[标准模拟]2018年全国新课标2理科数学模拟试卷.doc

2018年全国新课标2理科数学模拟试卷
一、选择题
1．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若M⊆N，则k的取值范围是(　　)
A．k≤2 B．k≥－1
C．k>－1 D．k≥2
2．下列说法错误的是(　　)
A．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”
B．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
C．若命题p：∃x0∈R，x－x0＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2－x＋1≥0
D．“sin θ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
3．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝()x在x∈[0,4]上解的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知等比数列{an}满足a4＋a8＝2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A－sin2B＝sin Bsin C，c＝2b，则角A等于(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
6．定义d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：
①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)．则(　　)
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
7．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　)
①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x；⑤f(x)＝.
A．①③⑤ B．③④
C．②③④ D．②⑤
8．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.若g(x)＝f(x)－mx－2m在区间(－1,1]上有两个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．0<m≤ B．0<m<
C.<m<1 D.≤m<1
9．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
C．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
10．设F1，F2分别为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1(a1>0，b1>0)的公共左，右焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆C1的离心率e∈，则双曲线C2的离心率e1的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
11．若曲线y＝x2上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的取值范围是(　　)
A．[－2,1] B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，1]
12．已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为m，若函数g(x)＝则不等式g(x)≤1的解集为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
13．已知函数f(x)＝log2，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
14．数列{an}满足a1＝1，＝2，＝3(k≥1)，则其前100项和S100的值为________．(填写式子)
15．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点E，F分别满足＝2，＝，则·＝________.
16．如图所示，放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断：
①若－2≤x≤2，则函数y＝f(x)是偶函数；
②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；
③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减；
④函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数．
其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

三、解答题
17．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋(ω>0)，经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x
①

f(x)
0
1
0
－1
0
(1)请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间上的值域；
(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f(A＋)＝1，b＋c＝4，a＝，求△ABC的面积．

18．(2016·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N.
(1)证明：MN⊥平面ADD1A1；
(2)求二面角A－A1M－N的余弦值．

19．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0.且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2 016的值．

20.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左，右焦点分别为F1，F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且kOD·kAB＝－，△AOB的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．

21．(2016·山东)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．

22．(2016·山西四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

答案精析

1．D　[根据题意，将集合M画在数轴上可知，若满足M⊆N，则必有k≥2.]
2．D　[当θ＝30°时，有sin θ＝，反之，当sin θ＝时，不一定有θ＝30°，所以“sin θ＝”是“θ＝30°”的必要不充分条件．]
3．D
4．A　[由题意知a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a6a6＋a10a6，∵a4＋a8＝2，∴a6a2＋2a6a6＋a10a6＝(a4＋a8)2＝4.]
5．A　[由正弦定理＝＝，及sin2A－sin2 B＝sin Bsin C，可得a2－b2＝bc.又c＝2b，所以cos A＝＝＝，所以A＝30°.]
6．C　[如图所示，∵|b|＝1，∴b的终点在单位圆上．设点B在单位圆上．点A不在单位圆上，则可用表示b，用表示a，用表示a－b.设＝tb，∴d(a，tb)＝||，d(a，b)＝||，∵对任意t∈R，d(a，tb)≥d(a，b)，

∴||≥||恒成立，∴⊥，即b⊥(a－b)．]
7．A　[①若f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，这个方程显然有解，故①符合要求；②若f(x)＝f′(x)，则e－x＝－e－x，此方程无解，故②不符合要求；③若f(x)＝f′(x)，则ln x＝，数形结合可知，这个方程存在实数解，故③符合要求；④中，f′(x)＝＝，若f(x)＝f′(x)，则＝tan x，化简得sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，方程无解，故④不符合要求；⑤中，f′(x)＝－，若f(x)＝f′(x)，则－＝，可得x＝－1，故⑤符合要求．]
8．A　[当－1<x<0时，0<x＋1<1，由f(x)＋1＝，可得f(x)＝－1，则y＝f(x)在区间(－1,1]上的图象如图所示．

若g(x)＝f(x)－mx－2m在(－1,1]上有两个零点，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝mx＋2m在
(－1,1]上有两个交点．从图象分析可知，直线y＝mx＋2m恒过定点(－2,0)，且与y轴的交点(0,2m)应位于y轴的正半轴，可知m>0，即直线y＝mx＋2m的斜率大于0，而此时应使直线y＝mx＋2m上的点(1,3m)位于点(1,1)或其下方，则可得3m≤1，即m≤.综上所述，0<m≤.]
9．B　[若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β可能平行，也可能相交，选项A，C错；由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，则α⊥β，选项B正确，选项D错．]
10．A　[由已知得|MF1|＋|MF2|＝2a，|MF1|－|MF2|＝2a1，所以|MF1|＝a＋a1，|MF2|＝a－a1，又因为∠F1MF2＝90°，所以|MF1|2＋|MF2|2＝4c2，即(a＋a1)2＋(a－a1)2＝4c2，即a2＋a＝2c2，所以＋＝2，所以e＝，因为e∈[，]，所以≤e2≤，
即≤≤，≤2－≤，所以≤e≤，
所以e1∈.]
11．D　[作出不等式组表示的平面区域(如图)，作出抛物线y＝x2，

解方程组得或
即直线x＋y－2＝0与抛物线y＝x2的交点坐标为(1,1)和(－2,4)．
若曲线y＝x2上存在点(x，y)在平面区域内，则m≤1.]
12．D　[∵x∈，∴tan x>0，
∴f(x)＝＝≥ ＝，
当且仅当tan x＝，即x＝时取等号，因此m＝.不等式g(x)≤1⇔①<x<
或②解②得≤x≤.
因此，不等式g(x)≤1的解集为∪＝.]
13．－
解析　由已知得，函数的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝log2 ＝－log2＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－.
14.×(650－1)
解析　由＝2，＝3，得＝6，所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公比为6的等比数列．由＝2，得＝2，结合＝3，得＝6.又a2＝2，所以数列{an}的偶数项构成首项为2，公比为6的等比数列，所以S100＝＋
＝×(650－1)．
15．－6
解析　依题意得＝＋＝＋，
＝－＝－，
·＝(＋)·(－)
＝2－2－·
＝×32－×42－×3×4cos 60°＝－6.
16．①②④
解析　当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
当－1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，
当2≤x≤3时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
∴函数的周期是4，因此最终构成的图象如下：

①根据图象的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，
∴①正确；
②由图象可知函数的周期是4，
∴②正确；
③由图象可判断函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递增，∴③错误；
④由图象可判断函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数，∴④正确．
故答案为①②④.
17．解　(1)①处应填入.
f(x)＝sin 2ωx－＋
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝sin.
因为T＝2×＝2π，
所以＝2π，所以ω＝，
即f(x)＝sin.
因为x∈，
所以－≤x－≤，
所以－1≤sin≤，
故f(x)的值域为.
(2)f(A＋)＝sin＝1，因为0<A<π，所以<A＋<，
所以A＋＝，所以A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos ＝(b＋c)2－3bc，
即()2＝42－3bc，所以bc＝3，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×3×＝.
18．(1)证明　因为AB＝AC，D是BC的中点，所以BC⊥AD.
由题可知MN∥BC，所以MN⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，所以AA1⊥MN.
又AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交于点A，
所以MN⊥平面ADD1A1.
(2)解　如图，连接A1P，过点A作AE⊥A1P于点E，过点E作EF⊥A1M于点F，连接AF.

由(1)知，MN⊥平面AEA1，
所以平面AEA1⊥平面A1MN.
因为平面AEA1∩平面A1MN＝A1P，AE⊥A1P，AE⊂平面AEA1，
所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE，又AE∩EF＝E，
所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF，
故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．
设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D为BC的中点，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.
又P为AD的中点，M为AB的中点，
所以AP＝，AM＝1.
在Rt△AA1P中，A1P＝，
在Rt△A1AM中，A1M＝，
从而AE＝＝，
AF＝＝，
所以sin θ＝＝.
因为∠AFE为锐角，
所以cos θ＝＝ ＝.
故二面角A－A1M－N的余弦值为.
19．解　(1)∵a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，且a2，a5，a14成等比数列，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，
解得d＝2，d＝0(舍去)．
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
又∵b2＝a2＝3，b3＝a5＝9.
∴等比数列{bn}的公比q＝3，b1＝1，bn＝3n－1.
(2)∵＋＋…＋＝an＋1，①
∴＝a2，即c1＝b1a2＝3.
又＋＋…＋＝an (n≥2)，②
①－②得，＝an＋1－an＝2，
∴cn＝2bn＝2×3n－1(n≥2)，
∴cn＝
则c1＋c2＋c3＋…＋c2 016
＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 016－1
＝3＋2×(31＋32＋…＋32 015)
＝3＋＝32 016.
20．解　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由已知得A(a,0)，B(0，b)，
D，所以kOD·kAB＝·＝－，
即a2＝2b2，①
又S△AOB＝ab＝2，所以ab＝4，②
由①②解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当直线l⊥x轴时，易得M(－2，)，N(－2，－)，
△MF2N的面积为4，不合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入椭圆方程得
(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.
显然有Δ>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝ ，
化简得|MN|＝.
又圆的半径r＝，
所以S△MF2N＝|MN|r
＝×·
＝＝，
化简得k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，
所以r＝2，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
21．解　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a.
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当a>0，x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
x∈时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，g(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当0<a<时，>1，
由(1)知f′(x)在内单调递增，
可得当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，
在(1，＋∞)内单调递减．
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a>时，0<<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意 .
综上可知，实数a的取值范围为a>.
22．解　(1)由e＝，得＝，即c＝a，①
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，所以a＝＝，代入①得c＝2，
所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，
则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝，
要使上式为定值，即与k无关，
只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，解得m＝，
此时，2＋·＝m2－6＝－，
所以在x轴上存在定点E(，0)，使得2＋·为定值，且定值为－.

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