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第四章 地球的正常重力场
重力测量结果表明,地球在其表面上的重力分布是有规律的；总的说来，它由赤道向两极逐渐增加，由赤道上的978Gal逐渐增加到两极的983Gal。在大地测量中,参数合适的旋转椭球是地面点坐标的参考架，当参考椭球选定后,大地水准面相对参考椭球面的起伏不超过110m，起伏只占参考椭球赤道半径的2×10—6.因而自然想到，用质量等于地球总质量、以地球自转角速度绕其极半径旋转的旋转椭球来模拟真实地球，用这种地球模型（正常场地球模型），在其表面上和外部空间产生的重力场称为地球的正常重力场.当正常场地球模型在地球内部定位后，地球的重力场可以分解为两部分,一部分是正常场地球模型在该点产生的重力场，第二部分为真实地球与正常场地球模型的密度分布不同在该点产生的重力场；前者称为地球在该点产生的正常重力场，后者称为地球在该点产生的重力异常场。重力测量结果表明，当正常场地球模型选择合适后,大地水准面上的重力异常场不超过150 mGal，约占地球正常重力场的1×10—4~2×10—4。地球的重力异常场虽只占地球重力场的万分之一二，但它却包含了有关地球内部结构和大地水准面形状的重要信息，因而研究地球重力异常场空间分布规律以及它们与地球内部结构和大地水准面形状之间的关系已成为重力测量的重要目的之一。根据第三章的结果,本章给出正常场地球模型在旋转椭球面上产生的重力、正常重力位二次导数张量以及它在其外部空间产生的大地位球函数展开系数.
4。1 旋转椭球的几何参数
引入笛卡尔直角坐标系,坐标原点置于旋转椭球的中心，沿其极半径，在其赤道平面内，则旋转椭球面的方程为

其子午椭圆的方程为

其中、分别为旋转椭球的赤道半径和极半径，它们是决定旋转椭球形状的两个几何参数.考虑到参考椭球的赤道半径和极半径相差很小，其扁率约为3×10—3量级，因而参考椭球的子午椭圆与圆非常接近，为了讨论问题方便，对子午椭圆常引入下面几个几何参数：

子午椭圆的扁率、第一偏心率、第二偏心率有下述关系

如图4.1.1所示,与轴之间的角度为点的地心纬度,点子午椭圆的法线与轴之间的角度称为点的大地纬度,因为子午椭圆与圆非常接近,点的地心纬度和大地纬度相差很小,其差约为子午椭圆扁率的量级。在图4.1。1中，有

根据（4。1。2）式，有

因而有

将上式代入(4.1。5)式,得

大地纬度和地心纬度相差很小,根据(3。2—1。6）式可以求出它们之间的相互换算关系，与（4。1.6）式相对应的（3。2—1。6)式中的、分别为

因而有

考虑到子午椭圆的扁率约为为3×10—3量级，有时将子午椭圆的方程写成极坐标的方式比较方便。将（4。1.6）式代入(4.1.2）式，把子午椭圆的直角坐标方程(4。1。2）写成极坐标的形式，考虑到，有

因为

将（4.1.11）式代入（4。1。10）式，化简,舍去高于的项，即舍去小于30×10-9的项，得

在（4。1。12）式中用大地纬度代替地心纬度,根据(4。1.9）式，舍去含高于的项，即舍去小于30×10-9的项,有

参考椭球面上大地纬度为的子午椭圆的曲率半径和卯酉圈的曲率半径的数学表达式分别为

4。2 索米格兰纳（Somigliana)正常重力公式
正常场地球模型在其表面上产生的重力矢量是正常重力位在此表面上的梯度,考虑到旋转椭球面是正常场地球模型的一个重力等位面，因而正常场地球模型在其表面上产生的重力矢量应垂直于旋转椭球面,亦即

其中、分别为坐标的单位坐标基矢量和它的拉梅系数，根据（3。2.9）式，旋转椭球面上上的拉梅系数为

其中、分别为改化余纬和改化纬度.习惯上正常重力矢量的方向约定为，即约定它指向旋转椭球内部为正，则参考椭球在其表面上产生的正常重力等于正常重力矢量在方向上的投影，即

（4。2。3)式称为正常重力公式.在旋转椭球体的重力位表达式（3。3。25）式中用改化纬度代替改化余纬,考虑到为的二阶勒让德多项式，可以把（3.3。25)式写成

根据（3.3。25）式,有

将（4。2.2)、（4.2。4）式代入(4。2。3）式，得

用、分别表示赤道上和两级的正常重力,根据（4。2。6）式，有

将（4.2。7）式代入（4.2.6）式，得

根据（3.2-1。3）式、（4。1。7)式，可以求出大地纬度和改化纬度之间的关系，它们是

将（4.2.9）式代入（4.2.8）式，化简得到以带地纬度为变量的正常重力公式，它为

（4.2。10）式是意大利人索米格兰纳于1929年导出的，它称为索米格兰纳正常重力公式。
4.3展成级数形式的正常重力公式，克雷诺（Clairaut）定理
斯托克斯定理表明，正常场地球模型的赤道半径、扁率、总质量和旋转角速度唯一地决定了旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。正常重力公式（4.2。10）式给出了以大地纬度为变量、以赤道上和两极重力为参数的正常场地球模型在其表面上的重力分布；因而赤道上和两极的正常重力应决定于它的总质、赤道半径、扁率及其自转角速度这四个参数。
将（4。2。5）式中\的表达式代入（4。2。7）式,得

根据（4。2.5）式，有

根据(3.3。19）式,有

当时，即在旋转椭球面上，有

为子午椭圆的第二偏心率,将（4.3。4）式代入（3.3.19）式、(4.3.3）式，化简得

根据(4.3。5）式，可以求出，社区其中的高于的项，得

将（4。3.2)、（4。3.6）式代入（4.3.1)式，化简得到赤道上和两极处的正常重力,即

其中约等于赤道上的离心力与地球重力的比值，它的量级与旋转椭球的扁率相当，约为3×10-3，考虑到

将(4.3.8）式代入（4.3.7）式，社区含高于的项，得

根据（4。3.9)式，可以得出正常场地球模型的总质量与它在赤道上的重力、旋转椭球的几何参数、以及它的自转角速度之间的关系:

将（4.3.10）式中的正常场地球模型的赞哦高质量的表达式代入(3.3.27)式，化简,舍去含高于的项,得出正常场地球模型在其表面上产生的重力位，它与赤道上的重力以及旋转椭球的几何参数、和地球自转角速度之间的关系为

用表示正常场地球模型的重力扁率，它等于两极的重力与赤道上的重力的差与赤道上的重力的比值,即

正常场地球模型的重力扁率约为5×10—3，它是子午椭圆扁率的量级，因而把正常重力公式（4。2.10）写成子午椭圆扁率的级数形式比较方便.为此，把（4.2.10）式写成

考虑到

而

将（4。3.14）式代入（4。3。13）式,化简得

将上式展成的级数，社区含高于的项,得

其中

从(4.3.16)式中可以看出,正常场地球模型的重力扁率和旋转椭球的扁率有下述关系:

表示和之间关系的（4.3。17）式称为克雷诺定理。
4.4 地球的正常重力位二次导数张量
引入局部坐标系，坐标原点选在正常场地球模型表面上任一点,轴垂直向下沿该点的正常重力方向，向北，向东，在这种局部坐标系内，根据（1.9.7）式、（1。9.8)式，正常重力位的二次导数张量在原点的两个分量、的表达式分别为

其中为点的正常重力，为子午椭圆在点的曲率半径,为旋转椭球面在点的卯酉圈的曲率半径。将、的表达式(4.1.14）式以及正常重力公式（4。3。15）代入（4.4。1）式，社区含该与的项，得

把准确至旋转椭球扁率量级的克雷诺定理（4.3。17）式写成

将（4。4.3）式代入（4。4。2）式，得

正常重力位在其表面上满足泊松方程

将（4。4。4)式代入(4.4。5)式，化简得

在的表达式(4。3.6)式中舍去含高于的项，有

即等于赤道上的离心力与赤道上的正常重力的比值。将（4.4.7）式代入(4.4.6）式，舍去含高于的项，得

地球正常重力的垂直梯度等于，即

子午椭圆式旋转椭球的主法截线，在所选定的局部直角坐标系内,子午椭圆所在的平面为南北平面，它的方位角等于0，根据（1。9.9）式,与重力等位面主法截线位置有关的正常重力位二次导数张量分量应等于0，即

在所选定的局部直角坐标系内，正常重力与经度无关，它与坐标无关，因而在坐标原点的重力水平梯度东西分量应等于0，即

而重力水平梯度的南北分量为

将的表达式（4。1。14)式、正常重力公式（4。3。14)式代入上式，舍去含高于的项，得

(1.8.6）式表明，正常场地球模型垂线在点的曲率矢量决定于该点的正常重力水平梯度，将（4。4.11）式、（4.4.12）式和正常重力公式（4。3.15）式代入(1.8。6）式，化简得

其中，为正常场地球模型垂线的曲率半径，为指向垂线弯曲方向的单位矢量。
4.5 正常大地位的球函数展开
地球在其外部空间产生的引力位称为它的大地位．大地位的球函数展开是大地位的重要表示方法、随着空间技术的发展和地面重力测量结果不断积累、确定大地位球函数展开的阶数及其系数的精度越来越高、为了与地球的大地位球函数展开进行对比,需要知道正常大地位的球函数展开.
选取地心直角坐标系,坐标原点选在正常场地球模型的质心，轴沿它的旋转轴，在赤道平面内，根据（3。3。25)式，正常大地位与经度无关，且对赤道面对称,用表示空间点的地心余纬，则正常场大地位球函数展开中只应有的偶阶勒让德多项式，根据（2。2。18）式,正常大地位的形式应为:

其中,、为正常场地球模型的质量和赤道半径，用、分别表示正常场地球模型对轴和其自转轴的转动惯量,则根据（2.3。4）式，有

因为，所以为一负值，为了使正常大地位球函数展开中的二阶项系数为一正数，习惯上常把（4.5.1)式写成

称为地球的动力学形状因子。
将的表达式（3.3。19）式代入(3。3.26)式化简,得出大地位表达式:

其中,

为参考椭球子午椭圆的第二偏心率.根据正常场大地位的表达式（4。5。4）式，可以求出它的大地位球函数展开（4.5.3）式中的系数。在两极处,即当地心余纬等于0时，此时改化余纬也应等于0，且椭球坐标等于，（4。5。3）式、（4。5.4）式变为

对比（4.5。6）式、(4。5。7）式,得出正常大地位球函数展开系数：

其中，为参考椭球子午椭圆的第一偏心率。当时，有

从上式得出

将（4.5.10）式代入（4.5.8）式，化简得

（4.5。11）式表明，正常大地位球函数闸门开系数随着其阶数的增加按子午椭圆扁率的次幂迅速减小.
根据（3。3.19)式，得

将（4.5。12）式代入(4.5.9）式，化简,舍去含高于的项，得

（4.5。13）式表明,正常大地位球函数展开二阶项系数与子午椭圆的扁率和参数有简单的代数关系，根据(4。5.13）式，可以根据动力形状因子确定参考椭球的扁率.
4。6 正常重力公式
正常场地球模型有四个独立参数：地心引力常数、参考椭球的赤道半径、扁率和它的旋转角速度，给定这四个参数,就可以根据（4.3。7）式、（4.3。15)式，计算出参考椭球在它表面上的重力分布。地球的旋转角速度可以精确地确定，由于其他三个参数的选择不同，历史上曾出现过很多正常重力公式,下面给出我国采用的两个正常重力公式：（1)赫尔默（Helmert）正常重力公式，（2）1930国际正常重力公式，以及与1980大地参考系对应的正常重力公式和大地位系数。
1. 赫尔默（Helmert）正常重力公式
德国人赫尔默于1901年根据当时波斯坦系统的几千个重力测量结果,计算出赤道上的正常重力，重力扁率和系数，由这三个参数决定的正常重力公式为：

(4。6.1）式称为赫尔默正常重力公式。根据重力扁率，利用克雷诺定理（4.3。17），可以计算出与赫尔默正常场地球模型相对应的参考椭球的扁率，它等于，这个扁率与我国大地坐标系采用的克拉索夫参考椭球的扁率相等，所以我国、原苏联、东欧一些国家均采用过赫尔默正常重力公式，与其相对应的克拉索夫参考椭球的赤道半径和扁率分别为

2. 国际参考椭球及1930国际正常重力公式
美国人海福特（Hayford）于1909年根据美国当时的大地测量结果给出了一个参考椭球，它的赤道半径和扁率分别为

国际大地测量和地球物理联合会于1924年将上述参考椭球定义为国际参考椭球。芬兰人海斯卡宁（Heiskanen）于1928年根据当时的重力测量结果计算出正常场地球模型赤道上的重力，它的值为

并将正常场地球模型的自转角速度取为地球的自转角速度,它的值为

把上述由实际观测结果确定的四个独立参数、、、取为正常地球模型的参数，此时与正常场地球模型相对应的参考椭球的其他导出参数、、、、、可以根据这四个独立参数利用本章相应公式计算出来，它们分别为

根据(4。3。15）式，重力扁率和系数分别为

相对应的正常重力公式为

国际大地测量与地球物理联合会于1930年将（4.6.4）式定位国际正常重力公式。
3。1980大地参考系及与其相对应的正常重力公式
随着空间技术的发展,可以根据卫星轨道根数及其变化确定地心引力常数及地球的动力形状因子这两个参数,因而近代正常场地球模型多用地心引力常数、动力形状因子、地球的赤道半径、旋转角速度四个独立参数给出。国际大地测量和地球物理联合会于1979年通过了1980大地参考系,与1980大地参考系相对应的正常场地球模型的四个独立参数为

根据（4.6。5)式给出的正常场地球模型的四个独立参数，可以导出参考椭球的有关几何参数和正常场地球模型的物理参数，参数椭球的导出几何参数为

正常场地球模型的导出物理参数为

与1980大地参考系相对应的正常重力公式为

与1980大地参考系相对应的平均重力为

1980大地参考系相对应的正常重力公式（4。6.6）式与国际正常重力公式(4。6.4）式之间的换算公式为

这两个正常重力公式之间的差别主要有两个原因：（1）计算1930国际正常公式的参数时，利用了当时的波斯坦重力系统重力测量数据，而于1889～1905年利用可倒摆在波斯坦所作的重力测量比真值大了14mGal，即当时的波斯坦绝对重力测量有-14mGal的绝对误差,(2）1930国际参考椭球的扁率略大于1980大地参考椭球的扁率。
这三个正常重力公式的参数如表4.6.1所示,表4.6.2为与1980大地参考系相对应的正常重力值.

4。7 与1980大地参考系相对应的正常重力位二次导数
利用4。4节给出的有关公式，可以计算出与1980大地参考系相对应的参考椭球面上的重力垂直梯度、重力水平梯度和正常场地球模型垂线的曲率的数值表达式.1980大地坐标系有关参数如表4.7。1所示。

利用表4。7.1中的参数，根据(4。4。9)、（4。4.12）、（4。4。13)式，有

根据（4。7。1）式，可以计算出与1980大地坐标系相对应的正常场地球模型在参考椭球面重力垂直梯度、水平梯度和正常场地球模型垂线的曲率，它们的数值如表4。7.2所示。