圆锥曲线离心率题型.doc

圆锥曲线的离心率题型解析
华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉
圆锥曲线的的离心率是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助.
类型一：离心率的定义
例1 （2014湖北卷） 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
. ． ．

分析：既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点.
解析：不妨设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，椭圆、双曲线的离心率分别为，则由椭圆、双曲线的定义，得，，
平方得-------①， ------②，
又由余弦定理得---------③，
由①②③消去得，即.
再据平面向量不等式的坐标表示得

所以.故选.
评注：圆锥曲线的离心率的定义是解决离心率问题的基础，值得注意的是，椭圆离心率；抛物线的离心率；双曲线的离心率.
类型二：离心率的几何意义
例2 已知双曲线的离心率为，若直线与曲线的左右支各一个交点，求的取值范围.

分析：双曲线离心率决定了双曲线的分布与形状，另外直线中的几何意义明显（直线陡峭程度），故本题可用数形结合求解.
解析：由双曲线的离心率为，可得，
依离心率的几何意义，双曲线的两支应夹在两渐近线之间且无限接近（如图），要使过点且斜率为的直线与曲线的左右支各一个交点，直线必须绕在两直线之间转动，所以.
评注：离心率是圆锥曲线的特征数，它确定了圆锥曲线形状、分布等（做双曲线先画渐近线），借助这一几何意义，往往为“数形结合”解题带来便利.聪明的读者，在什么范围时，直线与双曲线的右支（或左支）有两个交点呢？
类型三：求离心率的值
例3 设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到直线的距离为,求双曲线的离心率.
分析：求圆锥曲线的离心率，一般要根据已知条件（如等量关系、几何图形的特征等）建立关于的等量关系式，进而转化为关于的方程求解.
解析：∵直线过两点，∴直线的方程为，即，
因为原点到直线的距离为，所以，
则，又因为且离心率，
所以，则或,因为，
所以，即或（舍）.
评注：有没有注意到条件，涉及到最终答案的取舍，也是能不能准确求解本题的关键.
类型四：求离心率的范围
例4（2016浙江）如图，设椭圆
（Ⅰ）求直线被椭圆截得到的弦长（用表示）；
（Ⅱ）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

分析：求圆锥曲线的离心率取值范围，就是列出关于的不等关系，再解不等式.
解析：（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，故，．
因此．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点满足．记直线的斜率分别为，且．
由（I）知，，，
故，
所以，
由于，得，
因此.
因为，所以关于的方程有解的充要条件是，
则．因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，
则．
评注：一般地，建立关于的不等式的方法主要有：利用题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆锥曲线的方程（如参数方程）、圆锥曲线的性质（如范围）、二次方程的判别式、不等式等．
类型五：
与离心率有关的定值
例5（2014江西）如图，已知双曲线的右焦点，点分别在曲线的两条渐近线上，轴， (为坐标原点）.(1)求双曲线的方程；
(2)过曲线上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在曲线上移动时，恒为定值，并求此定值.

分析：本题第二问的位置不影响的值，宜采用直接证明法，即先求出的坐标，用距离公式代入检验即可.值得提醒的是直线为双曲线过点的的切线，而直线为双曲线的一条“准线”.
解析:（1）设，因为，所以
直线方程为，直线BF的方程为，解得，
又直线的方程为，则，.
又因为，所以，解得，故双曲线的方程为.
（2）由（1）知，则直线的方程为，即，
因为直线的方程为，所以直线与的交点，
直线与直线的交点为，则，
因为是上一点，则，
代入上式得，则所求定值为.
评注：与圆锥曲线离心率有关的定值问题有很多，其中教材有经典例题，那就是圆锥曲线的“统一定义”.依据统一定义可得：椭圆上任意一点到右焦点（或左）的距离与到直线（右准线）（或（左准线））的距离之比为椭圆离心率；双曲线上任意一点到右焦点（或左）的距离与到直线（右准线）（或（左准线））的距离之比为离心率.
圆锥曲线的离心率问题是数学中的一类典型问题，一般要涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，往往综合性强且方法灵活，从上可以看出，解决圆锥曲线离心率问题，定义是基础、运算是关键、建立关于间的关系（等或不等）是解题突破口.只有审清题意，认真推演，才能准确作答.
应对训练
1、（2016天津）设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，其中为原点，为椭圆的离心率. 求椭圆的方程.
2、（2016山东）已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______.
3、已知斜率为的直线与双曲线相交于两点，且的中点为，求双曲线的离心率.
4、 设为椭圆的两焦点，若上存在点，使得，求椭圆离心率的范围.
5 如图，在等腰梯形中，，且，设，以为焦点，且过的双曲线的离心率为，以为焦点，且过的椭圆的离心率为，则（ ）

（A）随着的增大，增大，为定值 （B）随着的增大，减小，为定值
（C）随着的增大，增大，为增大 （D）随着的增大，减小，为减小
参考答案
1、 2、 3、 4、 5、（）