集合知识点汇总与测验.docx

1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
一集合与元素
1.集合是由元素组成的
集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。
2.集合中元素的属性
（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系
（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；
（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。
4.集合相等
如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
二集合的分类
1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；
2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；
3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.
三集合的表示方法
1.常用数集
（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；
（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；
（3）整数集：全体整数的集合，记做Z
（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q
（5）实数集：全体实数的集合，记做R
3.集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。
（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I| p(x)｝.
注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。
（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。
韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。
4.列举法和描述法之间的相互转换
（1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。
（2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。
【随堂练一练】
一 选择题
1.下列每组对象可构成一个集合的是（）
（A）中国漂亮的工艺品（B）与1非常接近的数
（C）高一数学第一张的所有难题（D）不等式2x+3＞1的解
2.下列说法正确的是（）
（A）｛1,2｝，｛2,1｝是两个不同的集合 （B）0与｛0｝表示同一个集合
（C）{x∈Q|bx∈N}是有限集 （D）{x|x∈Q且x2+x+2=0}是空集
3.已知a=3，A={x|x≥2}，则（）
（A）a∉A （B）a∈A （C）{a}=A （D）a∉{a}
4.已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（）
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形
5.下列各组集合中，表示同一集合的是（）
（A）M={(3,2)},N={(2,3)} （B）M={2,3},N={3,2}
（C）M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} （D）M={(3,2)},N={(2,4)}
6.用列举法表示集合{x|x2-3x+2=0}为（）
（A）{(1,2)} （B）{(2,1)} （C）{1,2} （D）{x2-3x+2=0}
7.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是（）
（A）{x|-3<x<11，x∈Q}（B）{x|-3<x<11}
（C）{x|-3<x<11，x=2k，k∈N}（D）{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}
8.设a，b都是非零实数，c＞0，y=a|a|+b|b|+c|c|可能取的值组成的集合为（）
（A）{3} （B）{3,2,1} （C）{3,1，-1} （D）{3，-1}
二 填空题
9.由实数x，-x，x2，-3x3所组成的集合里最多有个元素。
10.用列举法表示集合A={x|x∈Z，86-x∈N}=
11.集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合，则a= b=
12.用符号“∈”“∉”填空：
（1）0 N+,2Z32{x|x>4}
（2）5 {x|x=n2+1，x∈N+} （-1,1） {y|y=x2} （-1,1） {(x,y)|y=x2}
三 解答题
13.已知M={2,a,b},N={2a,a,b2},且M=N，试求a和b的值.
14.已知集合M={-2，3x2+3x-4，x2+x-4}，若2∈M，求x.
15.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.若A是单元素集合，求a的值及集合A.

1.1.2 集合间的基本关系
一 子集
1.子集定义的三种语言
①文字语言：对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B 的子集，记作A⊆B（或A⊇B），读作集合B含于集合A（或集合B包含集合A）。
②符号语言：对于任意a∈A，都有a∈B，则称集合A是集合B 的子集。
A
B
③图形语言：Venn图
若集合A是集合B 的子集，可用右图来表示两个
集合之间的关系。
★任何一个集合是它本身的子集。
2.集合相等
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，则称集合A等于集合B，记作A=B。（A⊆B且B⊇A⟹A=B）
3.真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A为集合B的真子集，记作AB或BA（若A⊂B，且A≠B，则集合A是集合B 的真子集）
4.子集的性质
①A⊆A，即任何一个集合都是它本身的子集
②如果A⊆B，B⊆A，那么A=B
③如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C
④如果AB，BC，那么AC
二 空集
1.不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3.{0}、0、∅与{∅}之间的关系
0≠{0}≠∅≠{∅} 0∈{0} ∅⊆ {0}∅∈{∅}∅⊆{∅}
三 有限集合的子集的个数
1.n个元素的集合有2n个子集
2.n个元素的集合有2n-1个真子集
3.n个元素的集合有2n-1个非空子集
4.n个元素的集合有2n-2个非空真子集
【随堂练一练】
一 选择题
1.下列命题中，正确的有（）
①空集是任何集合的真子集
②若AB，BC，则AC
③任何一个集合均有两个或两个以上的真子集
④如果凡不属于B的元素也不属于A，则A⊆B
（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
2.集合M={1,2,3}的真子集的个数是（）
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
3.已知{1,2}⊆M{1,2,3,4}，则符合条件的集合M的个数是（）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）8
4.已知M={y∈R|y=|x|}，N={x∈R|x=N2}，则下列关系中正确的是（）
（A）NM （B）M=N （C）M≠N （D）MN
5.下列六个关系式中：①{a，b}={b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅={∅}；④{0}=∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}，其中正确的个数是（）
（A）1（B）3（C）4（D）6
二 填空题
6.已知集合{2x,x2-x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围为
7.设A={x|1<x<2}，B={x|x-a<0}，若AB，则a的取值范围为
8.若集合A={x2+ax+3=0}为空集，则实数a的取值范围为
三 解答题
9.设集合A={1,2,3},B={x|x⊆A},求集合B.
10.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+m-1=0}，若B⊆A，求实数m的取值范围.
11.设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B，求实数a、b的值.

1.1.3 集合的基本运算
一 并集
1.并集定义的三种语言
①文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A和B的并集，记作A∪B.
②符号语言：A∪B={x|x∈A，或x∈B}
③图形语言：Venn图
A
B
A
B
A
B

A

2.“或”的含义：有三种情况：①x∈A但x∉B；②x∈B但x∉A；③x∈A且x∈B
3.并集不是两个集合所有元素的简单拼凑，必须要满足集合元素的互异性，相同元素只能出现一次。
4.并集的运算性质：
①A⊆(A⋃B)；②B⊆(A⋃B)；③A⋃A=A；④A⋃∅=A；
⑤A∪B=B∪A； ⑥(A∪B)⊆B⇌A⊆B ⑦(A∪B)⊆A⇌B⊆A
二 交集
1.交集定义的三种语言
①文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫做A和B的交集，记作A∩B.
②符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
③图形语言：Venn图
B
A
A
B

2.“所有”的含义：A∩B中的任一元素都是A和B的公共元素，A和B的公共元素都属于A∩B.
3.当A和B没有公共元素时，不能说A和B没有交集，而是A∩B=∅
4.交集的运算性质：
①(A∩B)⊆A； ②(A∩B)⊆B； ③A∩A=A； ④A∩∅=∅；
⑤A⋂B=B⋂A； ⑥A⋂B=B⇌A⊇B； ⑦A⋂B=A ⇌B⊇A
三 补集
1.全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，一般用字母U表示。全集是相对的，因研究问题而异。
2.补集定义的三种语言：
①文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。
U
②符号语言:∁u A={x|x∈U，且x∉A}
∁u A
A
③图形语言：Venn图
3.补集是相对于全集存在的，研究一个集合的补集之前
一定要明确其所对应的全集。
4.若x∈U，则x∈A和x∈∁u A二者必居其一。
5.补集运算性质：
①A∪∁u A=U；②A∩∁u A=∅；③∁U ∁u A=A；④∁U (A∪B)=∁u A∩∁u B；⑤∁U (A∩B)=∁u A∪∁u B

【随堂练一练】
一 选择题
1.已知集合A={x|x-1∙x+2=0}，集合B={x|x+2∙x-3=0}，则集合A∪B是（ ）
（A）{-1,2,3} （B）{-1,-2,3} （C）{1,-2,3} （D）{1,-2,-3}
2.设集合M=m∈Z-3<m<2,N={n∈Z|-1≤n≤3}，则M∩N=( )
（A）{0,1} （B）{-1,0,1} （C）{0,1,2} （D）{-1,0,1,2}
3.若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x}，则满足条件的实数x有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
4.已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，则M∩N等于（ ）
（A）(0,1),(1,2)（B）{(0,1),(1,2)}（C）{y|y=1或y=2}（D）{y|y≥1}
5.已知全集U={2,5,8}，且∁U A={2},则集合A的真子集的个数为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
6.已知全集U={2,3,5}，集合A={2，|a-5|}，若∁U A={3}，则a的值为（ ）
（A）0 （B）10 （C）0或10 （D）0或-10
二 填空题
1.设集合A={1,2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数为
2.设集合A={(x,y)|x+2y=7},集合B={(x,y)|x-y=-1}，则A∩B=
3.已知(1,2)∈A∩B，A={(x,y)|y2=ax+b}，B={(x,y)|x2-ax-b=0}，则a=，b=
4.已知集合U={1,2,3,4,5}，A={2,3,4}，B={4,5}，则A∩∁U B=
三 解答题
1.设全集U=R，集合A={x|x<1，或x>2}，集合B={x|x<-3，或x≥1}，求A∩B,A∪B,∁R A , ∁R B
2.设集合A={x|-2<x<-1或x>1}，集合B={x|x2+ax+b≤0}，已知A∪B={x|x>-2}，
A∩B={x|1<x≤3}，试求a，b的值.
3.已知A={0,1,2}，∁U A={-3，-2，-1}，∁U B={-3，-2,0}，用列举法写出集合B.
4.设全集I={2,3，x2+2x-3}，A={5}，∁I A={2,y}，求x，y的值.

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