专题：椭圆离心率解法大全.doc

专题：椭圆的离心率
一，利用定义求椭圆的离心率（ 或 ）
1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率
2，椭圆的离心率为，则
[解析]当焦点在轴上时，； 当焦点在轴上时，，
综上或3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

4，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为
[解析]由，椭圆的离心率为
5，已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为
6，设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。

二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率
1，在ABC中，，，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率
2， 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( )

[解析]
3，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是
变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是
4,椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=c c+c=2a ∴e= = -1
变式（1）：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？
解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=-1
变式（2） 椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴= 又 ∵b=
∴a2=5c2 e=
变式(3):将上题中的条件“PF2 ∥AB”变换为“∥(为坐标原点)”

相似题：椭圆 +=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?
解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=
a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)
变式(1):椭圆 +=1(a>b >0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°
引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。
性质：（1）∠ABF=90°
（2）假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。
（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
变式(2): 椭圆(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e = ．
提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：，但
4，设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。
解：设
法1：利用椭圆范围。
由得，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得。
由椭圆的性质知，得。
附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似）
法2：判别式法。
由椭圆定义知，又因为，
可得，则，
，是方程的两个根，则
解法3：正弦定理
设记
又因为，且 则

则，
所以
解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得

解法6：巧用图形的几何特性
由，知点P在以为直径的圆上。
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有
变式(1)：圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求椭圆的离心率e
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理： =
根据和比性质：
= 变形得： ==e
∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= =
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=
变式(2)：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求椭圆离心率e的取值范围？
分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e===
≥ ∴≤e<1
变式(3)：过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率e的值
解析：因为，再由有从而得
变式(4)：若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。{}
变式(5)：8、椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则椭圆的离心率的取值范围为
解析：设为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形为平行四边形且为矩形，，，，所以，由得。

x
y
A1
B2
A2
O
T
M
6，如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
直线的方程为，直线的方程为，两式联立得T的坐标，所以中点M的坐标为，因为点M在椭圆上，代人方程得 则 所以
7，椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足1·2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？
F2
M
F1
O
分析：∵1·2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。
解：∴c<b a2=b2+c2 >2c2 ∴0<e<

如图所示,画图可知点的轨迹是以为直径的圆，则它在椭圆内部,故,

8，椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L：x=上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？
分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。
M
P
F2
F1
O
思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e
解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)
既(, ) 则1 =-( +c, y0 )
2 =-( -c, ) 1·2 =0( +c, y0 ) ·( -c, )=0
( +c)·( -c)+ =0a2-3c2≤0 ∴≤e<1
解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c ｜PF2｜≥-c 则2c≥-c 3c≥ 3c2≥a2 则≤e<1
总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。
9，如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是
解：以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r，则椭圆的半焦距，易知ΔAOF为等边三角形，∴F（，代入椭圆方程中，得：，
∴，即：
，
又
法二：如图，连结AE，易知，设，由椭圆定义，
有：，， ∴
10，椭圆 +=1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求椭圆的离心率e的值
解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m
在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e=
练习题：
1，椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率.
解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是
2，在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
[解析]
3，已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.
[解析] [三角形三边的比是]
4，在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
[解析]
5， 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
[解析] ，，

6，已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
[解析] ∵在中，由正弦定理得，则由已知，得，即，∴，由椭圆的定义知 ，∴，
即，由解法三知∴椭圆的离心率。
7，已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
[解析]：设，则，而
,∴的最大值为，
∴
8，在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=
9，设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（　A　）
Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上
Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能

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