平面向量及其运算.doc

(完整word)平面向量及其运算

1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的,与任意向量平行。
③单位向量:模为1个单位长度的向量。
④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。
⑤平行向量(共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
2、 向量加减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
②向量的减法向量加上的相反向量,叫做与的差。即： -= + (-);
可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点.
③实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）; （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时,，方向是任意的.
④两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。
3、平面向量的坐标表示
(1）平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成，记作=（x,y）.
（2）平面向量的坐标运算：若A(x1,y1），B(x2，y2)，则｜｜＝。
① 若，则
②若,则
③若，则
④ 若，则;若，则
注意：与轴、轴方向相同两个单位向量、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底不惟一，关键是不共线；
由定理可将任一向量ａ在给出基底、的条件下进行分解；
基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被,、唯一确定的数量.
⑤向量运算运算律:
；;
;
4、平面向量的数量积:
(1） “投影”的概念：｜｜cosq 叫做向量在方向上的投影

（2）;规定;
几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影||cosq的乘积
（3)设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
（4）运算律：①；②;③
（5）坐标运算：若，则,或；
设非零向量，，则 ;．

1。已知，其中。
⑴ 求证：与互相垂直；⑵ 若与(）的长度相等，求.

2。（2013·江苏）已知向量a＝(cos α，sin α），b＝(cos β，sin β)，0<β〈α<π。
(1)若|a－b｜＝,求证：a⊥b；（2)设c＝(0，1），若a＋b＝c，求α，β的值．

3. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝（4，－1)，n＝,且m·n＝。
(1)求角A的大小；(2)若a＝，试判断bc取得最大值时△ABC的形状。

4. 设函数f（x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx，1），b＝(cosx,sin2x），x∈R。
（1)若f（x）＝1－且x∈［－，]，求x；
(2)若y＝2sin2x的图象按向量c＝（m，n）（|m|<）平移后得到y＝f（x）的图象,求实数m、n的值。

5. 已知向量=3i－4j，=6i－3j，=（5－m）i－(4＋m）j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量。
(1)若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值。

1．下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设点，,若点在直线上,且，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．无数多个
3．若平面向量与向量的夹角是，且，则（ )
A． B． C． D．
4．向量，，若与平行，则等于
A． B． C． D．
5．若是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ )
A． B． C． D．
6．设，，且，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
7．若，且，则向量与的夹角为　　　　　　．
8．已知向量，，，若用和表示，则=____。
9．若,，与的夹角为,若，则的值为　　　　 ．
10．若菱形的边长为，则__________。
11．若=，=,则在上的投影为________________.
12．已知,,其中．
(1)求证: 与互相垂直;（2）若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．