课时达标检测23三角恒等变换.doc

课时达标检测（二十三） 三角恒等变换
[练基础小题——强化运算能力]
1．计算的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选B　＝
＝＝＝.
2．已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是(　　)
A. B.
C．－ D．1
解析：选C　由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
3．(2017·江西新余三校联考)已知cos＝－，则sin的值为(　　)
A. B.
C．± D．±
解析：选C　因为cos＝cos＝，所以有sin2＝＝＝，从而求得sin的值为±，故选C.
4．已知sin－α＝，则cos2的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　∵sin＝，
∴cos＝cos2－α
＝1－2sin2－α＝，
∴cos2＋α＝cos
＝cosπ－＝－cos－2α＝－.
5．已知sin＋sin α＝，则sin的值是________．
解析：∵sin＋sin α＝，
∴sincos α＋cos sin α＋sin α＝，
∴sin α＋cos α＝，
即sin α＋cos α＝，
故sin＝sin αcos＋cos αsin
＝－＝－.
答案：－
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　依题意得cos2＝cos αcos＋sin αsin2＝(cos α＋sin α)2＝(1＋sin 2α)＝.
2．已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C　∵cos＝－，
∴cos x＋cosx－＝cos x＋cos xcos＋sin xsin＝cos x＋sin x＝＝cos＝×＝－1.
3．若tan α＝2tan，则＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C　＝＝
＝＝
＝＝＝3，故选C.
4．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C　由sin＝得sin α－cos α＝，　①
由cos 2α＝得cos2α－sin2α＝，
所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝，　②
由①②可得cos α＋sin α＝－，　③
由①③可得sin α＝.
5．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，
在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，
又tan B·tan C＝1－，
所以tan(B＋C)＝＝－1.
由已知，有tan A＝－tan(B＋C)，
则tan A＝1，所以A＝.
6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋·tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)
A．α<<β B．β<<α
C.<α<β D.<β<α
解析：选B　∵α为锐角，sin α－cos α＝，
∴α>.又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，又α>，
∴β<<α.
二、填空题
7．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
解析：∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案：π
8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
解析：∵α∈，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝>0，∴2α∈，∴sin 2α＝＝，∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.
答案：
9．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝＝，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈，故α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.
答案：－
10．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则cos＝________.
解析：∵0<α<，－<β<0，∴<＋α<，<－<，∴sin＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＋α－－＝coscos＋sin＋αsin＝.
答案：
三、解答题
11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f.
解：(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，
所以f＝＋sin
＝＋sin＝＋.
因为sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f＝＋×－×
＝.
12．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.