量子力学期末试题及参考答案.doc

2003年量子力学期末试题及答案一、（20分）在时刻，氢原子处于状态式中，为氢原子的第个能量本征态。计算时能量的取值几率与平均值，写出时的波函数。解：氢原子的本征解为 其中，量子数的取值范围是；，由波函数归一化条件可知归一化常数为不为零的能量取值几率为；能量平均值为当时，波函数为二、 （20分）设粒子处于一维势阱之中 式中，。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的值。 解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为其中，利用波函数再处的连接条件知，在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到 于是有 此即能量满足的超越方程。 由于，余切值是负数，所以，角度在第2、4象限。超越方程也可以改写成式中， 因为，所以，若要上式有解，必须要求 当时，于是，有整理之，得到 三、（20分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为在动量表象中，该哈密顿算符为由于动量的本征函数为，故哈密顿算符的矩阵元为 四、（20分）设两个自旋为非全同粒子构成的体系，哈密顿量， 其中，为常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知时，粒子1的自旋沿轴的负方向，粒子2的自旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋处于轴负方向的几率和粒子2的自旋处于轴负方向的几率。 解： 体系的哈密顿算符为选择耦合表象，由于，故四个基底为；在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即可以直接写出它的解为， ， ， ， 已知时，体系处于因为哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为粒子1处于轴负方向的几率为而粒子2处于轴负方向的几率为五、 （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能量本征值与本征矢分别为与，如果哈密顿算符变成（为实参数）时， （1）利用费曼海尔曼定理求出严格的能量本征值。 （2）若，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。解：首先，利用费因曼赫尔曼定理求出严格的能量本征值。视为参变量，则有利用费因曼-赫尔曼定理可知又知在任何束缚态下，均有所以，进而得到能量本征值满足的微分方程对上式作积分，得到利用时，定出积分常数最后，得到的本征值为其次，用微扰论计算能量的近似解。已知满足的本征方程为由可知第个能级的一级修正为能量的二级修正为为了求出上式右端的求和项，在表象下计算可以证明，对于任意实束缚态波函数，有于是，得到得到近似到二级的解为7 / 7