存在与唯一性定理的证明.doc

存在与唯一性定理的证明

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：

6

个人收集整理 勿做商业用途
存在与唯一性定理的证明
定义：设函数在闭区域上有定义，如果存在常数,使对任何均满足不等式,那么称在上关于满足条件,称为常数
定理：设在闭矩形域：上连续，且关于满足条件，那么初值问题·········①
在区间上有且只有一个解，其中
证明:整个证明过程分成如下五个局部
Ⅰ，首先证明求初值①的解等价于求积分方程··········②的连续解。
事实上，假设是初值问题①的解,那么有
由此,在上连续,从而可积,于是对恒等式积分并利用初始条件,得到即，是积分方程②的解
反之,设是方程②的连续解,即有恒等式
因为在上连续,故右端是积分上限的可微函数，从而在可微
于是将两边对求导,得恒等式
,并令得,因此
是初值问题①的解
因此,我们只需证明积分方程②存在唯一定义在区间上的连续解。我们采用的逐次逼近法来证明，根本思路就是在所设条件下构造出一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰是积分方程②的唯一解
Ⅱ,用逐次迭代法在区间上构造逐次近似的连续函数序列
··········③
当时，注意到是上的连续函数，所以由③知
在上是连续可微的，而且满足不等式于是在区间上
因此,在上是连续的,所以由式③知
在区间上是连续可微的,而且满足于是在区间上
以此类推，应用数学归纳法易证：
由③式给出的所谓序列是区间上的连续函数序列，而且满足不等式
Ⅲ，证明序列在区间上一致收敛
考虑级数
··········④它的局部和为，于是,要证明序列在区间上一致收敛，只需证明级数④在上一致收敛。为此我们归纳证明不等式：
·······⑤在上成立事实上,当时由知式⑤成立，假设当时⑤式成立，即有在上成立
那么由式③知根据条件和归纳假设得

即当时式⑤也成立,因此有数学归纳法知式⑤得证
因当时,,故由式⑤知
因正项级数收敛,故由函数项级数一致收敛的(魏尔斯特拉斯)判别法知级数④在区间上一致收敛从而序列在区间上一致收敛
设其极限函数为，即当时一致的有
那么在上是连续的且由推知
Ⅳ,证明是积分方程②的解
在式③两端令得到
因此问题归结为证明
因序列在上一致收敛，那么任给，存在自然数，当时，对中所有有
故当时,由条件知

因此式成立
因而当时有，所以是积分方程②的一个连续解
Ⅴ,证明积分方程②的连续解的唯一性
设也是方程②的定义在区间上的连续解，那么于是与步骤Ⅲ类似，可归纳证明得在上成立
从而序列在区间上也一致收敛与，因此我们推出
所以,积分方程②的连续解是唯一的。至此,定理得证。
【注】定理中数的几何意义
因为在闭矩形域上有,所以方程的积分曲线上任一点的切线斜率介于与之间。过点分别引斜率为与的直线和：,当时,如图㈠所示；当时,如图㈡所示
显然方程过点的积分曲线(如果存在的话)不可能进入图㈠或㈡所示的两个阴影区域内。假设(即〕由图㈠可见解在整个区间上有定义；假设(即)由㈡可见，不能保证解在上有定义。它可能在或外到达的上边界或下边界,于是,当或时,没有定义。此时,由于点的横坐标分别为及，故可保证解在区间上有定义。综上，只要取，那么当时，有，即当时，积分曲线不会跃出闭矩形域