特殊平行四边形典型例题解析题.doc

一、参考例题 例1如下图，ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证OEC、OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：ECF=90，由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC.证明：(1)CE、CF分别是ACB、ACD的平分线.ACE=BCE，ACF=DCFMNBC OEC=ECB，OFC=FCDACE=OEC，ACF=OFCOE=OC，OF=OC OE=OF(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC又由(1)证得OE=OF四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)由(1)知：ECA+ACF=ACB+ACD= (ACB+ACD)=90即ECF=90四边形AECF是矩形.因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.例2如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OFAD于F，OF=3 cm，AEBD于E，且BEED=13，求AC的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD的长，即AC的长.解：四边形ABCD是矩形. AC=BD,OB=OD=OA=OC又BEED=13 BEBO=12 BE=EO又AEBOABEADE AB=OA即AB=AO=OBBAE=EAO=30，FAO=30 ABEAOFBE=OF=3 cm,BD=12 cm AC=BD=12 cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF 由折叠的意义可知：EFBD，EF平分BD.BE=ED,BF=FD四边形ABCD为矩形 AB=CD，AD=BC，C=90，ADBCEDO=FBO点B和D重合 BO=DO，BOF=DOEBOFDOE ED=BF，ED=BF=FD=BE四边形BFDE是菱形 S菱形=BDEF=BFCDBF=DF，可设BF=DF=x 则FC=8x在RtFCD中，根据勾股定理得： x2=(8x)2+62x= EF=7.5因此，折痕EF的长为7.5 cm.2.当平行四边形ABCD满足条件_时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：BAC=90或AC=BD或OA=OB或ABC+ADC=180或BAD+BCD= 180等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积分析 （1）由E为AB的中点，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出（2）而，利用勾股定理可以求出AC（3）由菱形的对角线互相垂直，可知 解 （1）连结BD，四边形ABCD是菱形， 是AB的中点，且， 是等边三角形，也是等边三角形 （2）四边形ABCD是菱形，AC与BD互相垂直平分， ， （3）菱形ABCD的面积 说明：本题中的菱形有一个内角是60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F求证： 分析 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论证明 四边形ABCD是菱形，且， ， 例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，求的度数. 解答：连结AC. 四边形ABCD为菱形，. 与为等边三角形. ， ，为等边三角形. ， 说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证. 例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且求证：垂直平分分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分证明：四边形、都是矩形， 四边形是平行四边形， 在和中 ， 四边形是平行四边形 四边形是菱形平分 平分 垂直平分例5 如图，中，、在直线上，且求证：分析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论证明 四边形是平行四边形， ， 在和中 同理： 四边形是平行四边形 四边形是菱形 典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数解 设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得， 这个平行四边形的四个内角的度数分别为45，135，45，135例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长分析 由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长解 四边形为平行四边形， ， ， 答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由分析 观察图形，从而可说明 证明 在中，交于O， ， 例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证： 分析 观察图形，与都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明 四边形ABCD是矩形， ，又，。 例5 O是ABCD对角线的交点，的周长为59，则_，若与的周长之差为15，则_，ABCD的周长=_. 解答：ABCD中，. 的周长 . 在ABCD中，. 的周长的周长 ABCD的周长 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差. 例6 已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，. 求这个平行四边形的面积. 解答：设. 四边形ABCD为平行四边形， . 又四边形ABCD的周长为36， ， 解由，组成的方程组，得. . 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 9