型的拟合效果．
解：(1)将已知条件制成下表：
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
x
4
9
16
25
36
90
＝4；＝5；＝90；iyi＝112.3
于是有＝＝＝1.23，
＝－ ＝5－1.23×4＝0.08，
回归直线方程是y＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
(3)总偏差平方和(yi－)2＝15.78，
残差平方和1＝2.46＋0.08＝2.54，2＝3.77，
3＝5，4＝6.23，5＝7.46，(yi－i)2＝0.651，
回归平方和：15.78－0.651＝15.129.
(4)R2＝1－＝1－＝0.958 7，
模型的拟合效果较好，使用年限解释了95.87%的维修费用支出．
4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－ .
解：(1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14.
＝＝＝0.5，
＝－t＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，
得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
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