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(完整版)向量共线、定比分点公式及数量积(补课)
向量共线、定比分点公式及数量积
一、 平面向量共线定理、定比分点
1。 平面向量共线定理
设，( ¹0）,则

y
P2
P

P1

O x
注:不能写成，因为有可能为0.
2.定必分点公式
已知,，，若
则=+
坐标公式（λ≠－1）,即
注意：点P为所成的比为λ，用数学符号表达即为=λ.当λ ＞0时，P为内分点；λ ＜0时，P为外分点.
二、平面向量的数量积

1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ,则数量 ｜|||cosq 叫与的数量积，记作×，即× = ｜|｜|cosq，并规定0与任何向量的数量积为0
2．平面向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影 |｜cosq的乘积。 在方向上的投影：OP
3．两个向量的数量积的性质:设、为两个非零向量
（1)-｜|｜|≤｜×| ≤ |｜｜｜,当与同向时，× = ｜||｜;当与反向时，× = -｜|｜|；
（2)^ Û × = 0（两向量垂直的判定）;
（3）cosq =，||cosq =，|｜cosq =（投影式）.
4。平面向量数量积的运算律
（1)交换律:×=× (2） 数乘结合律:（)× =(×） = ×(）
（3）分配律：（ ）× = × + ×
5。平面向量数量积的坐标表示
(1）已知两个向量,,则×.
（2）设，则.
(3）平面内两点间的距离公式
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么.
（4）向量垂直的判定 ：两个非零向量
.
（5）两向量夹角的余弦 cosq = （）
平面向量共线定理、定比分点
1、 a＝(1，1)，b＝(－1,1)，c＝（4，2),则c＝(　　)
A．3a＋b　　 B．3a－b C．－a＋3b D．a＋3
2、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3、已知，,则点和线段的中点坐标分别为（ )
A．, B．，
C．， D．，
4、已知向量a ＝（1,1），b＝(2，x）,若a＋b与4 b－2 a平行，则实数x的值是 （　 　）
A．－2 B．0 C．1 D．2
5、在中,,，若点满足,则（ )
A． B． C． D．
6、已知向量与向量不共线,实数满足+=+，
则________ ；
7、已知三顶点，则其重心坐标为_____________；
8、如右图所示，在中,已知A（2,3)，B(6，－4），G（4,－1）是中线AD
上一点，且＝,则点C的坐标为____________。
9、已知，当为何值时，与平行，此时它们方向如何?

10、（1) 已知点,点在直线上,且，求点的坐标；
（2）已知点，点在直线上,且,求点的坐标。

平面向量的数量积
1、已知等边的边长为，则与的值分别为( )
A．和 B．和 C．和 D．和
2、已知，,则在向量方向上的投影为( )
A． B． C． D．无法确定
3、已知向量=(x ,y)， =（ —1,2 )，且+=(1，3），则 等于( ）
A． B . C。 D.
4、已知向量（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5、已知，而，则λ等于（ ）
A．1或2 B．2或－ C． 2 D．以上都不对
6、若平面向量b与向量a =（1，-2)的夹角是, 且 b , 则b等于( ）.
A。 B。 C. D.
7、已知，则与的夹角为_________；
8、已知,且，求在的投影_________。
9、已知，,求,。

10、已知与的夹角为,若向量k与垂直， 求k.

11、已知,的夹角为，求的夹角的余弦值。

12、已知向量，且,求与夹角的取值范围。

13、中,,，求

14、已知向量，向量k，
(1）当k为何值时，有；（2)若，求k的取值范围.

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