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课时达标检测（四十七） 抛 物 线练基础小题强化运算能力1若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选D依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线2设抛物线y212x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是()A3 B4 C7 D13解析：选B依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x3的距离，即等于314.3若抛物线y22x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则MFO的面积为()A. B. C. D.解析：选B由题意知，抛物线的准线方程为x.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a1，代入抛物线方程y22x，解得b，所以SMFO.4设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A1 B2 C3 D4解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1x2x33，则|x3(x1x2x3)3.5直线l过抛物线x22py(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1y2p2p6，p4.即抛物线方程为x28y.答案：x28y练常考题点检验高考能力一、选择题1抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得弦长为2，则p()A1 B2 C4 D6解析：选B抛物线y22px(p0)的准线为x，而圆化成标准方程为x2(y1)22，圆心M(0,1)，半径r，圆心到准线的距离为，所以22()2，解得p2.2已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2 C4 D8解析：选A由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A.3已知抛物线y28x的焦点为F，直线yk(x2)与此抛物线相交于P，Q两点，则()A. B1 C2 D4解析：选A设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知直线yk(x2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF|x12，|QF|x22，则.联立直线与抛物线方程消去y，得k2x2(4k28)x4k20，可知x1x24，故.4设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：选C由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得，5，又p0，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x.5(2017长春模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A. B. C. D.解析：选A记抛物线y22px的准线为l，如图，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cosABB1，即cos 60，由此得.6已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点，则()Arap BrapCrap Drap解析：选B当r0)与抛物线y22px(p0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当ra时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当ra时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0，可得ap.二、填空题7抛物线y22px(p0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为_解析：设抛物线的准线方程为x(p0)，则根据抛物线的性质有610，解得p8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.答案：88(2017邢台模拟)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为_解析：由题意知，抛物线的准线l：y1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1.则|MM1|.|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，则|AA1|BB1|6，即2|MM1|6，所以|MM1|3，故M到x轴的最短距离为312.答案：29(2015荆门质检)已知F是抛物线y24x的焦点，A，B是抛物线上两点，若AFB是正三角形，则AFB的边长为_解析：由题意可知A，B两点一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30，由于y24x的焦点为(1,0)，由化简得y24y40，解得y24或y24，所以AFB的边长为84或84.答案：84或8410经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么A1FB1为_解析：由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，所以OFA1OFB1，即A1FB1.答案：三、解答题11已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2，联立解方程组得x，y，点N的坐标为.12.如图，已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值解：(1)设直线AM的方程为xmyp，代入y22px得y22mpy2p20，则y1y22p28，得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知y3y42p2，y1y3p2.又直线AB的斜率kAB，直线MN的斜率kMN，2.故直线AB与直线MN斜率之比为定值