线性代数作业答案.doc

第一章
n阶行列式
1.求下列各排列的逆序数：
（1） 134785692 （2） 139782645 (3) 13…（2n—1)24…（2n) （4) 13…(2n-1)（2n)（2n—2）…2
（11;17; ;）
2。 已知排列为偶排列，则 （8，3) .

3.计算下列各阶行列式:
（1) (2) (3） ［2000； 0; 4abcdef］
4。 设，则的展开式中的系数为 -1 .
5 求二次多项式，使得
，，
解 设，于是由，， 得
求如下:
，，，
所以 ，，
故 为所求.
行列式的性质;克拉默法则
1.阶行列式,则展开式中项的符号为( D ).
（A)— （B)+ （C） （D)
2.如果,求 [-12]
3。 已知，计算 [-1］
4。 计算行列式 [-50］
5。计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）
(1） ,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0; ［］
(2） ; [］
(3) ［利用递推公式来求］
递推公式为
=
(4) ［—2]
(5) []
6.问l，m取何值时，齐次方程组有非零解？ ［]
习题二 矩阵及其运算
矩阵;矩阵的运算
1. 以下结论正确的是（ C )
（A） 若方阵A的行列式，则。
（B） 若，则.
（C） 若A为对称矩阵，则也是对称矩阵。
（D） 对任意的同阶方阵A，B有
2. 设A=，B=,C=，计算（1） 2A—3B+2C．
［]
3．设A=，B=，求AB-BA． []
4．设A=,B=，计算ABT，BTA，ATA，BBT+ABT．
［； ; ； ; ]
5．若,，那么 ．
6．为三阶矩阵，,,则 2 ．
7．已知，，则
.
8．为2005阶矩阵，且满足，则 0 ．
9． 计算
解： 设 ，
则 ，

假设，
则 ，
于是由归纳法知,对于任意正整数n，有

10．证明：若A和B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换．（略)
11．证明：若A和B都是n阶对称矩阵,则A+B，A—2B也是对称矩阵．（略）
12．已知A=PLQ 其中P=,L=，Q=．
QP=E，计算A2n，A2n+1 （n为正整数）．
[； ]
逆矩阵；分块矩阵
13．设A、B都是n阶矩阵，问：下列命题是否成立?若成立给出证明；若不成立举反例说明．
(1) 若A、B皆不可逆，则A+B也不可逆；（2） 若AB不可逆,则A，B都可逆;
（3) 若AB不可逆，则A，B都不可逆；（4) 若A可逆，则kA可逆(k是常数）．
（略）
14．设P—1AP=L，其中P=,L=，求An．
(略）
15．设A为3阶矩阵，且 ,求. []
16．（1）若方阵A满足 ，试证A+E可逆，并求. （略）
（2）设A是n阶矩阵，且,又，试证A+E不可逆 (证明行列式等于零)
17．解矩阵方程 ，其中，。 ［］
18．求下列矩阵的逆矩阵：
（1) ； (2) ．
[; ］
19．利用逆矩阵解下列方程：
(1） ． ［］
20．设Ak=0 (k为正整数）,证明：(E-A）—1=E+A+A2+…+Ak—1．
21．设方阵A满足方程A2-2A+4E=0．证明A+E和A-3E都是可逆的，并求它们的逆矩阵．
22．设方阵A满足A2-A-2E=0证明：
(1） A和E—A都可逆,并求它们的逆矩阵;（2) （A+E)和(A—2E)不同时可逆．
23．设幂零矩阵A满足Ak=0(k为正整数），试证明E—A可逆,并求其逆矩阵．
24．设A是实对称矩阵，且A2=0,证明A=0．
25．设A=,其中B是n阶可逆阵，C是m阶可逆阵．证明A可逆,并求A-1．
26．用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵．
⑴ ; ⑵ ．
[; ]
习题三
初等矩阵；矩阵的秩
1．求矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式。［3； ］
2．设，问为何值,可使（1）（2）(3）
［ ； ］
3．用初等矩阵判断方阵是否可逆。若可逆，求
解：
因为，所以，故不可逆，即不存在。
4． 用初等矩阵解矩阵方程，其中，。
解：

5． 用初等矩阵求 其中
解：
（上阶梯形)，有此可看出
6．设n阶方阵A的伴随矩阵为A＊,证明：
（1） 若｜A｜=0,则|A*|=0；(2） ｜A＊｜=｜A｜n-1．（略）
线性方程组
一。 判断题；选择；题空题
1. 若都是的解，则是的一个解。( ）
2. 方程组基础解系的个数等于。 （ ）
3. 若方程组有非零解，则方程组必有无穷多解.( 错 ）
4。 与为同解方程组。 （ ）
5. 方程组有无穷多个解的充分必要条件是有两个不同的解. ( ）
6。 当( D )时，齐次线性方程组一定有非零解。
（A)；（B）；（C）;（D)。
7. 方程组的系数矩阵记为，若存在三阶方阵，使得,则 （ A ) 。
（A）且； （B）且;
（C)且; （D）且.
8. 设方程组有解，则其增广矩阵的行列式= 0 。
9. 若有解，则常数应满足条件 和等于零 。
10。 已知方程组无解，则 -1 。
11. 求方程组 的通解.
［ 通解为］
12．设，问方程组什么时候有唯一解？什么时候无解？什么时候有无穷多解,并在有无穷多解时求解.
有唯一解；
无解；
无穷多解，解为。
第四章　向量组的线性相关性
第一节 n维向量
1．设,求.
解：

2．设其中, , ，求
解 由整理得

3．已知+=(2，1,5，2,0)，-=(3，0,1，-1,4），求,．
解:
第二节 向量组的线性相关性
1．设，证明向量组线性相关。
证明 设有使得，则

(1） 若线性相关,则存在不全为零的数,
；;;；
由不全为零，知不全为零，即线性相关.
（2） 若线性无关，则
由知此齐次方程存在非零解，则线性相关。 综合得证。
2．设,且向量组线性无关，证明向量组线性无关。
证明 设则

因向量组线性无关,故
，因为故方程组只有零解，则所以线性无关
3．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:.
解：
，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．
第三节 向量组的秩
1．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组：, ， .
解:

秩为2，最大线性无关组为.
2．设向量组a1，a2，…,at （t>2)线性无关，令b1=a2+a3+…+at，,b2=a1+a3+…+at，…，bt=a1+a2+…+at-1．
证明：b1,b2，…，bt线性无关．

3．设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是:任一维向量都可由它们线性表示。

4．设向量组：的秩为,向量组：的秩向量组： 的秩，证明
证明 设的最大线性无关组分别为，含有的向量个数（秩）分别为，则分别与等价，易知均可由线性表示，则秩（）秩(),秩（）秩（），即
设与中的向量共同构成向量组，则均可由线性表示，即可由线性表示，从而可由线性表示,所以秩（）秩（），
为阶矩阵，所以秩()即。
5. 设A是n´m矩阵，B是m´n矩阵，n〈m，E是n阶单位阵，若AB=E，证明：B的列向量组线性无关.

6．设向量组能由向量组线性表示为
，
其中为矩阵，且组线性无关.证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.
证明　若组线性无关
令则有，由定理知，
,由组:线性无关知，故，又知为阶矩阵则。由于向量组：能由向量组:线性表示，则，　
综上所述知即．
若
令，其中为实数,则有，又，则
由于线性无关，所以
即 （1）
由于则（1）式等价于下列方程组:
，由于
所以方程组只有零解.所以线性无关，证毕。
第四节 向量空间
1．试证:由所生成的向量空间就是.
证明　 设

于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3，
所以为此三维空间的一组基，故由所生成的向量空间
就是。
2．验证为的一个基，并把用这个基线性表示.
解 由于，即矩阵的秩为3,故线性无关，则为的一个基。
设，则，
故
设，则,
故线性表示为，
第五节 线性方程组的解的结构
1．求齐次线性方程组的基础解系.
解：
所以原方程组等价于
取得；取得
因此基础解系为
2．设,求一个矩阵，使,且.
解　　由于，所以可设则由
可得
,解此非齐次线性方程组可得唯一解
，　故所求矩阵．
3．求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为。
解　　显然原方程组的通解为
,()
即消去得
此即所求的齐次线性方程组。
4．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量．且
，求该方程组的通解．
解 由于矩阵的秩为3，,一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得

为其基础解系向量，故此方程组的通解：，
5．设都是阶方阵，且，证明．
证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．
(1) 当时,该齐次线性方程组只有零解，故此时,，，结论成立．
（2)　当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量，从而的列向量组的秩,即,此时,结论成立。
综上，
6．求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系。
（2）

7．设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明: 线性无关。
证明 反证法，假设线性相关，则存在着不全为0的数使得下式成立: (1）
其中,否则,线性相关，而与基础解系不是线性相关的，产生矛盾。
由于为特解，为基础解系，故得

而由(1）式可得
故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得
产生矛盾,假设不成立， 故线性无关。
8。设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足。证明也是它的解。
证明 由于是非齐次线性方程组的个解.
故有
而

即 （）
从而也是方程的解．
第五章 相似矩阵及二次型
第一节 预备知识：向量的内积
1．试用施密特法把下列向量组正交化：
(1）　;（2）　
解　(1)　根据施密特正交化方法:
令，，
，
故正交化后得: ．
(2）　根据施密特正交化方法令，

故正交化后得
2．下列矩阵是不是正交阵:(1)　; （2）　．
解　　(1）　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．
(2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．
3．设与都是阶正交阵,证明也是正交阵．
证明 因为是阶正交阵，故，
，故也是正交阵．
第二节 方阵的特征值与特征向量
求下列矩阵的特征值和特征向量:（1); (2);并问它们的特征向量是否两两正交?
解 （1）　①　，故的特征值为．
②　当时，解方程，由
得基础解系
所以是对应于的全部特征值向量．
当时,解方程，由
得基础解系
所以是对应于的全部特征向量．
③　，故不正交．
(2)　①　，故的特征值为．
②　当时，解方程,由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量.
当时,解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量
当时,解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量．
③　,，,所以两两正交．
第三节 相似矩阵
第四节 对称矩阵的相似矩阵
1．设方阵与相似,求。
解 方阵与相似，则与的特征多项式相同,即

．
2．设都是阶方阵，且,证明与相似．
证明 则可逆
则与相似．
3．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为
，, ， 求。
解 根据特征向量的性质知可逆，
得:
可得，得
4．试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵：
(1);　　（2)．
解　　(1）　
故得特征值为．
当时，由解得
单位特征向量可取:
当时，由解得
单位特征向量可取：
当时,由　　解得．
单位特征向量可取：
得正交阵，
（2)，
故得特征值为
当时，由解得
此二个向量正交,单位化后，得两个单位正交的特征向量
单位化得
当时,由解得,
单位化:得正交阵
．
5．(1）　设，求;
（2）　设，求．
解　　（1)　是实对称矩阵，故可找到正交相似变换矩阵，使得，从而
因此

．
（2）　同（1）求得正交相似变换矩阵
使得

．
第五节 二次型及其标准形
1．用矩阵记号表示下列二次型:
(1)　；
(2）　
(3)　
解　(1）　．
（2)　．
(3）　
2．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
（1) ；
(2） ．
解　（1)　二次型的矩阵为，

故的特征值为．
当时， 解方程，由
，得基础解系. 取
当时，解方程，由
，得基础解系取．
当时，解方程,由
，得基础解系取，
于是正交变换为，，且有．
（2)二次型矩阵为
，
故的特征值为
当时,可得单位特征向量,
当时,可得单位特征向量,
当时，可得单位特征向量,．
于是正交变换为，，
且有．
第七节 正定二次型
1．判别下列二次型的正定性：
（1);
(2）
解　（1）　， ,，，故为负定．
（2)　，，,
，．故为正定．
2．设为可逆矩阵，,证明为正定二次型．
证明 　设，，

．
若“”成立，则成立．
即对任意使成立．
则线性相关,的秩小于,则不可逆，与题意产生矛盾．
于是成立．
故为正定二次型．
3．设对称矩阵为正定矩阵,证明：存在可逆矩阵，使．
证明　　正定,则矩阵满秩，且其特征值全为正．
不妨设为其特征值，
由定理8知,存在一正交矩阵，使

又因为正交矩阵，则可逆，，所以．
令，可逆，则.