微积分A学期期末试题解答.doc

2006-2007学年微积分A第二学期期末考试参考答案及评分标准 2007年7月10日一、1 , 平面的法向量为：， .3分由题意，有：解得： .6分2 . 3分 .6分3 曲面的法向量：， .2分 4分 .6分4 .3分 .6分5 考虑正项级数，因为 ，. 2分而发散，由正项级数的比较判别法知，级数发散. .3分又原级数为交错级数，记 ，易见，由莱布尼茨判敛法知，原级数收敛，从而原级数条件收敛. .6分二、1 ，解得驻点： .2分在驻点处有： 4分在驻点处有： .7分2 解:在面上的投影区域为 .2分 .4分 .5分 .7分3 添加辅助线： 则构成封闭曲线.由Green公式，得 . 4分 .7分4 .2分 4分 .7分三、对求导，得，在点 处，曲线 在点 处的切向量为， .3分 .6分 ，结论得证. .8分四、，, .1分 2分; 所以幂级数的收敛域为： 4分设 .6分 .8分五、补充平面取下侧，则由Gauss公式 .4分 6分 .8分六、 .3分 由对称性，有，设密度则 .5分 ， .7分而 .9分 所以质心坐标为： .10分七、(1) .3分 4分(2因为及连续函数的定义和极限的保号性知：存在零点的某个右邻域，使得，当足够大时，原级数为正项级数，又原级数 且有： .6分由正项级数的比较判敛法知：当结论得证. 8分6 / 6