量子力学期末试题及参考答案.doc

2003年量子力学期末试题及答案
一、（20分）在时刻，氢原子处于状态

式中，为氢原子的第个能量本征态。计算时能量的取值几率与平均值，写出时的波函数。
解：氢原子的本征解为

其中，量子数的取值范围是
；，
由波函数归一化条件可知归一化常数为

不为零的能量取值几率为
；
能量平均值为

当时，波函数为

二、 （20分）设粒子处于一维势阱之中

式中，。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的值。
解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为

其中，

利用波函数再处的连接条件知，
，
在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

得到

于是有

此即能量满足的超越方程。
由于，余切值是负数，所以，角度在第2、4象限。超越方程也可以改写成

式中，

因为，，所以，若要上式有解，必须要求

当时，，于是，有

整理之，得到

三、（20分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。
解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为

在动量表象中，该哈密顿算符为

由于动量的本征函数为，故哈密顿算符的矩阵元为

四、（20分）设两个自旋为非全同粒子构成的体系，哈密顿量， 其中，为常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知时，粒子1的自旋沿轴的负方向，粒子2的自
旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋处于轴负方向的几率和粒子2的自旋处于轴负方向的几率。
解： 体系的哈密顿算符为

选择耦合表象，由于，故四个基底为
；；；
在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即

可以直接写出它的解为
，
，
，
，
已知时，体系处于

因为哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为

粒子1处于轴负方向的几率为

而粒子2处于轴负方向的几率为

五、 （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能量本征值与本征矢分别为与，如果哈密顿算符变成（为实参数）时，
（1）利用费曼－海尔曼定理求出严格的能量本征值。
（2）若，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。
解：首先，利用费因曼－赫尔曼定理求出严格的能量本征值。
视为参变量，则有

利用费因曼-赫尔曼定理可知

又知

在任何束缚态下，均有

所以，

进而得到能量本征值满足的微分方程

对上式作积分，得到

利用时，，定出积分常数

最后，得到的本征值为

其次，用微扰论计算能量的近似解。
已知满足的本征方程为

由

可知

第个能级的一级修正为

能量的二级修正为

为了求出上式右端的求和项，在表象下计算

可以证明，对于任意实束缚态波函数，有

于是，得到

得到

近似到二级的解为

7 / 7